Prima prova in itinere per Matematica Discreta e Logica primo appello FILA A

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1 ˆ ˆ ƒˆ ˆ ƒ ˆ ˆ Œ ˆ Prima prova in itinere per Matematica Discreta e Logica primo appello FILA A Esercizio 1 Siano :;<=,,, variabili proposizionali, e siano : ³ a( :Ä;) Ä< b a( ;Ä<) Ä= b; < ³: ( < = ). Si dica, motivando la risposta, se ( 3 ) : è conseguenza logica di < ; ( 33 ) < è conseguenza logica di :; ( 333 ) : e < sono logicamente equivalenti. Soluzione Per definizione, < } : se e soltanto se ogni valutazione di verità che soddisfa < soddisfa anche la :. È però facile costruire una valutazione di che rende vera la < ma non la :: infatti soddisfi < è sufficiente che ", e affinché non soddisfi : è sufficiente che Ä < ) Ä = )! (come avviene, ad esempio, < = )!). Dunque, : non è conseguenza logica di < e di conseguenza : e < non sono logicamente equivalenti. Per valutare invece se < è conseguenza logica di : è opportuno un ragionamento un po' più complesso. Sappiamo che : } < se e soltanto se la formula : ( c< ) è insoddisfacibile; scriviamo : ( c< ) in forma normale congiuntiva, esprimiamola come insieme di clausole e applichiamo ad esso l algoritmo di Davis e Putnam. : ( c < ) a( :Ä;) Ä< b a( ;Ä<) Ä= b c: a ( < = ) b ac (: Ä ;) < b ac (; Ä < ) = b ac: ( c< c= ) b a( : c;) < b a( ; c<) = b c: ( c< c= ) (: <) ( c; < ) (; =) ( c< = ) c: ( c< c= ). L insieme di clausole che traduce questa formula in FNC è ^ ³ {{:, < }, { c;, < }, {;, = }, { c<, = }, { c: }, { c<, c= }}. Applichiamo l algoritmo di Davis-Putnam all insieme ^. Pivot :: clausole non contenenti né : né c: : { c;<, }, {;=, }, { c<=, }, { c<c=, }; Ris :({:, < }, { c: }) { < } ; {{ c;, < }, {;, = }, { c<, = }, { c<, c= }, { < }}. Possiamo sopprimere la clausola { c;, < } perché è presente la clausola { < } in essa contenuta. Consideriamo dunque l insieme di clausole {{;, = }, { c<, = }, { c<, c= }, { < }}.

2 Pivot < : clausole non contenenti né < né c< : {;, = }; Ris < ({ c<, = }, { < }) { = } ; Ris < ({ c<, c= }, { < }) { c= } ; {{;, = }, { = }, { c= }}. Possiamo sopprimere la clausola {;, = } perché è presente la clausola { = } in essa contenuta. Consideriamo dunque l insieme di clausole {{ = }, { c= }}. Pivot = : clausole non contenenti né = né c= : non ce ne sono! Ris = ({ = }, { c= }) ÒÓ; { ÒÓ}. Avendo ottenuto la clausola vuota, possiamo concludere che ^ non è soddisfacibile e dunque < è conseguenza logica di :. Un procedimento alternativo consiste nel costruire una tabella con tutti i possibili valori di verità per : e < : : ; < = :Ä; a:ä; b Ä< ;Ä< a;ä< b Ä= < = : <!!!! "! "!!!!!!! " "! " "!!!!! "! " " "!!!!!! " " " " " " " " "! "!! "!! "!!!! "! " "!! "!!!! " "! " " "!!!!! " " " " " " " " " " "!!!! " "!!! " "!! "! " " "! " " "! "!! " "!!! " "! " "! " " " " " " " "!! "!! "!! " " "! " "!! "!! " " " "! " " "!!! " " " " " " " " " " " " Confrontando le ultime due colonne si vede che ogni valutazione di verità che soddisfa : soddisfa anche <, cosicché < è conseguenza logica di :; poiché esiste una valutazione di verità (nona riga della tabella) che soddisfa < ma non soddisfa :, possiamo concludere che : non è conseguenza logica di < e quindi anche che : e < non sono logicamente equivalenti.

3 Esercizio 2 Siano +,,, -, B, C, D variabili proposizionali. Si stabilisca, motivando la risposta, se il seguente insieme ^ di clausole è soddisfacibile; e nel caso che la risposta sia affermativa si trovi un interpretazione che lo soddisfa: ^ ³ {{ +,,, -}, { c+, c,, c-}, { c+, c,, cb }, { +, B, C }, {,, cb, C}, { c,, -, cc}, {-, cb, cc}, { c-, B, cc}, { c-, cb, cc}, { B, C, D}, { B, C, cd}}. Soluzione Applichiamo l algoritmo di Davis-Putnam all insieme ^. Pivot + : clausole non contenenti né + né c+ : {,, cb, C}, { c,, -, cc}, {-, cb, cc}, { c-, B, cc}, { c-, cb, cc}, { BCD,, }, { BCcD,, }; Ris + ({ +,,, -}, { c+, c,, c-}) {,, c,, -, c-} (si sopprime perché tautologia) ; Ris + ({ +,,, -}, { c+, c,, cb}) {,, c,, -, cb} (si sopprime perché tautologia) ; Ris + ({ +, B, C}, { c+, c,, c-}) { c,, c-, B, C} ; Ris + ({ +, B, C}, { c+, c,, cb}) { B, C, c,, cb} (si sopprime perché tautologia) ; {{,, cb, C}, { c,, -, cc}, {-, cb, cc}, { c-, B, cc}, { c-, cb, cc}, { B, C, D}, { B, C, cd}, { c,, c-, B, C}}. Pivot,: clausole non contenenti né, né c, : {-, cb, cc}, { c-, B, cc}, { c-, cb, cc}, { B, C, D}, { B, C, cd}; Ris,({,, cb, C}, { c,, -, cc}) { cb, C, -, cc} (si sopprime perché tautologia) ; Ris,({,, cb, C}, { c,, c-, B, C}) { cb, C, c-, B} (si sopprime perché tautologia) ; {{-, cb, cc}, { c-, B, cc}, { c-, cb, cc}, { B, C, D}, { B, C, cd}}. Pivot -: clausole non contenenti né - né c-: { B, C, D}, { B, C, cd}; Ris -({-cbcc,, }, { c-bcc,, }) { cbccb,, } (si sopprime perché tautologia) ; Ris -({-cbcc,, }, { c-cbcc,, }) { cbcc, }; {{ BCD,, }, { BCcD,, }, { cbcc, }}. Pivot B: clausole non contenenti né B né cb: non ce ne sono ; Ris B({ B, C, D}, { cb, cc}) { C, cc, D} (si sopprime perché tautologia) ; Ris B({ B, C, cd}, { cb, cc}) { C, cc, cd} (si sopprime perché tautologia) ; {}.

4 Avendo ottenuto l insieme vuoto di clausole, possiamo concludere che ^ è soddisfacibile. Una valutazione di che soddisfa ^ si può ricavare definendola a ritroso su +,,, -, B, C, D come D ) C ) ³ B ) + ) ³ ". Esercizio 3 Si dimostri che per ogni 8 Ï {!, "} si ha! 8 Suggerimento: Si proceda per induzione su 8. " 8 33" ( ) 8" Soluzione Procediamo per induzione su 8. Osserviamo che l uguaglianza è vera se 8#:! # " " " " " % # 3( 3" ) "("") #(#") # ' ' $. Adesso supponiamo che sia e dimostriamo che! 8! 8" " 8 33" ( ) 8" " 8" 33" ( ) 8#. In effetti, si ha che 8" 8!! " " " 8 " 3( 3" ) 3( 3" ) ( 8" )( 8# ) 8" ( 8" )( 8# ) 88# ( ) # # " 8 #8" ( 8" ) 8" ( 8" )( 8# ) ( 8" )( 8# ) ( 8" )( 8# ) ( 8" )( 8# ) 8# come si voleva dimostrare.

5 Esercizio 4 Siano!, " le permutazioni sull insieme {!"#$%&'()*,,,,,,,,, } così definite:! " # $ % & ' ( ) *! " # $ % & ' ( ) *! ³ Œ " ³ ' " & ( #! % * $ ), Œ $ " # % &! ) ' ( *. e sia 5 la permutazione ottenuta applicando prima! e poi ". Si scriva 5 come prodotto di cicli disgiunti e si dica, motivando la risposta, se 5 è una permutazione pari oppure una permutazione dispari. Soluzione Si ha 5 a! ) % # ba$ ' & ba( * b a! ) ba! % ba! # ba$ ' ba$ & ba( * b cosicché 5, essendo prodotto di ' trasposizioni, risulta una permutazione pari. Esercizio 5 Sia + il numero naturale che in base undici si scrive ## *"$ e sia, il numero naturale che in base tredici si scrive "' %&& (cioè: + ³ ## *"$ undici,, ³ "' %&& tredici). Si trovi il minimo comune multiplo 7 fra + e, e lo si scriva in base quindici. Soluzione Allo scopo di eseguire agevolmente i calcoli per trovare il minimo comune multiplo fra + e,, scriviamo + e, in base dieci. Si ha % $ # +# "" # "" * "" " ""$# "%'%"# "$$"* "#"" ""$ #* #)# # ''# "!)* "" $ $$!%( ; % $ #," "$ ' "$ % "$ & "$&#)&'"' #"*(% "'*& "$& #) &'" "$ ")# '(' '& & %# %)*. Calcoliamo adesso il massimo comun divisore fra %# %)* e $$!%( : %# %)* $$!%( " * %%# ; $$!%( * %%# $ % (#" ; * %%# % (#" #!. Dunque il massimo comun divisore fra %# %)* e $$!%( è % (#", e si ha $$!%( %# %)* $$!%( 7 % (#" % (#" %# %)* ( %# %)* #*( %#$. Scriviamo infine #*( %#$ in base quindici eseguendo successive divisioni euclidee per quindici: #*( %#$ "& "* )#) $ ; "* )#) "& " $#" "$ ; " $#" "& )) " ; ))"& &"$; &"&!&. Pertanto 7& " $ D D. quindici

6 Esercizio 6 Si trovino tutte le soluzioni in dell equazione % )*' B $ $'! C "*#!. Soluzione L equazione proposta si può scrivere come % )*' B $ $'! C "*# e le eventuali soluzioni si possono ottenere cambiando segno alla dell equazione (*) % )*' B $ $'! C "*#. B nelle soluzioni Calcoliamo con l algoritmo di Euclide il massimo comun divisore fra % )*' e $ $'!. % )*' $ $'! " " &$' ; $ $'! " &$' # #)) ; " &$' #)) & *' ; #))*' $!. Il massimo comun divisore fra % )*' e $ $'! è dunque *' ; poiché si tratta di un divisore di "*# ( *' #), l equazione proposta ha soluzione. Cerchiamo adesso una soluzione per l equazione % )*' B $ $'! C *'. Dai calcoli fatti per trovare il massimo comun divisore, abbiamo che *' " &$' & #)) " &$' & a$ $'! # " &$' b ( &) $ $'! "" " &$' ( &) $ $'! "" (% )*' $ $'! ) "" % )*' ( "') $ $'!. Dunque una soluzione dell equazione % )*' B $ $'! C *' è ("", "'). Di conseguenza una soluzione dell equazione (*) è (##, $# ); la generica soluzione della (*) è ossia $ $'! % )*' *' *' B³## 2, C³ $# 2 (al variare di 2in ) B ³ ## $&2, C ³ $# &"2 (al variare di 2 in ). Pertanto la generica soluzione dell equazione proposta è B ³ ## $&2, C ³ $# &"2 (al variare di 2 in ).