Chiarificazione sulla forma delle regole del calcolo LC p

Transcript

1 Chiarificazione sulla forma delle regole del calcolo LC p Proviamo a spiegare un pò come mai le regole di LC p sono accettabili avvalendosi di tautologie classiche che riconosciamo grazie all utilizzo delle tabelle di verità. - Le regole di sinistra della congiunzione e di destra della disgiunzione di LC p sono accettabili perchè rappresentano una riscrittura della virgola a sinistra e a destra del segno di sequente secondo il significato del sequente, ricordando che il sequente - Gli assiomi identità Γ rappresenta la proposizione Γ & seguono dalla tautologia classica ax-id Γ, A, Γ, A, - L assioma del falso ( G 1 & A ) & G 2 ( D 1 A ) D 2 segue dalla tautologia classica ax- Γ,, Γ ( G 1 & ) & G 2 D G 1 al posto di Γ, G 2 al posto di Γ e D al posto di. - La regola di scambio a sx Σ, Γ, Θ, Γ, Σ, Γ, Θ, Γ, sc sx segue dalla seguente tautologia classica, sup di mettere E al posto di Σ, G 1 al posto di Γ, G 2 al posto di Γ, P al posto di Θ, D al posto di, N al posto di e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( ( ( (E & G 1 ) & P) & G 2 ) & D N ) ( ( ( (E & G 2 ) & P) & G 1 ) & D N ) che in sostanza segue dalla commutatività della congiunzione. - La regola di scambio a dx Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx segue dalla seguente tautologia classica, sup di mettere G al posto di Γ, E al posto di Σ, D 1 al posto di, D 2 al posto di, P al posto di Θ, N al posto di e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( G ( ( (E 1 G 1 ) P) G 2 ) N ) ( G ( ( (E 1 G 2 ) P) G 1 ) N ) che in sostanza segue dalla commutatività della disgiunzione. 1

2 - La regola di destra della congiunzione Γ A, Γ B, & D Γ A&B, segue dalla seguente tautologia classica, sup di mettere G e D al posto di Γ & e e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( G A D ) & ( G B D ) ( G ( A & B ) D ) In particolare il caso in cui Γ è la lista vuota e è semplicemente D ovvero la seguente istanza della regola A, B, D A&B, D & D segue dalla tautologia classica ( A D ) & ( B D ) ( A & B ) D che è un verso della distributività della disgiunzione sulla congiunzione - La regola di sinistra della disgiunzione Γ, A Γ, B Γ, A B S segue dalla seguente tautologia classica sup di mettere G e D al posto di Γ & e e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( G & A D ) & ( G & B D ) ( G & ( A B ) D ) In particolare il caso in cui Γ è la lista vuota e è semplicemente D ovvero la seguente istanza della regola A D B D A B D S segue dalla tautologia ( A D ) & ( B D ) ( ( A B ) D ) che è un verso di una tautologia già nota come disgiunzione come antecedente Esempio: Ponendo A= Mario va al cinema B= Mario va a mangiare la pizza D= Mario si diverte la regola formalizza Dal fatto che, se Mario va al cinema allora si diverte e se Mario va a mangiare la pizza allora si diverte 2

3 se Mario o va al cinema o va a mangiare la pizza allora si diverte. - La regola di destra della negazione Γ, A Γ A, D segue dalla seguente tautologia classica sup di mettere G e D al posto di Γ & e e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( G & A D ) ( G A D ) Esempio: Ponendo G= Mario ha fame A= Mario ha qualcosa da mangiare D= Mario mangia la regola formalizza Dal fatto che, se Mario ha fame e ha qualcosa da mangiare allora mangia se Mario ha fame o non ha qualcosa da mangiare oppure mangia. - La regola di sinistra della negazione Γ A, Γ, A S segue dalla seguente tautologia classica sup di mettere G e D al posto di Γ & e e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione ( G A D ) ( G & A D ) Esempio: Ponendo G=Piove A= Mario prende l ombrello D= Mario prende la mantella impermeabile la regola formalizza Dal fatto che, se piove allora Mario prende l ombrello oppure la mantella impermeabile se piove e Mario non prende l ombrello allora prende la mantella impermeabile. - La regola di destra dell implicazione Γ, A B, Γ A B, D segue dalla seguente tautologia classica sup di mettere G e D al posto di Γ & e e un implicazione al posto della sbarra che separa i sequenti premessa e conclusione 3

4 Esempio: Ponendo G=Mario era sul luogo del delitto A= Mario non ha alibi B= Mario è colpevole D= Mario è innocente ( G & A B D ) ( G (A B) D ) la regola formalizza Assumendo che, se Mario era sul luogo del delitto e non ha alibi allora è colpevole oppure innocente se Mario era sul luogo del delitto allora è vero o che se Mario non ha alibi allora lui è colpevole oppure che Mario è innocente. In verità si comprende bene la regola A B A B e si vede che la regola di destra dell implicazione è il risultato dell applicazione di due regole - La regola di sinistra dell implicazione segue dalla seguente tautologia classica Γ, A B, Γ A, B, D Γ A B, D Γ A, Γ, B Γ, A B S Esempio: Ponendo G=È mezzogiorno A= Mario ha fame B= Mario mangia D= Mario è a posto ( G A D ) & ( G & B D ) ( G & ( A B ) D ) la regola formalizza Assumendo che, se è mezzogiorno allora o Mario ha fame oppure è a posto e assumendo che se è mezzogiorno e Mario mangia allora è a posto se è mezzogiorno e se è vero che se Mario ha fame allora mangia, Mario è a posto. 4

5 Ma la regola in verità si comprende bene la regola A B A B e si vede che la regola di destra dell implicazione è il risultato dell applicazione di due regole relative alla congiunzione e negazione Γ, A Γ A, S Γ, B Γ, A B S 5

6 Spiegazione delle regole dei quantificatori in logica classica Qui spieghiamo la forma delle regole della quantificazione universale ed esistenziale. 1. La regola della quantificazione universale a sinistra Γ, x A(x), A(t) Γ, x A(x) S che formalizza la formula ( (Γ & & x A(x) ) & A(t) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) & A(t) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( (Γ & & x A(x) ) & A(t) ) ( Γ & & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è che formalizza l enunciato Γ, A(t) Γ, x A(x) Sv che è una legge logica. (Γ & & A(t) ) (Γ & & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione universale a sinistra veloce che formalizza N=È notte B(x)= x brilla nel cielo T= Il cielo è del tutto coperto di nubi v= Venere N, B(v) T N, x B(x) T Sv Assumendo che, se è notte e Venere brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi allora se è notte e tutto brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. 6

7 Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio che formalizza A(x)= x ha la cintura allacciata P= l aereo parte m= Mario x A(x) P M(v) P inv Sv che formalizza l argomentazione scorretta Assumendo che, se tutti hanno le cinture allacciate allora l aereo parte se Mario ha la cintura allacciata allora l aereo parte. perchè la premessa richiede tutti abbiano la cintura allacciata affinchè l aereo parta mentre nella premessa sotto sappiamo solo che Mario ha la cintura allacciata e non che l abbiano anche gli altri passeggeri dell aereo. 2. La regola di quantificazione universale a destra Γ A(w), Γ x A(x), D (w VL(Γ, x A(x), )) formalizza la formula (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio che formalizza N S(w) B(w), C N x ( S(x) B(x) ), C N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella C= Il cielo è coperto di nubi D (w VL(N, x ( S(x) B(x) ), C)) Assumendo che, qualsiasi cosa, se è notte allora o, se è una stella brilla nel cielo, oppure il cielo è coperto di nubi se è notte, allora o tutte le stelle brillano nel cielo oppure il cielo è coperto di nubi. 7

8 Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & A(w) ) (Γ & x A(x) ) 3. La regola di quantificazione esistenziale a sinistra formalizza la formula Γ, A(w) Γ, x A(x) S (w VL(Γ, x A(x), )) w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x A(x),. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio che formalizza N, S(w) & B(w) T N, x ( S(x) B(x) ) T N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella T= Il cielo è del tutto coperto di nubi S (w VL(N, x ( S(x) & B(x) ), T)) Assumendo che, qualsiasi cosa, se è notte ed è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi se è notte e c è una stella che brilla nel cielo allora il cielo non è del tutto coperto di nubi. Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & & A(w) ) ( Γ & & x A(x) ) 8

9 4. La regola di quantificazione esistenziale a destra Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), formalizza la formula (a meno di associatività dei disgiunti delle conclusioni di entrambi i sequenti) D ( Γ & ( A(t) x A(x) ) ) ( Γ & x A(x) ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x A(x) A(t) x A(x) Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( Γ & ( A(t) x A(x) ) ) ( Γ & x A(x) ) Esiste anche una forma NON sicura della regola che permette di abbreviare le derivazioni che è Γ A(t), Γ x A(x), Dv che formalizza l enunciato (associando a sinistra i disgiunti delle conclusioni dei sequenti) che è una legge logica. ( Γ & A(t) ) ( Γ & x A(x) ) Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio di applicazione della regola di quantificazione esistenziale a destra veloce che formalizza A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x, y)= x sale su y. m= Marco v= treno per Venezia A(v) S(m, v), P(v) A(v) x S(x, v), P(v) Dv Assumendo che, se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o Marco sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio 9

10 che formalizza A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x, y)= x sale su y. g= il giornalaio della stazione v= il treno per Venezia A(v) x S(x, v), P(v) A(v) S(g, v), P(v) inv Dv che formalizza l argomentazione scorretta Assumendo che, se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o qualcuno sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. se il treno per Venezia è arrivato in stazione allora o il giornalaio sale sul treno per Venezia oppure le porte del treno per Venezia non sono aperte. Tale argomentazione non è corretta in quanto le porte del treno potrebbero essere aperte e il giornalaio è al suo posto a vendere giornali! 10

11 Spiegazione alternativa delle regole delle quantificatori È possibile spiegare le regole dei quantificatori della logica classica a partire dalle regole della negazione scritta con formule qualsiasi Γ fr, Γ, fr S Γ, fr Γ fr, D e dalle seguenti versioni ristrette delle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra sempre scritte con formule qualsiasi Γ fr[x/w] Γ x fr D (w VL(Γ, x fr)) Γ fr[x/t], x fr Γ x fr D ove con fr[x/t] si intende che la variabile x nella formula fr è sostituita con il termine t, per i seguenti motivi 1. la validità delle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra in forma ristretta è più semplice da riconoscere delle corrispondenti versioni generali e delle corrispondenti regole a sinistra; 2. grazie alla validità delle regole di negazione e delle loro inverse già dimostrata per proposizione arbitrarie, le versioni ristrette delle regole di quantificazione universale ed esistenziali sono equivalenti a quelle generali del calcolo; 3. usando le regole di negazione a destra e a sinistra con le leggi logiche di De Morgan per i quantificatori per una qualsiasi formula fr x fr x fr x fr x fr e la legge logica della doppia negazione fr fr giustificheremo le regole di sinistra della quantificazione universale ed esistenziale a partire dalle regole di quantificazione universale ed esistenziale a destra. Andiamo ora a mostrare i singoli punti. 1. Giustificazione della regola ristretta della quantificazione universale a dx. La forma ristretta della regola di quantificazione universale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/w] Γ x fr formalizza semplicemente la formula D (w VL(Γ, x fr)) w ( Γ & fr[x/w] ) (Γ & x fr ) che è una legge logica proprio perchè la variabile w NON è libera in Γ, x fr. Per comprendere la sua validità logica consideriamo questo esempio N, C S(w) B(w) N, C x ( S(x) B(x) ) D (w VL(N, C, x ( S(x) B(x) ))) 11

12 che formalizza N=È notte B(x)= x brilla nel cielo S(x)=x è una stella C= Il cielo è coperto di nubi Dal fatto che, qualsiasi cosa, se è notte e il cielo non è coperto di nubi allora se è una stella brilla, segue che se è notte e il cielo non è coperto di nubi, allora tutte le stelle brillano nel cielo. Si noti che la regola è sicura, ovvero la verità sale e scende nella regola, poichè è una legge logica la formula w ( Γ & fr[x/w] ) (Γ & x fr ) Giustificazione della regola ristretta della quantificazione esistenziale a dx La forma ristretta della regola di quantificazione esistenziale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/t], x fr Γ x fr D formalizza la formula ( Γ & fr[x/t] x fr ) ( Γ & x fr ) che è una legge logica in quanto è pure una legge logica x fr fr[x/t] x fr Dunque nella regola la validità logica sale e scende rendendo la regola sicura e difatti è una legge logica la formula ( Γ & fr[x/t] x fr ) ( Γ & x fr ) Di fatto la regola sopra è la correzione in forma sicura della seguente regola NON sicura che rappresenta il modo con cui noi introduciamo la quantificazione esistenziale come conclusione di un ragionamento: che formalizza l enunciato Γ fr[x/t] Γ x fr Dv ( Γ & fr[x/t] ) ( Γ & x fr ) 12

13 che è una legge logica come mostrato dal seguente esempio che formalizza A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x, y)= x sale su y. m= Marco v= treno per Venezia A(v), P(v) S(m, v) A(v), P(v) x S(x, v) Dv Assumendo che, se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora Marco sale su questo treno se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora qualcuno sale su questo treno. Chiaramente la regola non è sicura e lo si vede con questo esempio A(v), P(v) x S(x, v) A(v), P(v) S(g, v) inv Dv che formalizza A(x)= x è arrivato in stazione P(x)= le porte del treno x sono aperte S(x, y)= x sale su y. g= il giornalaio della stazione v= il treno per Venezia che formalizza l argomentazione scorretta Assumendo che, se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora qualcuno sale sul treno per Venezia se il treno per Venezia è arrivato in stazione e le sue porte sono aperte allora il giornalaio sale sul treno per Venezia. Tale argomentazione non è corretta in quanto il giornalaio potrebbe benissimo essere al suo posto a vendere giornali! 2. Ora osserviamo che grazie alle regole di negazione e alla legge della doppia negazione possiamo ricavare le regole della quantificazione universale ed esistenziale a destra in forma generale. 13

14 Regola di quantificazione universale a destra in forma generale. La regola di quantificazione universale a destra scritta con formule qualsiasi si ricava dalla regola procedendo in tal modo: supponiamo per semplicità Γ fr[x/w], Γ x fr, Γ fr[x/w] Γ x fr D (w VL(Γ, x fr, )) D (w VL(Γ, x fr)) α, β allora giustifichiamo il passaggio dalla premessa Γ fr[x/w], α, β alla conclusione Γ x fr, α, β come applicazione di una serie di regole valide (e sicure!!!) come segue (si ricordi che le inverse delle regole di negazione sono valide!) Γ fr[x/w], α, β sc dx Γ α, β, fr[x/w] Γ, α β, fr[x/w] S Γ, α, β fr[x/w] S D (w VL(Γ, α, β, x fr)) Γ, α, β x fr Γ, α β, x fr inv S Γ α, β, x fr inv S Γ x fr, α, β sc dx Si osservi inoltre che la condizione sulle variabili per l applicazione della regola di quantificazione universale a destra operata sopra è soddisfatta in quanto se w non è libera in Γ, x fr, α, β non lo è neppure in Γ, α, β, x fr. Nel caso contenga una sola formula o più di due formule si procede analogamente a quanto fatto sopra. Regola di quantificazione esistenziale a destra in forma generale. La regola di quantificazione esistenziale a destra scritta con formule qualsiasi Γ fr[x/t], x fr, Γ x fr, D si ricava dalla regola Γ fr[x/t], x fr Γ x fr D procedendo come segue: sup per semplicità α, β 14

15 giustifichiamo il passaggio dalla premessa Γ fr[x/t], α, β alla conclusione Γ x fr, α, β come applicazione della seguente serie di regole valide (e sicure!!) Γ fr[x/t], x fr, α, β Γ, α, β, fr[x/t], x fr sc dx Γ, α β, fr[x/t], x fr S Γ, α, β fr[x/t], x fr S D Γ, α, β x fr Γ, α β, x fr inv S Γ α, β, x fr inv S Γ x fr, α, β sc dx ricordando che le inverse delle regole di negazione sono valide!! Nel caso contenga una sola formula o più di due formule si procede analogamente a quanto fatto sopra. 3. Regola di quantificazione universale a sinistra. La regola di quantificazione universale a sinistra scritta con formule qualsiasi Γ, x fr, fr[x/t] Γ, x fr si ricava in tal modo dalla regola di quantificazione esistenziale a destra assieme alle regole di negazione. Utilizzando la legge logica di De Morgan dei quantificatori si ottiene che vale e infine per la legge della doppia negazione x fr x fr S x fr x fr x fr x fr fr fr Dunque la regola di quantificazione universale a sinistra si può equivalentemente riformulare in tal modo Γ, x fr, fr[x/t] S Γ, x fr e giustificare come risultato dell applicazione di questa serie di regole valide (e sicure!) Γ, x fr, fr[x/t] Γ, fr[x/t], x fr sc sx Γ, fr[x/t] x fr, inv D Γ fr[x/t], x fr, D D Γ x fr, Γ, x fr S 15

16 Regola di quantificazione esistenziale a sinistra. La regola di quantificazione esistenziale a sinistra scritta con formule qualsiasi Γ, fr[x/w] Γ, x fr S (w VL(Γ, x fr, )) si ricava in tal modo dalla regola di quantificazione universale a destra assieme alle regole di negazione. Utilizzando la legge logica di De Morgan dei quantificatori si ottiene che vale e infine per la legge della doppia negazione x fr x fr x fr x fr x fr x fr fr fr Dunque la nostra regola si può equivalentemente riformulare in tal modo Γ, fr[x/w] Γ, x fr S (w VL(Γ, x fr, )) e giustificare come risultato dell applicazione di questa serie di regole valide (e sicure!) Γ, fr[x/t] Γ fr[x/t], D D(w VL(Γ, x fr, )) Γ x fr, Γ, x fr S osservando che la condizione sulle variabili relativa all applicazione della regola di quantificazione universale a destra operata sopra è soddisfatta perchè se w non è libera in Γ, x fr, non lo è neanche in Γ, x fr,. 16