Le mappe di Karnaugh

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1 SSIS Veneto Scuola di Specializzazione per l Insegnamento Secondario Indirizzo Tecnologico Ciclo: IX A.A. 28/29 TESI FINALE DI SPECIALIZZAZIONE CLASSE DI CONCORSO A34 Relatore: Prof. Luca Bottazzo SVT: Luciano Caia Le mappe di Karnaugh Specializzando: Belcastro Simone Matricola R2

2 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 TESI FINALE DI SPECIALIZZAZIONE ELETTRONICA CLASSE DI CONCORSO A34 RELATORE: Prof. Luca Bottazzo SVT: Prof. Luciano Caia Le mappe di Karnaugh Dati relativi all attività... 2 Dati relativi ai destinatari dell attività Tipologia degli allievi: Tipologia della scuola:... 3 Dati relativi alla contestualizzazione curricolare dell attività... 4 Obiettivi educativi Obiettivi didattici/disciplinari Prerequisiti Metodi didattici Strumenti Spazi / ambienti di apprendimento...3 Tempi ed articolazione dell attività formativa...3 Connessioni disciplinari ed interdisciplinari Contenuti Verifiche Valutazione Bibliografia e sitografia Allegati Allegato : Verifica sommativa fine attività didattica Allegato 2: Griglia di valutazione verifica sommativa fine attività didattica... 9

3 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Dati relativi all attività Titolo: Le mappe di Karnaugh. Tipologia: Lezione frontale. Elementi strutturali: tre lezioni in aula. 2 Dati relativi ai destinatari dell attività 2. Tipologia degli allievi: Classe III Indirizzo Elettrotecnica ed Automazione; Età media: 6 anni; Numero alunni: 2 (di cui 2 ripetenti; non sono presenti alunni diversamente abili) Contesto socio-culturale: i genitori degli alunni sono per lo più impiegati ed artigiani, residenti nell hinterland mestrino. 2.2 Tipologia della scuola: Istituto: I.T.I.S. A. Pacinotti ; Sede: Mestre; Provincia: Venezia; Bacino d utenza: hinterland del comune di Venezia; Indirizzo: Elettrotecnica ed Automazione; Disciplina: Elettronica; Ore Settimanali: 4 ore (2 di Laboratorio). 3 Dati relativi alla contestualizzazione curricolare dell attività L attività proposta fa riferimento alla programmazione didattica disciplinare. Il modello teorico di riferimento è la programmazione per contenuti. Per svolgere l attività in oggetto l allievo deve: saper prendere appunti durante la lezione; saper seguire una lezione frontale;

4 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 saper sintetizzare l argomento proposto; saper analizzare le tematiche proposte; saper riconoscere i nuclei tematici più significativi e riorganizzarli in forma chiara e schematica. 4 Obiettivi educativi Per l area socio affettiva : sviluppo della personalità, consapevolezza dei propri limiti e potenzialità; incremento della reciproca relazione e collaborazione tra compagni e le altre figure di riferimento della scuola; rispetto delle persone e del materiale scolastico; Per l area cognitiva: sviluppo della capacità di selezionare, ordinare e strutturare in modo logico le informazioni; acquisizione di un linguaggio specifico della disciplina; capacità di rielaborare personalmente gli argomenti. acquisizione di un proficuo metodo di studio. 5 Obiettivi didattici/disciplinari L allievo, al termine dell attività avrà acquisito le seguenti conoscenze, competenze e capacità: - Conoscenze: costruire una mappa di Karnaugh in funzione del numero di variabili in gioco; - Competenze: completare le caselle della mappa di Karnaugh partendo da una funzione data; - Capacità: minimizzare la funzione logica rappresentata nella mappa di Karnaugh. 2

5 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 6 Prerequisiti All inizio dell attività formativa l allievo deve aver acquisito: conoscenza delle porte logiche; conoscenza delle regole principali dell algebra booleana (teoremi di De Morgan); conoscenza del significato di maxtermine e mintermine, a e 2 a forma canonica; saper implementare una funzione logica con i circuiti dell elettronica digitale. 7 Metodi didattici I metodi didattici adottati saranno la lezione frontale per l esposizione della teoria e la lezione partecipata per l applicazione della teoria ad esempi concreti svolti alla lavagna. 8 Strumenti Appunti dalle lezioni; libro di testo. 9 Spazi / ambienti di apprendimento L attività si svolge in aula. É previsto il successivo uso del laboratorio di elettronica per la realizzazione su bredboard di alcuni esempi visti a lezione attraverso l uso di componenti digitali contenenti porte logiche. Tempi ed articolazione dell attività formativa Il modulo sull algebra di Boole, nel quale l attività in oggetto è inserita, si affronta verso la prima settimana di Novembre. 3

6 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Una suddivisione temporale sarà ad esempio: Tempi Spazi Strumenti Contenuti Metodi h Aula Lavagna Accertamento prerequisiti; Revisione dei teoremi fondamentali dell algebra di Boole e De Morgan; Prima forma canonica; Costruzione di una mappa di Karnaugh; Trasferimento di una funzione logica nella mappa 2 h Aula Lavagna di Karnaugh; Celle adiacenti, formazione dei gruppi; Minimizzazione della funzione tramite mappa; Esempi di minimizzazione di 2 h Aula Lavagna funzioni a 2, 3, 4, 5 variabili. Lezione integrativa al termine dell attività Bredboard; Porte 2 h Lab. IT logiche; Realizzazione di semplici Alimentatore esempi applicativi stabilizzato; Diodi LED Test; Lez. frontale; Lez. partecipata; Lez. frontale; Esempi alla lavagna; Lez. frontale; Lez. partecipata; Esempi alla lavagna; Esercitazioni pratiche in gruppo Connessioni disciplinari ed interdisciplinari L elettronica digitale e la progettazione di circuiti combinatori trova un impiego nella disciplina di Sistemi automatici per l automazione nella programmazione del quarto e quinto anno, dove gli alunni saranno 4

7 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 impegnati a realizzare circuiti di automazione industriale utilizzando dapprima i relè e in seguito i PLC e software dedicati quale LabView. Reti di interruttori Operazioni logiche Tavole della verità Algebra booleana Forme canoniche mintermini e maxtermini Teoremi dell algebra booleana Porte logiche AND, OR, NOT; NAND, NOR, Algebra delle proposizioni Mappe di Karnaugh Laboratorio: Realizzazione di circuiti logici Lab. di Sistemi realizzazione sistemi di automazione 5

8 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 2 Contenuti Abbiamo visto che giungere alla forma minima di una data funzione booleana è conveniente per la semplificazione che apporta alla costruzione fisica del circuito con conseguente risparmio di risorse (porte logiche). Le semplificazioni le abbiamo ottenute applicando le proprietà dell algebra booleana e l esperienza acquisita nel tempo risolvendo gli esercizi proposti. Ora conosceremo un metodo grafico per la risoluzione del problema della minimizzazione delle funzioni in oggetto. Impareremo a disegnare una tabella che riassume in un insieme di caselle le possibili combinazioni delle variabili del problema. Costruita la tabella impareremo come raggruppare i mintermini che abbiamo rappresentato per addivenire a una riduzione della funzione che rappresentano. Applicheremo il metodo a diverse funzioni e proveremo poi in laboratorio a realizzare su bredboard gli esercizi visti in aula. Considerando una generica funzione booleana di n variabili, sappiamo che la prima forma canonica di questa funzione sarà composta dalla somma di un certo numero di mintermini, al più possono essere 2 n (numero di tutte le possibili combinazioni di n variabili booleane). Queste possibili combinazioni possono essere rappresentate in una tabella detta mappa di Karnaugh, che è costituita da tante caselle quante sono le combinazioni possibili, perciò, dato il numero di variabili, avrà 2 n caselle. Quindi a due variabili corrisponde una tabella di quattro caselle, tre variabili otto caselle, quattro variabili sedici caselle (2 4 = 6). 6

9 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Esempio: A B Y mintermine a mintermine b mintermine c mintermine d A B a c b d Vediamo ora come costruire una tabella con più di quattro caselle in modo tale che la disposizione dei mintermini permetta la successiva riduzione. Ad esempio una funzione con tre variabili del tipo: A B C Y Y = C + C + C + C usando l algebra di Boole ed apportando le dovute semplificazioni avremo: Y = AC( B + B) + AC( B + B) = AC() + AC() = AC + AC Vediamo come si può raggiungere lo stesso risultato usando le mappe di Karnaugh. Abbiamo visto che le mappe non sono altro che una diversa rappresentazione della tabella della verità e vedremo che sfruttano un metodo quasi meccanico che ci permette di aggirare l algebra di Boole. Alla costruzione della mappa si arriva o conoscendo la tabella della verità o partendo dall espressione della prima forma canonica. Abbiamo detto che la mappa è composta da un numero di caselle pari a 2 n, che sono pari alle combinazione delle n variabili di ingresso; le caselle hanno come coordinate i valori delle variabili di ingresso ed al loro interno conterranno 7

10 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 il valore corrispondentemente alle combinazioni delle variabili di ingresso per le quali la funzione Y vale. Nelle altre caselle lasciate vuote si sottintendono gli. Considerando la tabella dell esempio precedente, la corrispondente mappa sarà: C Si nota come ogni casella è individuata dalle coordinate che non sono altro che le combinazioni delle variabili di ingresso. C C C C C C C C C E importante notare come per le variabili A e B, dopo la combinazione segue la e non la. Un errore comune è quello di scrivere la sequenza ricalcando il metodo usato per scrivere nella tabella della verità le possibili combinazioni delle variabili: non bisogna adottare quel metodo ma bensì la regola da ricordare è che caselle adiacenti devono avere combinazioni che differiscono per il valore di una sola variabile. Prendendo il caso di tre variabili dividerò le combinazioni in colonne definite dai valori di due variabili e righe definite dal valore della terza. I valori in successione saranno ad esempio: ; ; ; ; e C ; come da esempio. 8

11 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Perciò ricordare che: la caratteristica delle mappe è che le celle adiacenti (due celle che hanno un lato in comune) hanno coordinate che differiscono per la variazione di una sola delle variabili di ingresso. Questo ci porta a dire che costruita in modo corretto la mappa di Karnaugh avremo che: due celle con un lato in comune sono adiacenti; celle agli estremi della stessa riga o colonna sono adiacenti; quindi anche se la mappa la vediamo estesa in due dimensioni è come se la potessimo mettere su un cilindro ad asse orizzontale o verticale. Ricordiamo ora che minimizzare una funzione logica significa scriverla in forma tale che il numero di volte che compaiono in essa le variabili della funzione è il minimo possibile. Per ottenere questo con le mappe basta raggruppare il maggior numero possibile di adiacenti presenti in caselle adiacenti rispettando la regola che il numero di caselle raggruppate deve essere una potenza di 2 (, 2, 4, 8 ecc.). Ciascun raggruppamento dà origine ad un unico termine che compare nella funzione minimizzata e che va sommata con gli altri termini relativi agli altri gruppi. Per la scrittura dell equazione logica del singolo raggruppamento, vanno considerate le sole variabili che non cambiano valore all interno del raggruppamento, mentre quelle che passano da a o viceversa vanno eliminate. Tutti gli presenti in mappa devono essere presi in considerazione per la scrittura della forma minima della funzione. (Il legame con la teoria dell algebra booleana è nel teorema: + = B) 9

12 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Riprendiamo l esempio alla lavagna: A B C Y Dalla tabella scrivo la prima forma canonica dell uscita Y = C + C + C + C usando l algebra di Boole ed apportando le dovute semplificazioni avremo: Y = AC( B + B) + AC( B + B) = AC() + AC() = AC + AC C Scriverò quindi: A C + AC Adesso mappiamo la tabella come segue, facciamo i possibili raggruppamenti e considero le variabili che non cambiano al loro interno. Y = AC + AC lo stesso risultato ottenuto con l algebra di Boole. Vediamo un secondo esempio: A B C Y

13 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 La mappa che risulta è: che rappresenti la funzione Y = C + C + C + C + C + C C vediamo ora come sarebbe la funzione risultante minimizzata se consideriamo diversi raggruppamenti. C Y = + + C Y = A + B C Y = A + Come si nota dai tre casi riportati la minimizzazione migliore per la funzione Y si ottiene con due raggruppamenti da 4 ed in più sovrapposti. Possiamo allora affermare che bisogna ricercare di fare il minor numero di raggruppamenti ed il più ampio possibile. Ogni deve far parte almeno di un raggruppamento e può essere inglobato in diversi.

14 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Esempi di raggruppamenti possibili e non possibili: C C CD gruppi sempre di 2 n Facciamo ancora un esempio: - data la tabella della verità seguente, ricaviamo la prima forma canonica per l uscita Y; - portiamo tutto in mappa; - facciamo il minor numero di raggruppamenti con la max estensione; - ricaviamo la forma minimizzata dell uscita Y. A B C D Y Y = CD + CD + CD + CD + CD + CD + CD + CD CD A B C D A CD BC B D 2

15 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 La nostra uscita minimizzata sarà: Y = BC + BD + ACD + CD Adesso da questo esempio proviamo a disegnare il circuito logico che sintetizza la funzione Y: A B C D Y Vediamo che impiega quattro porte NOT, quattro porte AND e una porta OR, per un totale di 9 porte. A questo punto potremmo fare delle considerazioni. Se applichiamo due volte il teorema di De Morgan alla nostra Y, sappiamo che il risultato non cambia ma questo ha delle conseguenze sulla composizione del nostro circuito. Y = Y = BC + BD + ACD + CD Y = BC! BD! ACD! CD L ultima versione della nostra funzione logica Y vede la presenza si sole porte NOT e NAND: ricordiamo che una porta NOT è sostituibile da una NAND, infatti: 3

16 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 A = A! A A A A A! A Applicando queste semplici considerazioni al circuito precedente la nostra rete si trasformerà nella seguente: dove il numero di porte è rimasto sempre 9, ma ora sono tutte porte A B C D Y NAND. Questo accorgimento ci dà la possibilità di realizzare il nostro circuito con un numero minore di integrati. 4

17 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 Riassumiamo le principali regole per le mappe di Karnaugh Data una funzione con n variabili la mappa ha 2 n caselle, ciascuna contraddistinta da un insieme delle n variabili (vere o negate) che chiameremo arbitrariamente indirizzo della casella. Per minimizzare una funzione espressa come tabella di verità con l uso delle mappe si seguono le regole seguenti: Inserire ogni mintermine di valore uno nella casella con l opportuno indirizzo. Raggruppare le caselle contenenti gli che risultano adiacenti in gruppi di uno, due, quattro, otto elementi (2 n ). Ricordare che due caselle si dicono adiacenti se sono confinanti per un lato, (non per un angolo in diagonale) o sono poste agli estremi di una riga o di una colonna. Ogni elemento deve essere partecipe di almeno un raggruppamento. Un elemento può essere compreso in più raggruppamenti diversi. I raggruppamenti debbono essere di estensione massima ed in numero minimo. Per ricavare la riduzione ottenuta dal raggruppamento scrivere il prodotto delle sole variabili che non cambiano valore dentro al raggruppamento. Otterremo una funzione nella forma di somme di prodotti delle variabili, ed conseguentemente applichiamo i teoremi di De Morgan per ottenere una funzione espressa solo con prodotti NAND, e quindi sintetizzeremo il circuito utilizzando solo porte NAND. 3 Verifiche La verifica somministrata al termine dell attività didattica (vedi allegato ) è di tipo sommativo e prevede una parte sotto forma di test a risposta 5

18 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 multipla per valutare le conoscenze ed una seconda parte costituita da esercizi per valutare le competenze e le capacità acquisite. Non si è ritenuto di effettuare una verifica formativa scritta visto che già nel corso delle lezioni il docente ha modo di valutare il livello dell apprendimento degli allievi facendoli partecipare alla risoluzione degli esempi proposti in aula. 4 Valutazione La valutazione della verifica avverrà coerentemente con gli indicatori e i descrittori riportati in allegato 2. Ogni valutazione insufficiente vede il docente impegnato in un intervento di recupero in itinere tarato sulle lacune emerse dal test e comunque prima della chiusura del modulo di Algebra di Boole di cui questa unità didattica è parte integrante. Questo potrebbe avvenire anche durante il laboratorio, sfruttando così anche l attività pratica per rafforzare quanto appreso nella parte teorica dell unità. 5 Bibliografia e sitografia - Appunti dell autore e appunti di colleghi docenti; - Unità didattica I.T.I.S. Majorana - Sandro Petrizzelli: Appunti di Elettronica Digitale Capitolo 2 Algebra Booleana - Documento di programmazione attività educative didattiche classe VB Liceo G. Bruno Melzo ( 6

19 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 6 Allegati 6. Allegato : Verifica sommativa fine attività didattica I.T.I.S. A. PACINOTTI Mestre Venezia Verifica di Elettronica Le mappe di Karnaugh Classe 3^ Et Data Studente Il candidato risponda alle seguenti domande: (Nota bene: risposta esatta p.ti 2, risposta non data p.ti, risposta errata p.ti -). ) Data una funzione booleana di n variabili, qual è il numero massimo di mintermini che la possono comporre? a) 2 n V F b) 2 n V F c) n 2 V F d) Nessuna delle risposte precedenti V F 2) La mappa di Karnaugh relativa ad una funzione booleana è composta da: a) un numero di caselle pari al numero delle variabili in gioco V F b) un numero di caselle pari al numero di combinazioni possibili delle variabili in gioco V F c) un numero di caselle il più piccolo possibile V F d) nessuna delle risposte precedenti V F 3) In una mappa di Karnaugh le celle adiacenti differiscono: a) per il valore di una sola variabile in ingresso V F b) per il valore di due variabili in ingresso V F c) differiscono sempre ma senza una regola precisa V F d) nessuna delle risposte precedenti V F 7

20 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 4) Minimizzare una funzione logica significa scriverla in forma tale che: a) il numero di volte che compaiono in essa le variabili della funzione è il massimo possibile V F b) il numero di variabili sia pari V F c) sia espressa in forma di prodotto logico V F d) nessuna delle risposte precedenti V F 5) La semplificazione di una funzione logica tramite mappa di Karnaugh viene effettuata considerando gli contenuti in celle adiacenti e formanti gruppi di numeri pari a : a) un numero maggiore di due V F b) un numero multiplo di due V F c) una potenza di due V F d) dipende dal numero di celle della tabella V F 6) Utilizzando la mappa di Karnaugh minimizzare la funzione e disegnare la rete logica utilizzando solamente porte NAND Y = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D 7) Data la mappa di Karnaugh scrivere la funzione booleana che l ha originata CD 8

21 SSIS Veneto Ciclo: IX - Tesi di specializzazione Classe A34 Specializzando: Simone Belcastro matr. R2 6.2 Allegato 2: Griglia di valutazione verifica sommativa fine attività didattica Punteggio test: risposta esatta p.ti 2 risposta non data p.ti risposta errata p.ti - Valutazione risposte alla domanda 6: Indicatori Punteggio Punteggio Mappa di Karnaugh da una funzione data Inserimento dei mintermini in casella corretta Errata / non data Corretta 2 Errato / non dato Corretto 2 Errato / non dato Raggruppamento caselle Parziale Completo 2 Errato / non dato Risultato della riduzione della funzione Parziale Completo 2 Risoluzione della minimizzazione con porte NAND Errato / non dato Corretto 2 Valutazione risposta domanda 7: Risposta corretta punti 4 Risposta non data punti Risposta errata punti -2 Griglia di valutazione finale Punteggio Giudizio Voto in decimi < 9 Gravemente insufficiente Insufficiente 4 4,5 2-3 Mediocre 5 5,5 4-5 Sufficiente 6 6,5 6-7 Discreto 7 7,5 8-9 Buono 8 8, Ottimo 9-9