I circuiti elementari

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1 I circuiti elementari Nel lavoro diprogrammazione con il computer si fa largo uso della logica delle proposizioni e delle regole dell algebra delle proposizioni o algebra di Boole. L algebra di Boole ha come oggetto le entità astratte chiamate proposizioni: queste possono assumere soltanto due valori: Vero (True) o Falso (False); l algebra di Boole fissa le regole per effettuare operazioni su di esse. Le proposizioni espresse tramite un affermazione che può essere solo vera o falsa sono semplici Le proposizioni possono essere combinate tra di loro utilizzando i connettvi logici, per ottenere una nuova proposizione detta composta: questa asua volta può assumere solo i valori Vero o Falso a seconda del valore di verità delleproposizioni semplici che la compongono.i connettivi logici (AND, OR, NOT..) utilizzati per combinare più prosizioni possono essere rappresentati con i circuiti elettrici elementari che, opportunamente modificati, sono alla base del funzionamento dell elaboratore. Un circuito elettrico elementari è costituito da: un generatore (batteria ), una resistenza (lampadina ), un interruttore, più circuiti elementari sono collegati fra di loro da fili conduttori. Per i circuiti sono possibili solo 2 stati: il circuito è aperto quindi non passa corrente, il circuito è chiuso quindi passa corrente, a cui sono associati 2 stati per l interruttore: l interruttore è aperto quindi non passa corrente, l interruttore è chiuso quindi passa corrente, a questi possiamo associare: interruttore è aperto 0, interruttore è chiuso 1, In generale una lampada L sarà: accesa a 1 per interruttore a 1, spenta a 0 per interruttore a 0. Pag. 1

2 La negazione La lampadina è accesa (a 1) e l interruttore è aperto(a 0) La lampadina è spenta (a 0) e l interruttore è chiuso (a 1) Con riferimento al circuito elementare sopra riportati si può predisporre la tavola di verità del connettivo logico NOT: P (interruttore) P = L (lampadina) chiuso 1 0 spenta aperto 0 1 accesa questo circuito, è detto invertitore, ha come rappresentazione logica: P P Pag. 2

3 La congiunzione Interruttori aperti (a 0) lampadina spenta ( a 0) Con riferimento al circuito elementare sopra riportati si può predisporre la tavola di verità del connettivo logico AND: P (interruttore) Q (interruttore) P Q = L (lampadina) accesa spenta spenta spenta questo circuito ha come rappresentazione logica: P Q L Pag. 3

4 La disgiunzione Interruttori aperti (a 0) lampadina spenta ( a 0) Con riferimento al circuito elementare sopra riportati si può predisporre la tavola di verità del connettivo logico OR: P (interruttore) Q (interruttore) PVQ = L (lampadina) accesa accesa accesa spenta questo circuito ha come rappresentazione logica: P Q L Pag. 4

5 I circuiti addizionatori A questo punto possiamo chiederci come si realizza un circuito a componenti logiche in grado di soddisfare le operazioni aritmetiche binarie. Prendiamo come esempio la somma, Come si è già detto le regole per effettuare la somma di due numeri binari possono essere sintetizzate nella seguente tabella: A B Somma Riporto Un possibile circuito in grado di soddisfare questa tabella di stato è, come si può verificare: Somma A B Riporto Circuito half-adder Questo schema rappresenta una rete logica che, traducendo le funzioni booleane nelle corrispondenti combinazioni di blocchi elementari (OR, AND, NOT) realizza la somma binaria. Tale circuito si chiama half-adder, e presenta due ingressi, uno per ognuno degli addendi (A, B), e due uscite: una per la funzione somma, l altra per il riporto. Tale circuito non permette da solo di realizzare l addizione di due cifre binarie in caso di presenza del riporto proveniente dalla somma delle due cifre precedenti; in questo caso infatti occorrono tre ingressi (il riporto e due addendi) e due uscite (somma e riporto). Pag. 5

6 Esercizi Questionario Data la rete combinatoria: p AND q OR y OR --- NOT disegnare i simboli mancanti, - completare la tavola di verità: P Q p q p v q Γ(p v q) Y - indicare la proposizione composta corrispondente ad y. 07- Data la rete combinatoria: p AND --- NOT q AND y OR disegnare i simboli mancanti, - completare la tavola di verità: P Q p q Γ(p q) (p v q) Y - indicare la proposizione composta corrispondente ad y. Pag. 6

7 Questionario 2.2 5) Dimostrare la seguente equivalenza: a) (p v Γq) v Γr ( p v Γr) Γ(q r) b) Γ(p v q) v r (Γp v r) (Γq v r) c) Γ(p Γq) r (Γp r) v Γ(Γq r) d) (Γp v Γq) Γr Γ(p v r) v Γ(q Γr) dove p, q, r sono tre proposizioni e: - Γ equivale a NOT, - v equivale ad OR non esclusivo (VEL), - equivale ad AND. 6) Date le reti combinatorie a) b) c) p NOT AND OR NOT q NOT AND p OR AND NOT q NOT --- OR NOT --- p AND NOT AND q NOT OR Pag. 7

8 d) p OR NOT OR NOT q AND -- NOT ) disegnare gli operatori logici mancanti, 6.2) ricavare la proposizione composta corrispondente, 6.3) ricavare la tavola di verità corrispondente. QUESTIONARIO ) Dato il circuito logico: a) p NOT OR AND y q NOT r NOT a.1) disegnare gli operatori logici mancanti, a.2) ricavare la proposizione composta corrispondente, a.3) ricavare la tavola di verità corrispondente. b) p OR ---- NOT OR y' r NOT AND NOT --+ q b.1) disegnare gli operatori logici mancanti, b.2) ricavare la proposizione composta corrispondente, b.3) ricavare la tavola di verità corrispondente. c) dire se risulta y y' Pag. 8

9 02) Dati i circuiti logici: p OR NOT OR --- NOT --- q AND -- NOT NOT p NOT ---- AND AND q --- NOT OR -- NOT a) disegnare gli operatori logici mancanti, b) ricavare le proposizioni composte corrispondenti, c) dopo aver ricavato le tavole di verità corrispondenti dire se i due circuiti sono equivalenti. Pag. 9