Prof. Pagani Corrado ALGEBRA BOOLEANA

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1 Prof. Pagani Corrado ALGEBRA BOOLEANA

2 INTRODUZIONE L'algebra di Boole è definita da G. Boole, britannico, seconda metà 8 E un modello matematico che rappresenta le leggi della logica utilizzando variabili binarie che possono cioè assumere solo due valori (che si escludono a vicenda): il valore falso il valore vero Si può rappresentare vero con il bit e falso con il bit (convenzione di logica positiva).

3 IL SISTEMA NUMERICO BINARIO Anche i moderni calcolatori utilizzano il sistema numerico binario ( e ), messo a punto dallo stesso Boole, per poter rappresentare un informazione. Questi valori, all'interno dell'architettura dei calcolatori, sono abbinati a due tensioni differenti denominate livello logico alto e livello logico basso.

4 LE OPERAZIONI FONDAMENTALI Le operazioni fondamentali dell'algebra di Boole sono tre: Operatori logici binari (con 2 operandi logici). 2. Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con operando) 3. Operatore NOT, o negazione Attraverso queste operazioni è possibile realizzare tutte le altre operazioni più complesse che un calcolatore è in grado di compiere.

5 TABELLE DI VERITA Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato detta tabella di verità. Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione.

6 SOMMA LOGICA OR A B A or B PRODOTTO LOGICO AND A B A and B

7 SOMMA LOGICA ESCLUSIVA XOR A B A xor B NEGAZIONE LOGICA NOT A Not A

8 ESPRESSIONI LOGICHE Sono costruite analogamente alle espressioni algebriche, costruite con: Costanti logiche: valori o Variabili logiche (letterali) Operatori logici: and, or, not Es A or (B and C) or (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come (cambia segno)

9 TABELLE DI VERITÀ DELLE ESPRESSIONI NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) )

10 TABELLE DI VERITÀ DELLE ESPRESSIONI NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) )

11 ESPRESSIONI CON 3 OPERANDI A and B or not C A B C A and B or not C

12 ESPRESSIONI CON 3 OPERANDI A and B or not C A B C A and B or not C

13 MODELLARE FORME DI RAGIONAMENTO A = è vero che ci troviamo all aperto (supponiamo di no) A = B = è vero che oggi piove (supponiamo di sì) B= A and B espressione che ci indica se la pioggia ci bagna = risulta falsa Se usciamo dalla scuola diventa vera

14 TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili A or not A Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili A and not A

15 PROPRIETA L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità (cioè equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili) Esempio celebre: le Leggi di De Morgan not (A and B) = not A or not B (a legge) not (A or B) = not A and not B (2a legge)

16 INDOVINELLI LOGICI Un'ampia classe di indovinelli logici elementari può essere risolta usando le leggi dell'algebra booleana e le tavole di verità. Indovinelli dell isola dei cavalieri e dei furfanti Su questa isola di fantasia, tutti gli abitanti sono o cavalieri, che dicono sempre la verità, o furfanti, che mentono sempre

17 ENIGMA Arturo e Bernardo sono abitanti dell'isola dei cavalieri e dei furfanti. Arturo dice: Siamo entrambi furfanti. Di che tipo sono Possiamo usare l'algebra booleana: sia A vera se Arturo è un cavaliere e B vera se Bernardo è un cavaliere.

18 SOLUZIONE ENIGMA O Arturo è un cavaliere e quello che dice è vero o Arturo non è un cavaliere e quello che dice è falso (A and (not A and not b)) or (not A and not(not A and not b)) Contraddizione sempre falsa posso ignorare la parte prima dell OR Soluzione per la legge di de Morgan Not A and ( A or B ) A deve essere FALSO Di conseguenza B deve essere VERO Arturo è un furfante mentre Bernardo è un cavaliere

19 SOLUZIONE ENIGMA CON EXCEL Traduzione dell espressione booleana (A and (not A and not b)) or (not A and not(not A and not b)) con la sintassi di excel (elenco tutte le combinazioni possibili svolgendo la tabella di verità) O(E(A;(E(NON(A);NON(B))));(E(NON(A);NON(E(NON(A);NON(B))))))

20 ESERCIZI Valutare il risultato delle seguenti espressioni VERO and (FALSO or (not (FALSO and VERO))) A OR (not ((B or not B)) and A) Determinare la tabella di verità delle seguenti espressioni (verificare poi con excel) Not A and B or not B and C OR A and B A or (B and C) or not (C and A) Verificare l equivalenza delle seguenti espressioni: R = A and not B or not a and b S = not (not a and not b or a and b)