11. Lezione Corso di Logica (prima parte) 13 maggio Maria Emilia Maietti. ricevimento: martedi ore

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1 11. Lezione Corso di Logica (prima parte) 13 maggio 2011 Maria Emilia Maietti ricevimento: martedi ore

2 lucidi lezioni in maietti/lez.html esercitazioni in maietti/did.html 375

3 Avvisi: correzione esercitazione 2.: martedì 17 maggio

4 sequente valido, soddisfacibile, insoddisfacibile la classificazione delle proposizioni come valide, soddisfacibili o insoddisfacibili si trasferisce ai sequenti come segue: un sequenteγ è valido seγ & lo è un sequenteγ è soddisfacibile seγ & lo è un sequenteγ è insoddisfacibile seγ & lo è 377

5 Come esprimere Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale?? Verso il linguaggio predicativo 378

6 Come esprimere Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale Verso il linguaggio predicativo servono nozioni di: predicato - per esprimere essere mortale / essere uomo variabile - per esprimere il soggetto generico del predicato costante - per esprimere nome Socrate. 379

7 Nozione di funzione predicativa Introduciamo funzioni predicative M(x) U(x) per esprimere x è mortale per esprimere x è un uomo ovexèuna variabile per enti 380

8 nozione di costante/nome Introduciamo pure simboli per COSTANTI, o NOMI, per esempio per indicare l individuo Socrate e poter quindi esprimere che sta per Socrate è mortale s M(s) 381

9 perchè funzione predicativa??? usata per esprimere x è mortale si può pensare come funzione M(x) M(x) : nomi di enti Proposizioni d M(d) s M(s) ovesèla costante per esprimere il nome Socrate M(s) sta per Socrate è mortale 382

10 Linguaggio predicativo: per ogni Per esprimere il tutti, ognuno, ciascuno introduciamo il simbolo per ogni davanti a un predicato che si legge per ognixp(x) xp(x) 383

11 Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale si può formalizzare così esempio in linguaggio predicativo x(u(x) M(x)),U(s) M(s) M(x)= x è mortale U(x)= x è un uomo s= Socrate 384

12 esempio da formalizzare Come esprimere invece Qualche antenato di Mario è nobile.? 385

13 Linguaggio predicativo: esiste Per esprimere il qualche, esiste un introduciamo il simbolo esiste davanti a un predicato xp(x) che si legge esiste unxtale chep(x) 386

14 Linguaggio predicativo: esiste Qualche antenato di Mario è nobile. si può esprimere così: x(a(x,m)&n(x)) A(x,y) = x è antenato di y N(x) = x è nobile m= Mario 387

15 esempi di predicati in matematica x più cinque è minore od uguale a sei scritto formalmente x+5 6 il quadrato dixpiù il quadrato diy è uguale ad uno scritto formalmente x 2 +y 2 = 1 388

16 altri esempi di predicati nel linguaggi comune esempio nel linguaggio comune: Chi non mangia non sta in piedi formalizzabile così x( M(x) P(x)) M(x)= x mangia P(x)= x sta in piedi 389

17 esempio di quantificazione in matematica esiste un numeroxtale chex+5èminore o uguale di 6 si formalizza in xx+5 6 ovex y è simbolo di predicato di minore o uguale 390

18 sostituzione di variabile quando c è una variabile x c è la possibilità di sostituire qualcosa al posto della variabile

19 esempio di sostituzione di variabile nell esempio x+5 6 possiamo sostituire ad x un numero, per esempio 1, e ottenere

20 altro esempio di sostituzione di variabile nella formula M(x) P(x) M(x)= x mangia P(x)= x sta in piedi sostituendo x con un costante, per esempio m= Mario, otteniamo che significa M(m) P(m) Se Mario non mangia allora non sta in piedi 393

21 Simboli di linguaggio predicativo/ (=linguaggio dei predicati) un linguaggio predicativo ha 2 classi di simboli: 1. TERMINI per indicare enti esempi: x variabile, s per nome Socrate 2. PREDICATI per indicare proprietà logiche degli enti esempi: U(x) per x è un uomo,u(s) per Socrate è un uomo e i predicati sono chiusi sui CONNETTIVI PROPOSIZIONALI e QUANTIFICAZIONI universali ed esistenziali esempi: U(x)&M(x) per x è un uomo ed è mortale,u(x) M(x) per sexèun uomo allora è mortale, xm(x) sta per tutti sono mortali, xm(x) sta per esiste qualcuno di mortale 394

22 Cosa è una FORMULA d ora in poi usiamo il termine FORMULA per indicare un predicato esso può essere: - predicato (o formula) atomico ovvero dato come primitivo - predicato (o formula) composta ovvero costruito con connettivi proposizionali o quantificazioni da quelli primitivi... usiamo il simbolo fr come meta-variabile per una formula generica e la meta-variabile t per indicare un termine generico 395

23 Grammatica termini simbolici un TERMINEtpuò essere costruito in tal modo: - una variabilexèun termine - una costantecèun termine 396

24 Grammatica formule simboliche una formula fr si può costruire in tal modo: - i predicati atomicip k (t 1,...,t m ) sono formule se sono ottenuti dal predicato atomicop k (x 1,...,x m ) sostituendo le variabili con terminit i per i = 1,...,m - xfr è una formula sefr lo è - xfr è una formula sefr lo è - la proposizione è una formula - fr 1 &fr 2 è una formula sefr 1 efr 2 lo sono - fr 1 fr 2 è una formula sefr 1 efr 2 lo sono - fr 1 fr 2 è una formula sefr 1 efr 2 lo sono - fr è una formula sefr lo è. 397

25 Come mettere le parentesi nello scrivere le proposizioni simboliche: o come si lega alla formula più vicina più di ogni altro connettivo, seguito a pari merito da,&, che a loro volta sono legate alle formule più di. Ovvero,, lega più di,& lega più di 398

26 Priorità di legame Esempi: (tutti glixtale chea(x) ) ob si scrive xa(x) B tutti glixtale che (A(x) ob ) si scrive x(a(x) B) 399

27 Priorità di legame Esempi: ( esiste unxtale chea(x) ) implica ( B oc ) si scrive x A(x) B C ( esiste unxtale che ( A(x) implicab ) ) oc si scrive x( A(x) B) C 400

28 401

29 Cosa dobbiamo fissare per avere un linguaggio predicativo? Un linguaggio predicativo L si definisce fissando: costanti: c 1,...,c n,... (ce ne possono essere infiniti) predicati atomici: P 1 (x 1,...,x m ),P 2 (x 1,...,x k ),C(x,y),... (ce ne possono essere infiniti) nota: nel formalizzare un argomentazione negli esempi sopra dobbiamo sempre fissare i simboli atomici di un linguaggio predicativo. ad esempio: per la formalizzazione dell argomentazione su Socrate abbiamo fissato: U(x),M(x) es 402

30 esempi da formalizzare Come esprimere invece Solo quelli che hanno il biglietto salgono sull aereo. con B(x)= xha il biglietto S(x)= x sale sull aereo Non si dà il caso che nessun programma termini. con P(x)= x è programma T(x)= x termina??? 403

31 esempi da formalizzare Solo quelli che hanno il biglietto salgono sull aereo. con B(x)= xha il biglietto S(x)= x sale sull aereo si può formalizzare in x(s(x) B(x)) 404

32 esempi da formalizzare Non si dà il caso che nessun programma termini. con P(x)= x è programma T(x)= x termina si può formalizzare in x(p(x) T(x)) oppure x(p(x)&t(x)) 405

33 ancora su formalizzazione come si formalizza usando Nessun programma con un ciclo infinito termina. con P(x)= x è programma T(x)= x termina I(x)= x ha ciclo infinito??? 406

34 altro esempio di formalizzazione Nessun programma con un ciclo infinito termina. si può formalizzare così ove P(x)= x è programma T(x)= x termina I(x)= x ha ciclo infinito x((p(x)&i(x))&t(x)) 407

35 altro esempio di formalizzazione Nessun programma con un ciclo infinito termina. si può formalizzare così INVECE con l alfabeto sotto x((p(x)& yc(x,y))&t(x)) oppure x(p(x)& yc(x,y) T(x)) ove P(x)= x è programma T(x)= x termina C(x,y)= y è ciclo infinito dix 408

36 altro esempio di formalizzazione come si formalizza Un programma che non ha cicli termina. con P(x)= x è programma T(x)= x termina C(x,y)= y è ciclo dix??? 409

37 altro esempio di formalizzazione Un programma che non ha cicli termina. si può formalizzare in x(p(x)& y C(x,y) T(x)) con P(x)= x è programma T(x)= x termina C(x,y)= y è ciclo dix 410