7. A che serve il calcolo dei sequenti? Dà procedura di decisione

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1 7. A che serve il calcolo dei sequenti? Dà procedura di decisione Il calcolo dei sequenti serve a costruire alberi di derivazione come ad esempio ax-id P, Q Q P&Q Q & S ax-id P, Q P P&Q P P&Q Q&P & S & D in cui P&Q Q&P è la RADICE mentre P, Q Q e P, Q P sono rispettivamente FOGLIE (che sono ASSIOMI) del ramo di sinistra e di quello di destra. ALBERO di DERIVAZIONE per Γ = albero con radice Γ ottenuto con regole del calcolo e le cui foglie terminanti sono TUTTE ASSIOMI. ATTENZIONE: nelle regole dei sequenti le metavariabili date da lettere greche MAIUSCOLE Γ e, Σ.. stanno per LISTE DI PROPOSIZIONI anche VUOTE si possono applicare le regole del calcolo LC p ANCHE quando al posto delle variabile A si trova una proposizione pr e al posto della variabile B si trova una proposizione qualsiasi pr, ad esempio P&Q Q&P P&Q C P P&Q (Q&P)&(C P) è corretta applicazione della regola & D & D Γ A, Γ B, Γ A&B, & D ove al posto di A c è Q&P e al posto di B c è C P. 1

2 Logica classica proposizionale LC p ax-id ax- Γ, A, Γ, A, Γ,, Γ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ A, Γ B, & D Γ A&B, Γ A, B, Γ A B, D Γ, A Γ, B Γ, A B Γ, A Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B & S Γ A, Γ, A S S Γ A, D Γ, A B, Γ A B, D Γ A, Γ, B Γ, A B S 2

3 Perchè costruire alberi di derivazione? pr è radice di una derivazione in LC p pr è TAUTOLOGIA e più in generale Γ è radice di una derivazione in LC p Γ & è TAUTOLOGIA MOTIVO: regole del calcolo dei sequenti CONSERVANO verità per riga della tabella (delle proposizioni implicative rappresentanti) dei sequenti dall ALTO verso il BASSO ed ANCHE dal BASSO verso l ALTO. posto Γ & ( pr 1 &pr 2 )... &pr n è la congiunzione delle proposizioni in Γ pr 1, pr 2,... pr n Γ & (costante vero) se Γ è la lista vuota Γ & pr 1 se Γ pr 1 ( pr 1 pr 2 )... pr n è la disgiunzione delle proposizioni in pr 1, pr 2,... pr n (costante falso) se è la lista vuota pr 1 se pr 1 pr = pr 3

4 pr = pr un sequente Γ è valido Γ & è valido un sequente Γ è NON valido Γ & è NON valido un sequente Γ è soddisfacibile Γ & è soddisfacibile un sequente Γ è insoddisfacibile (o paradossale) Γ & è insoddisfacibile (o paradosso) Domande 1. Come stabilire se pr è paradosso? 2. Come stabilire se pr è non valida? 3. Come stabilire se pr è soddisfacibile? 4

5 Scopo del corso classificare (tramite PROCEDURE AUTOMATICHE) proposizioni pr in logica classica come pr TAUTOLOGIA: =VALIDA = TUTTE le righe della sua tabella danno valore 1 pr OPINIONE: = SODDISFACIBILE= QUALCHE riga della sua tabella dà valore 1 + NON VALIDA= QUALCHE riga della sua tabella dà valore 0 pr PARADOSSO: =INSODDISFACIBILE= TUTTE le righe della sua tabella danno valore 0 Memo pr TAUTOLOGIA pr PARADOSSO pr OPINIONE pr OPINIONE pr NON VALIDA pr SODDISFACIBILE pr SODDISFACIBILE pr NON VALIDA 5

6 7.bis Procedura di decisione per sequenti in Logica proposizionale classica in LC p Per sapere se Γ è derivabile in LC p procedi in tal modo: sì vai in 5. no vai in Γ è assioma? se in Γ o in c è proposizione composta altrimenti STOP 2. Scegli in Γ una proposizione composta, diciamo pr 1 pr 2 per esempio. pr 1 pr 2 è in posizione buona per applicare ad{ essa una SUA regola (a dx se pr 1 pr 2 sta a dx di nel sì vai in 4. operando su pr 1 pr 2 sequente, a sx se pr 1 pr 2 sta a sx di )? no vai in 3. operando su pr 1 pr 2 3. se operi su pr 1 pr 2 fai uno scambio per portarla in posizione buona da poter applicare la sua regola e vai in 4. operando su pr 1 pr { se operi su pr 1 pr 2 applica la sua regola. Quante preme ha la regola? una vai in 1. operando sulla premessa due scegli la prima premessa e vai in 1. operando su di essa 5. nell albero ottenuto c è foglia che NON è assioma con almeno una proposizione composta? sì scegli la foglia NON assioma e vai in 2. operando su di lei no STOP CONCLUSIONE: 1. se nell albero ottenuto tutte le foglie sono assiomi, allora Γ è derivabile in LC p ovvero Γ è VALIDO in logica classica 2. se nell albero ottenuto qualche foglia NON è assioma, allora Γ NON è DERIVABILE in LC p, ovvero Γ è NON valido in logica classica. Come trovare riga con uscita 0 di sequente Γ NON valido se l algoritmo sopra per Γ si ferma con foglia del tipo V i1,... V in V k1,... V km che NON è assioma e fatta solo di variabili proposizionali ove { V i1,... V in } { V k1,... V km } = la riga della tabella con V ij = 1 se V ij sta a sx sequente (ovvero tra le preme del sequente) per j = 1,..., n V kj = 0 se V kj sta a dx sequente (ovvero tra le conclusioni del sequente) per j = 1,..., m dà valore 0 alla proposizione Γ &. 6

7 Esercizi su proposizioni logiche Stabilire quali delle seguenti proposizioni logiche sono VALIDE o SODDISFACIBILI o NON VALIDE o INSODDISFACIBILI tramite la procedura di decisione del calcolo dei sequenti LC p : 1. = P &Q P &R? 2. = P &Q (P Q)? 3. = P (Q P &Q)? 4. = ( ( P C )&( Q C ) ) D (P Q C )? 5. = P P? 6. = P P? 7. = P & P? 8. = P (P P )? 9. = (P P ) P? 10. = P (Q P )? 11. = P &Q P Q? 12. = P Q P? 13. = P (P Q) C? 14. = (P Q) P Q? 15. = P Q (P Q)? 16. = P Q ( P Q)? 17. = (P Q) (Q P )? 18. = (P Q) (Q P )? 19. = P &(Q R) (P &Q) (P &R)? 20. = P ((Q R) (P &Q) (P &R))? 21. = A B A B? 7

8 Esercizi su formalizzazione in sequente e decisione della sua validità o meno Formalizzare in sequente le seguenti arzioni (secondo i suggerimenti indicati) e mostrare se il sequente ottenuto è valido o in caso contrario dire per quali valori delle variabili non è valido e se è soddisfacibile (e per quali valori delle variabili lo è) o insoddisfacibile. Nel seguito si ricordi che quando si scrive s intende frase 1, frase 2,... frase n frase frase 1 frase 2... frase n frase 1. Solo se mi sento stanco rimango a casa. Non rimango a casa se non mi sento stanco. si consiglia di usare: R =rimango a casa S = mi sento stanco 2. Non si dà il caso che l affare sia non sicuro o non sia conveniente. L affare è conveniente e sicuro. A =l affare è conveniente S = l affare è sicuro 3. Non mangio gli spinaci. Se mi piacero gli spinaci li mangerei. Non mi piacciono gli spinaci. si consiglia di usare: M=mangio gli spinaci P=mi piacciono gli spinaci 4. Non si dà il caso che l affare non sia conveniente o sicuro. L affare non è conveniente nè sicuro. A =l affare è conveniente S =l affare è sicuro 5. Se Mario è scontento non programma bene. Mario è contento solo se programma bene. C=Mario è contento P =Mario programma bene 8

9 6. C è un amblea studentesca o è giorno festivo solo se le lezioni tacciono. Non è giorno festivo e non c è un amblea studentesca, perció le lezioni non tacciono. L=le lezioni tacciono A=c è un amblea studentesca F =è giorno festivo 7. Non si dà il caso che il fattoriale termini mentre non si esce dal ciclo. Si esce dal ciclo. Non si dà il caso che si esca dal ciclo solo se il fattoriale non termina. F = il fattoriale termina C=si esce dal ciclo 8. Non prendo l ombrello se non piove. Non piove. Non prendo l ombrello. P =piove O=prendo l ombrello 9