FONDAMENTI DI INFORMATICA Lezione n. 3

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1 FONDMENTI DI INFORMTI Lezione n. 3 FORME NONIHE. TRSFORMZIONI. ESERIZI. In questa lezione verranno considerate le proprietà dell'algebra booleana che saranno poi utili per l'analisi e la progettazione di circuiti a livello logico. Introdurremo poi le tecniche per trasformare la rappresentazione algebrica di un problema nella rappresentazione circuitale. 1/ 21

2 FORME NONIHE - I Un minterm è una espressione prodotto che contiene in modo affermato o negato tutte le variabili della funzione. In una funzione di 3 variabili sono minterm: non sono minterm: { x, x x3} 1 2, x 1 x2 x3,..., x1 x2 x3 x 1 x2,..., x1 x3 2/ 21

3 FORME NONIHE - II Un maxterm è una espressione somma che contiene in modo affermato o negato tutte le variabili della funzione. In una funzione di 3 variabili sono maxterm: non sono maxterm: x 1 x2 x3,..., x1 x2 x3 x 1 x2,..., x1 x3 { x, x x3} 1 2, 3/ 21

4 FORME NONIHE - III Le somme di minterm o i prodotti di maxterm sono detti forme canoniche. Esempi di forme canoniche: SdP: ( x 1 x2 x3) ( x1 x2 x3) PdS: ( x 1 x2 x3)( x1 x2 x3) 4/ 21

5 L SOMM DI NUMERI INRI Riporto ddendo ddendo Somma = 1 1 X Y S / 21

6 FORME NONIHE - IV = 1 se x y x y 1 1 x y 1 1 x y x y Una somma di minterm rappresenta direttamente tutti gli 1 di una funzione. 6/ 21

7 FORME NONIHE - V 1 = se x y (x y ) (x (x ( x y ) y ) y Un prodotto di maxterm rappresenta direttamente tutti gli di una funzione. ) 7/ 21

8 FORME NONIHE - V Una qualunque funzione è espressa univocamente come: ( x x, x ) f,... 1, 2 3 x n Somma di minterm: Prodotto di maxterm: i & & & ( x i1 xi2 K xin ) i & ( x i1 xi2 K xin & ) 8/ 21

9 LOGI DUE LIVELLI - I Una qualunque espressione Prodotto di Somme (Pds) può essere implementata da un circuito a due livelli di logica. U = ()() 9/ 21

10 LOGI DUE LIVELLI - II Una qualunque espressione Somma di Prodotti (SdP) può essere implementata da un circuito a due livelli di logica. U = ( )( ) 1 / 21

11 L SOMM DI NUMERI INRI X Y S (SP) =X Y X Y X Y X Y 1(PS) =(X Y )(X Y ) (X Y )(X Y ) S (SP) = X Y X Y X Y X Y S (PS) =(X Y )(X Y ) (X Y )(X Y ) 11 / 21

12 L SOMM DI NUMERI INRI X i Y i i SOMMTORE OMPLETO S i i1 Utilizzando il modulo elementare (Sommatore completo o Full dder o F) riportato nella figura è possibile realizzare un circuito che esegue la somma di numeri binari di lunghezza qualsiasi. X 3 Y 3 X 2 Y 2 X 1 Y 1 X Y F F F F 4 S 3 3 S 2 2 S 1 1 S ircuito per la somma di numeri binari a 4 bit con propagazione del riporto 12 / 21

13 L NEGZIONE U = Un cerchio all ingresso (o all uscita) di una porta logica ha significato di negazione. I nuovi simboli così costruiti possono essere utilizzati per rappresentare funzioni booleane anche complesse. 13 / 21

14 EQUIVLENZE Il teorema di De Morgan afferma che: = che corrisponde all equivalenza circuitale: Le relazioni di equivalenza dell'algebra booleana sono interpretate a livello circuitale come relazioni di equivalenza fra moduli logici. 14 / 21

15 EQUIVLENZE La possibilità di rappresentare in modo diverso le stesse funzioni logiche consente di effettuare trasformazioni circuitali basandosi su proprietà algebriche. = = = 15 / 21

16 TRSFORMZIONI IRUITLI La funzione EX-OR realizzata con un circuito a due livelli di logica. EX-OR U U / 21

17 TRSFORMZIONI IRUITLI ggiungendo due pallini di negazione in serie sulle uscite delle porte NND. Trasformando la porta di uscita in porta NND circuito con sole porte NND. Inserimento di due negazioni Si trasforma in 17 / 21

18 TRSFORMZIONI IRUITLI Le trasformazioni precedenti possono essere generalizzate: D E F K = D E F K ( ) ( D E F) K = D E F K Ogni funzione (rappresentata come SP o PS) può essere realizzata utilizzando solo porte NND o porte NOR. Le porte NND o NOR sono insiemi completi. 18 / 21

19 X Y L SOMM DI NUMERI INRI Realizzazione con i decodificatori S (SP) = X Y X Y X Y X Y 1(SP) =X Y X Y X Y X Y 19 / 21

20 Fondamenti di Informatica/3 2 / 21 Gianni ONTE ESERIZI Verificare la seguente identità: = ( ) = = ) (1 ) 1 ( = = ltre tecniche: confrontare la tabella delle verità, diagrammi di Venn confrontare le forme canoniche.

21 ESERIZI Diagrammi di Venn: 21 / 21

22 ESERIZI Ottimizzare il seguente circuito logico: Equivalente a: U = ( ) ( )( ) 22 / 21

23 ESERIZI Occorre semplificare la relazione: U = ( = ( = ( = ( ) ( )( ) ( ) )( ) ) ) 23 / 21