Calcolo dei sequenti II. Il Calcolo dei Sequenti d. Gentzen: La Logica Intuizionista.

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1 Calcolo dei sequenti II. Il Calcolo dei Sequenti di Gentzen: La Logica Intuizionista. 6 Maggio 2009

2 Introduzione Ieri abbiamo visto cos è formalmente un sequente (una coppia ordinata Γ di sequenze finite di formule) e come può essere interpretato ( (Γ) ( )). 1 Quindi abbiamo visto come costruire, a partire dal sistema di deduzione naturale per la logica intuizionista ND i, un corrispondente calcolo sui sequenti SND i, tale che, per ogni insieme di formule Γ e ogni formula α, Γ NDi α se e solo se SNDi Γ α 1 Dove, dato un insieme finito Γ = {α 1,..., α n }, (Γ) (rispettivamente, (Γ)) rappresenta la formula ottenuta congiungendo (disgiungendo) tutti gli elementi di Γ, ossia la formula α 1... α n (α 1... α n ).

3 Introduzione Oggi andremo a vedere il vero e proprio calcolo dei sequenti sviluppato da Gentzen. Partendo da SND i costruiremo il Calcolo dei Sequenti per la logica intuizionista (SC i ), dimostrando la corrispondenza fra i due.

4 Tipi di regole Iniziamo modificando il calcolo SND i. Come abbiamo visto ieri, la regola di Left Weakening (Monotonìa) Γ α Γ,β α può essere derivata in SND i. Le regole di derivazione che, come il Left Weakening, non presentano nel loro schema istanze di alcun connettivo sono dette regole strutturali. Le regole, come quelle delle tabelle III e V viste ieri, che vanno a definire il comportamento dei connettivi, vengono invece chiamate regole sugli operatori.

5 Tipi di regole Nelle regole sugli operatori, la formula che presenta il connettivo interessato viene detta formula principale, le formule che vanno a comporre la formula principale sono dette ausiliarie, mentre le altre sono formule collaterali. Per esempio, in Γ α β Γ, α β α β è la formula principale, α e β quelle ausiliarie, e Γ e gli insiemi delle formule collaterali.

6 Modifichiamo SND i... Nel calcolo SND i ogni regola sugli operatori che ha più di una premessa (in particolare, [I ], [E ], [E ], [I ], [E ] e [E ]) presentano insiemi di formule collaterali che variano da sequente a sequente. Ad esempio, [E ] si presenta come Γ α β Γ, β α

7 Modifichiamo SND i... Se inseriamo nel nostro calcolo la regola di Left Weakening come regola primitiva, possiamo semplificare le regole sugli operatori mantenendo l insieme delle formule collaterali identico in ogni sequente. Ad esempio, [E ] diventa Γ α β Γ β Γ α

8 Modifichiamo SND i... Definiamo quindi un nuovo calcolo SND i in cui inseriamo il Left Weakening e fissiamo le formule collaterali in ogni regola sugli operatori. SND i sarà quindi definito dalle seguenti regole: (Tavola VI: Assioma e regola strutturale di SND i.) Axiom α α LeftWeakening Γ α Γ, β α

9 Modifichiamo SND i... (Tavola VII: Regole sugli operatori di SND i prop ) [I ] Γ α Γ β Γ α β [E ] Γ α β Γ α Γ α β Γ β [I ] Γ α Γ α β Γ β Γ α β [E ] Γ α β Γ, α γ Γ, β γ Γ γ [I ] Γ, α β Γ α β [E ] Γ α β Γ β Γ α [I ] Γ, α β Γ, α β Γ α [E ] Γ α Γ α Γ β

10 Modifichiamo SND i... (Tavola VIII: Regole sui quantificatori di SND i ) [I ] a Γ α Γ ( x)α t x [E ] Γ ( x)α(x) Γ α(t) [I ] Γ α(t) Γ ( x)α(x) [E ] b Γ ( x)α(x) Γ, α(t) β Γ β a Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore. b Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore, né in ( x)α(x).

11 Modifichiamo SND i... È facile dimostrare l equivalenza fra i due sistemi SND i e SND i. Teorema Dato un linguaggio l per la logica dei predicati, per ogni sott insieme finito Γ di l e ogni formula α di l, SNDi Γ α se e solo se SND i Γ α

12 Modifichiamo SND i... Dimostrazione. (I) Dimostriamo che se SND i Γ α, allora SNDi Γ α. Possiamo vedere che ogni regola di SND i è valida anche in SND i : il Left Weakening, abbiamo visto nella prima lezione, è una regola derivata in SND i ; le regole operative di SND i sono semplicemente casi particolari delle regole di SND i, ottenibili ponendo sostituendo Γ a nelle regole di SND i. Tutte le regole di SND i sono quindi valide in SND i, e di conseguenza, per induzione completa sulla profondità degli alberi di derivazione di SND i, ogni sequente derivabile in SND i è ottenibile anche in SND i.

13 Modifichiamo SND i... (II) Dimostriamo che se SNDi Γ α, allora SND i Γ α. È sufficiente dimostrare che ogni regola di SND i (quindi con le formule collaterali non necessariamente uguali in ogni premessa) è derivabile in SND i per mezzo della monotonìa. Le dimostrazioni sono elementari. È sufficiente utilizzare il Left Weakening sui sequenti posti sopra la linea di derivazione affinchè presentino lo stesso antecedente, e quindi applicare la corrispondente regola di SND i.

14 Modifichiamo SND i... Facciamo solo un esempio derivando (I ) 2. (LW ) Γ α Γ, α Γ, α β β (LW ) Γ, β (I ) Quindi, sempre per induzione completa sulla profondità degli alberi, ogni derivazione in SND i è ottenibile anche in SND i. 2 La doppia linea di derivazione indica che la regola in questione è stata applicata un numero finito n di volte

15 Il Calcolo dei Sequenti SC i Adesso siamo pronti ad introdurre il calcolo dei sequenti vero e proprio, nella forma in cui lo ha definito Gentzen. Il calcolo che abbiamo definito, SND i, è una diretta traduzione della deduzione naturale al livello dei sequenti, ed è quindi caratterizzato da regole di introduzione e di eliminazione per ogni connettivo. Gentzen era principalmente interessato a definire un calcolo con alcune proprietà particolarmente desiderabili per la costruzione delle dimostrazioni, proprietà che vedremo nelle prossime lezioni.

16 Il Calcolo dei Sequenti SC i Le regole di eliminazione dei connettivi nel conseguente dei sequenti non risultavano adatte ai suoi scopi, e quindi Gentzen le ha sostituite con regole che introducono i connettivi nell antecedente dei sequenti, a sinistra della freccia. Ad esempio, la regola di Eliminazione della Congiunzione, [E ], viene sostituita da una regola di Introduzione della Congiunzione a Sinistra, [ ]: [E ] Γ α β Γ α [ ] α, Γ γ α β, Γ γ

17 Il Calcolo dei Sequenti SC i Quindi, le regole sugli operatori di SND i (Tavole VII e VIII) vengono sostituite dalle seguenti regole. (Tavola IX: Regole sugli operatori di SC i prop ) [ ] Γ α Γ β Γ α β [ ] α, Γ γ α β, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ [ ] Γ α Γ α β Γ β Γ α β [ ] α, Γ γ β, Γ γ α β, Γ γ [ ] α, Γ β Γ α β [ ] Γ α β, Γ γ α β, Γ γ [ ] α, Γ Γ α [ ] Γ α α, Γ

18 La negazione Un discorso a parte deve essere fatto per la negazione. Le regole α, Γ Γ α [ ] [ ] Γ α α, Γ introducono la possibilità che il conseguente sia vuoto. Il conseguente vuoto deve essere interpretato come se le premesse portassero ad una situazione impossibile, ad una assurdità, e deve essere letto come se vi fosse una contraddizione.

19 La negazione Questa interpretazione viene naturalmente osservando le regole. [ ] corrisponde a [I ]: se una premessa porta ad assurdità, possiamo negarla. [ ] ci dice invece che, se α è conseguenza di Γ, aggiungendo α alle premesse otteremo una contraddizione.

20 La negazione Affinchè il sistema tratti il conseguente vuoto come un assurdità, è necessario aggiungere una nuova regola strutturale, il Right Weakening (RW ), corrispondente al principio ex falso quodlibet: Γ (RW ) Γ α

21 La negazione Un caso particolare è rappresentato dal sequente vuoto Questo viene interpretato come l assurdo, nel senso che corrisponde alla derivazione dove sta a rappresentare il sempre-vero, una tautologia (e quindi un insieme di premesse vuoto), e il sempre-falso, una contraddizione. Di conseguenza, se in un sistema di sequenti possiamo derivare il sequente vuoto, significa che il sistema è inconsistente, è contraddittorio.

22 Regole sui quantificatori Vediamo anche le regole sui quantificatori. (Tavola X: Regole sui quantificatori di SC i ) [ ] a Γ α(t) Γ ( x)α(x) [ ] α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ [ ] Γ α(t) Γ ( x)α(x) [ ] b α(t), Γ γ ( x)α(x), Γ γ a Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore. b Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore.

23 La regola Cut Prendiamo ora in considerazione un altra regola strutturale, Il Cut (in italiano, taglio o cesura). α, Γ β α, Γ β

24 La regola Cut Il Cut è una regola significativa, che formalizza la componibilità delle derivazioni della deduzione naturale. Ad esempio, se abbiamo un albero di derivazione che dall insieme di formule Γ, α deriva la formula β (e quindi abbiamo il sequente α, Γ β) e un altro albero che dall insieme deriva la formula α ( α) possiamo combinarli in un unico albero che deriva β da Γ e (Γ, β).

25 La regola Cut Da α e α, Γ β.... α α. β Γ.

26 La regola Cut... a Γ, β.. α. β Γ.

27 La regola Cut Il Cut corrisponde alla Transitività, proprietà importante della relazione di conseguenza classica. α Γ β per ogni β in Γ α

28 La regola Cut Praticamente, il Cut sta ad indicare che il sistema permette di riutilizzare ciò che è stato dimostrato in precedenza in nuove dimostrazioni, e la validità di questa regola è quindi generalmente ritenuta una proprietà essenziale per ogni sistema di derivazione.

29 La regola Cut Come abbiamo visto nel passaggio da SND i a SND i, la presenza del Left Weakening ci permette di imporre per ogni regola che l insieme delle formule collaterali sia lo stesso in ogni sequente. Utilizzeremo quindi il Cut nella forma: Γ α α, Γ β Γ β Come vedremo tra poco, Il Cut è una regola che deve essere assunta per passare dalle regole di eliminazione di SND i alle regole di introduzione a sinistra di SC i : utilizzando il Cut è possibile dimostrare che le regole di eliminazione e le corrispondenti regole di introduzione a sinistra sono interderivabili.

30 Contraction, Interchange A questo punto abbiamo quasi tutti gli ingredienti per definire il calcolo dei sequenti intuizionista SC i. Gentzen introduce altre due regole strutturali per la gestione delle premesse: la Contrazione e lo Scambio (o Permutazione).

31 Contraction, Interchange Per introdurre queste regole è necessario specificare una distinzione nel modo di considerare le formule poste nell antecedente di un sequente. Queste possono essere trattate in tre modi diversi. Come sequenze: Nel considerare le formule nell antecedente viene presa in considerazione l esatta configurazione con cui queste vengono presentate, e ogni differenza in tale configurazione, sia per quanto riguarda l ordine che le ripetizioni, definisce differenti antecedenti. Ad esempio: α, β β, α β, α, α

32 Contraction, Interchange Come multi-insiemi: L ordine in cui vengono presentate le premesse non conta, ma la presenza di un diverso numero di istanze di una formula distingue gli antecedenti. Ad esempio: α, β = β, α β, α, α Come insiemi: Né l ordine, né il numero di istanze delle formule sono rilevanti per distinguere gli antecedenti. Ad esempio: α, β = β, α = β, α, α

33 Contraction, Interchange Le relazioni di conseguenza della logica classica e della logica intuizionista trattano le loro premesse come insiemi di formule, e così abbiamo fatto anche noi nei sistemi presentati fino a ora. Ciononostante, per Gentzen i sequenti sono composti da stringhe di simboli, da sequenze di formule. Per questo si rendono necessarie le regole di Contrazione e Scambio, affinchè l ordine delle premesse e il numero di ripetizioni di una stessa formula nell antecedente risultino indifferenti per il calcolo dei sequenti.

34 Contraction, Interchange Left Contraction: α, α, Γ β α, Γ β Left Interchange:, α, β, Γ γ, β, α, Γ γ È immediato vedere che queste due regole non fanno altro che rendere irrilevanti l ordine e le repetizioni di formule nell antecedente del sequente. Nei sistemi visti precedentemente, SND i e SND i, queste regole valgono banalmente, visto che là l antecedente è definito come un insieme di formule, anziché come una sequenza.

35 Il Calcolo dei Sequenti SC i Adesso possiamo definire il calcolo SC i come il calcolo dei sequenti ottenuto unendo le regole sugli operatori delle Tavole IX e X con le seguenti regole strutturali (Tavola XI: Assioma e regole strutturali di SC i.) Axiom : α α Left Weakening : Right Weakening : Γ α Γ Γ, β α Γ α Left Contraction : Left Interchange : α, α, Γ β, α, β, Γ γ α, Γ β, β, α, Γ γ Cut : Γ α α, Γ β Γ β

36 Corrispondenza fra SND i e SC i Definito il calcolo SC i, si tratta di dimostrarne la corrispondenza con la deduzione naturale ND i. Lo confronteremo quindi con il calcolo sui sequenti SND i...