appello del FILA A

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1 ˆ ˆ ƒ ˆ ƒˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PRIMA PROVA IN ITINERE DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA appello del Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 4 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. FILA A Esercizio 1 (' punti) Angelo, Bruno, Carlo, Dario, Emilio e Franco devono decidere se andare in vacanza al mare oppure in montagna. Tenendo conto delle amicizie e rivalità fra i sei, è risultato che: ( 3) se Angelo andrà al mare, anche Bruno e Carlo andranno al mare; ( 33) se almeno uno fra Dario e Carlo andrà al mare, allora Emilio non andrà al mare; ( 333) se non andrà al mare né Angelo né Dario, allora ci andrà Franco. Definendo opportune variabili proposizionali per formalizzare i fatti esposti in ( 3), ( 33) e ( 333), si dica, motivando la risposta, se dalle ( 3), ( 33) e ( 333) si può dedurre come conseguenza logica (oppure no) che ( ) se Emilio andrà al mare, anche Franco ci andrà. Esercizio 2 (% punti) Siano :, ;, <, = e > variabili proposizionali. Per ciascuna delle seguenti affermazioni si dica, motivando la risposta, se è vera o falsa: ( 3Ñ : c: } a; ( c< = ) b a( : Ä c= ) > b ( 33) a( c: > ) ( < Ä c= ) b ( c; Ä > ) } ; c; Esercizio 3 (% punti) Sia 8 il numero naturale che in base ventisette si scrive $$$ %%% &&& ((( Þ Si trovi il resto della divisione euclidea di 8 per sette, per nove e per tredici. (altri esercizi sul retro del foglio!)

2 Esercizio 4 ( $ punti) Nel felice paese di Brutopia sta ricevendo molte adesioni il partito dei lavandini, recentemente fondato. Il primo giorno si sono iscritte # persone, il secondo gli iscritti sono balzati a "#; poi ogni giorno si sono aggiunti altri iscritti, anche se alcuni hanno via via lasciato il partito, cosicché il numero 38 " degli iscritti al giorno 8 " si può esprimere nel modo seguente in funzione degli iscritti nei due giorni precedenti: 38 " œ '38 *38 ". Quanti erano gli iscritti al partito al quindicesimo giorno? Esercizio 5 (& punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia la relazione divide e sia A ³ {#, $, %) ()', '* &%'}. Con riferimento alla relazione si dica, motivando la risposta: se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 6 (% punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia A ³ { B Î" Ÿ B Ÿ ""}. Si dimostri che: comunque presi sette elementi di A (tutti diversi fra loro) fra questi sette ce ne sono due la cui somma è "#. Esercizio 7 (% punti) Si trovino tutte le soluzioni in dell equazione "% $'' B œ $$ $!$ C.

3 ˆ ˆ ƒ ˆ ƒˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PRIMA PROVA IN ITINERE DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA appello del Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 4 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. FILA B Esercizio 1 (' punti) Anna, Bruno, Carlo, Daria, Elena e Franco sono stati invitati a una festa, e stanno discutendo se andarci. Tenendo conto delle simpatie e antipatie che intercorrono fra i sei, è risultato che: ( 3) se Anna andrà alla festa, anche Bruno e Carlo ci andranno; ( 33) se non andrà alla festa né Anna né Daria, allora ci andrà Franco. ( 333) se almeno uno fra Daria e Carlo andrà alla festa, allora Elena non ci andrà; Definendo opportune variabili proposizionali per formalizzare i fatti esposti in ( 3), ( 33) e ( 333), si dica, motivando la risposta, se dalle ( 3), ( 33) e ( 333) si può dedurre come conseguenza logica (oppure no) che ( ) se Elena andrà alla festa, anche Franco ci andrà. Esercizio 2 (% punti) Siano +,,, -,. e 0 variabili proposizionali. Per ciascuna delle seguenti affermazioni si dica, motivando la risposta, se è vera o falsa: ( 3Ñ, c, } a+ ( c-.) b a(, Ä c. ) 0b ( 33) a( c+,) (- Ä c0 ) b ( c. Ä 0 ) }. c. Esercizio 3 (% punti) Sia 8 il numero naturale che in base trentaquattro si scrive $$$ %%% &&& ((( Þ Si trovi il resto della divisione euclidea di 8 per sette, per undici e per diciassette. (altri esercizi sul retro del foglio!)

4 Esercizio 4 ( $ punti) Nel felice paese di Brutopia sta ricevendo molte adesioni il partito dei lavandini, recentemente fondato. Il primo giorno c era un solo iscritto, il secondo giorno gli iscritti sono balzati a '; poi ogni giorno si sono aggiunti altri iscritti, anche se alcuni hanno via via lasciato il partito, cosicché il numero 38 " degli iscritti al giorno 8 " si può esprimere nel modo seguente in funzione degli iscritti nei due giorni precedenti: 38 " œ '38 *38 ". Quanti erano gli iscritti al partito al quindicesimo giorno? Esercizio 5 (& punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia la relazione divide e sia A ³ {#, &, (!!$!, () *(!}. Con riferimento alla relazione si dica, motivando la risposta: se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 6 (% punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia A ³ { B Î" Ÿ B Ÿ *}. Si dimostri che: comunque presi sei elementi di A (tutti diversi fra loro) fra questi sei ce ne sono due la cui somma è "!. Esercizio 7 (% punti) Si trovino tutte le soluzioni in dell equazione "* $&" B œ #( ("* C.

5 ˆ ˆ ƒ ˆ ƒˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PRIMA PROVA IN ITINERE DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA appello del Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 4 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. FILA C Esercizio 1 (' punti) Andrea, Barbara, Claudia, Dario, Enzo e Federica sono sei ragazzi che discutono se andare in discoteca oppure al cinema. Tenendo conto delle simpatie e antipatie che intercorrono fra i sei, è risultato che: ( 3) se almeno uno fra Dario e Claudia andrà in discoteca, allora Enzo non ci andrà; ( 33) se Andrea andrà in dicoteca, anche Barbara e Claudia ci andranno; ( 333) se non andrà in discoteca né Andrea né Dario, allora ci andrà Federica. Definendo opportune variabili proposizionali per formalizzare i fatti esposti in ( 3), ( 33) e ( 333), si dica, motivando la risposta, se dalle ( 3), ( 33) e ( 333) si può dedurre come conseguenza logica (oppure no) che ( ) se Enzo andrà in discoteca, anche Federica ci andrà. Esercizio 2 (% punti) Siano :, ;, <, = e > variabili proposizionali. Per ciascuna delle seguenti affermazioni si dica, motivando la risposta, se è vera o falsa: ( 3Ñ ; c; } a: ( c< = ) b a( ; Ä c= ) > b ( 33) a( c: = ) ( < Ä c> ) b ( c; Ä > ) } : c: Esercizio 3 (% punti) Sia 8 il numero naturale che in base ventisette si scrive $$$ &&& ''' ((( Þ Si trovi il resto della divisione euclidea di 8 per sette, per nove e per tredici. (altri esercizi sul retro del foglio!)

6 Esercizio 4 ( $ punti) Nel felice paese di Brutopia sta ricevendo molte adesioni il partito dei lavandini, recentemente fondato. Il primo giorno si sono iscritte # persone, il secondo gli iscritti sono balzati a *; poi ogni giorno si sono aggiunti altri iscritti, anche se alcuni hanno via via lasciato il partito, cosicché il numero 38 " degli iscritti al giorno 8 " si può esprimere nel modo seguente in funzione degli iscritti nei due giorni precedenti: 38 " œ '38 *38 ". Quanti erano gli iscritti al partito al quindicesimo giorno? Esercizio 5 (& punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia la relazione divide e sia A ³ {#, (, )' '(%, *! *!#}. Con riferimento alla relazione si dica, motivando la risposta: se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 6 (% punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia A ³ { B Î" Ÿ B Ÿ "$}. Si dimostri che: comunque presi otto elementi di A (tutti diversi fra loro) fra questi otto ce ne sono due la cui somma è "%. Esercizio 7 (% punti) Si trovino tutte le soluzioni in dell equazione "* *"& B œ #*!"* C.

7 ˆ ˆ ƒ ˆ ƒˆ ƒˆ ˆ ƒˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆ PRIMA PROVA IN ITINERE DI MATEMATICA DISCRETA E LOGICA appello del Avvertenze Se l elaborato consiste in 8 pagine non tutte appartenenti a uno stesso foglio, tutte le pagine devono essere progressivamente e ordinatamente numerate con i numeri naturali da " a 8. Sul frontespizio di ciascun foglio devono essere indicati: il nome e il cognome del candidato (in questo ordine), il numero di matricola del candidato e la fila ( A, B, C oppure D ) di pertinenza. Il voto dell elaborato risulterà dalla somma dei punteggi conseguiti nello svolgimento dei singoli esercizi diminuita di 5 punti, con!ÿ5ÿ% dipendente da quante delle precedenti indicazioni non sono state rispettate. Il candidato è tenuto a scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi di ciascun esercizio con brevi spiegazioni: in caso contrario, l esercizio verrà considerato non svolto. Nell esercizio 4 è consentito esprimere il risultato mediante somme, prodotti e/o potenze di numeri interi (ma non attraverso altre espressioni). Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall aula per alcun motivo. FILA D Esercizio 1 (' punti) Antonio, Bruno, Carlo, Dario, Enrico e Fabio stanno discutendo se partecipare o meno a una corsa campestre. Tenendo conto delle amicizie e rivalità fra i sei, è risultato che: ( 3) se non parteciperà alla corsa né Antonio né Dario, allora vi parteciperà Fabio. ( 33) se Antonio parteciperà alla corsa, anche Bruno e Carlo lo faranno; ( 333) se almeno uno fra Dario e Carlo parteciperà alla corsa, allora Enrico non vi parteciperà; Definendo opportune variabili proposizionali per formalizzare i fatti esposti in ( 3), ( 33) e ( 333), si dica, motivando la risposta, se dalle ( 3), ( 33) e ( 333) si può dedurre come conseguenza logica (oppure no) che ( ) se Enrico parteciperà alla corsa, lo farà anche Fabio. Esercizio 2 (% punti) Siano +,,, -,. e 0 variabili proposizionali. Per ciascuna delle seguenti affermazioni si dica, motivando la risposta, se è vera o falsa: ( 3Ñ. c. } a+ ( c, -) b a(, Ä c- ) 0b ( 33) a( c+ -) (, Ä c. ) b ( c. Ä 0 ) }, c, Esercizio 3 (% punti) Sia 8 il numero naturale che in base trentaquattro si scrive $$$ &&& ''' ((( Þ Si trovi il resto della divisione euclidea di 8 per sette, per undici e per diciassette. (altri esercizi sul retro del foglio!)

8 Esercizio 4 ( $ punti) Nel felice paese di Brutopia sta ricevendo molte adesioni il partito dei lavandini, recentemente fondato. Il primo giorno si sono iscritte $ persone, il secondo gli iscritti sono balzati a "&; poi ogni giorno si sono aggiunti altri iscritti, anche se alcuni hanno via via lasciato il partito, cosicché il numero 38 " degli iscritti al giorno 8 " si può esprimere nel modo seguente in funzione degli iscritti nei due giorni precedenti: 38 " œ '38 *38 ". Quanti erano gli iscritti al partito al quindicesimo giorno? Esercizio 5 (& punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia la relazione divide e sia A ³ { $, &, (( "%&, )& %)&}. Con riferimento alla relazione si dica, motivando la risposta: se A ha minimo, ed in tal caso qual è il minimo; se A ha estremo inferiore in, ed in tal caso qual è tale estremo inferiore; se A ha massimo, ed in tal caso qual è il massimo; se A ha estremo superiore in, ed in tal caso qual è tale estremo superiore. Esercizio 6 (% punti) Nell insieme dei numeri naturali, sia A ³ { B Î" Ÿ B Ÿ "&}. Si dimostri che: comunque presi nove elementi di A (tutti diversi fra loro) fra questi nove ce ne sono due la cui somma è "'. Esercizio 7 (% punti) Si trovino tutte le soluzioni in dell equazione #' "(* B œ $% &$% C.