Compito in classe di algebra e logica classe IIAS

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1 Compito in classe di algebra e logica classe IIAS prof. Giovanni Borghi 17 Ottobre 2016 Il tempo per svolgere questo compito è di due ore; vi prego di scrivere i passaggi in modo ordinato senza saltare passaggi (in un singolo passaggio non potete sommare e semplificare contemporaneamente). 1. Si risolvano e si discutano le seguenti equazioni letterali intere e fratte: (a) x(x + a 1) = x 2 3b x Soluzione (x 2 + ax x) = x 2 3b x (1) (a 3)x = 3b + 1 (2) Per a 3, x = (1 3b)/(a 3); per a = 3, se b = 1/3 allora indeterminato, se b 1/3 impossibile. (b) (x 2)(2x b) = 2(x 2 b 2 ) Soluzione Sviluppiamo i calcoli: 2x 2 bx 4x + 2b = 2x 2 2b 2 (3) (b + 4)x = 2b(b + 1) (4) Discussione: se b = 4 allora: se b 0 e b 1 allora impossibile se b = 0 o b = 1 indeterminato (questa condizione non si verifica) se b 4 allora: x = 2b(b + 1) (b + 4) (5) 1

2 (c) x x 2 2ax + a 2 1 x = 0 Soluzione C.E: x 0, x a a = 0 indeterminata x 2 x 2 + 2ax a 2 = 0 x(x a) 2 (6) 2ax = a 2 (7) a 0, x = a 2 Controllo C.E.: a/2 a se a 0, a/2 0 se a 0 La soluzione è: a = 0 indeterminata con x 0 e x a a 0, x = a 2 (d) c 2 (x c) + 9(c 2 + 3) = 9(x + 3c) Soluzione (c 2 9)x = c 3 9c c 27 (8) (c + 3)(c 3)x = (c 3) 3 (9) Se c = 3 o c = 3 Se c = 3 allora indeterminata Se c 3 (quindi c = 3) allora impossibile Se c 3 e c 3 allora x = (c 3)2 (c + 3) (10) (e) x + c c c 1 x c = 0 Soluzione C.E: x c; c 1 x 2 c 2 + c 2 1 = 0 (c + 1)(x c) (11) (x + 1)(x 1) (c + 1)(x c) = 0 (12) (x + 1)(x 1) = 0 (13) 2

3 x = 1 o x = 1 Controllo condizioni di esistenza: se x = 1, c 1, se x = 1, c 1. Risultato: se c = 1 perde di significato; se c ±1 allora x = 1 o x = 1, se c = 1 allora x = Sia data l equazione di risonanza di una molla quantistica: A(ω ω 0 ) = F (14) dove A è l ampiezza della molla, F la forza che agisce sulla molla, ω la frequenza di oscillazione della molla e ω 0 la frequenza di risonanza. (a) Si risolva e si discuta tale equazione rispetto alla variabile A. Soluzione Se ω ω 0, allora A = Se ω = ω 0 allora F (ω ω 0 ) Se F = 0 allora indeterminata Se F 0 allora impossibile (b) Date A, F e ω 0 come parametri, si risolva e si discuta l equazione nella variabile ω. Soluzione In forma normale: Se A 0, ω = F +Aω 0 A Se A = 0 allora Se F = 0 allora indeterminata Se F 0 allora impossibile Aω = F + Aω 0 (15) 3. Uno scommettitore scommette sulle partite del campionato di serie A italiano. In una certa domenica sono previste le partite Juventus-Milan e Inter-Fiorentina. Lo scommettitore scommette una cifra totale C, in parte sulla vittoria della Juventus, che è data 1.5 a 1 (per ogni euro scommesso ne vengono restituiti 1.5), in parte sulla vittoria della Fiorentina, che è data p a 1 (per ogni euro scommesso ne vengono restituiti p, con p parametro). Alla fine della giornata di campionato, in cui sia Juventus che la Fiorentina vincono, lo scommettitore incassa una vincita pari al doppio di quanto aveva scommesso. Quale parte della cifra C è stata scommessa sulla vittoria della Juventus, e quale parte invece è stata 3

4 scommessa sulla vittoria della Fiorentina? Si risolva e si discuta l equazione letterale che descrive il problema. Soluzione Si chiami x la quantità di soldi scommessi sulla vittoria della Juventus e C x i soldi scommessi sulla vittoria della Fiorentina. La vincita finale 2C è così composta p(c x) + 1.5x = 2C. In forma normale: Se p 1.5 allora x = C(p 2) (p 1.5) ; C x = 0.5C (p 1.5) Se p = 1.5 allora Se C = 0 indeterminata Se C 0 impossibile pc px + 1.5x = 2C (16) C(p 2) = x(p 1.5) (17) Osservazione... se conoscessimo le disequazioni, si potrebbe anche dire che x deve essere maggiore di zero, e anche C x deve esserlo, quindi si avrebbe l ulteriore condizione p > Si traducano in espressioni logiche le seguenti proposizioni composte, individuando le proposizioni atomiche che le compongono e gli operatori logici che le costituiscono; in seguito, si scrivano tali espressioni in termini degli operatori logici primitivi o fondamentali (,, ). Si scriva inoltre la tavola di verità dell espressione logica ottenuta. Infine, per ciascuna delle proposizioni si scriva la sua negata usando i simboli logici, e si traducano tali simboli in parole (N.B. nello scrivere la negata in simboli logici, ci si assicuri che ad essere negate, dove necessario, siano le singole proposizioni atomiche soltanto). (a) Vorrei o una lattina di coca-cola, oppure una birra piccola Soluzione p = Vorrei una lattina di coca-cola ; q = vorrei una birra piccola ; P = p q; P = p q = p q; Non vorrei nè una lattina di coca-cola, nè una birra piccola. p q p q v v v v f v f v v f f f (b) Non è vero che se vai in montagna allora ti fischiano le orecchie. 4

5 Soluzione p = tu vai in montagna ; q = ti fischiano le orecchie ; P = (p = q) = p q = p q; P = (p = q) = p q; Se vai in montagna allora ti fischiano le orecchie. p q p = q p = q v v v f v f f v f v v f f f v f (c) Condizione necessaria affinchè tu stia meglio è che se ti senti salire la febbre tu vada subito dal medico Soluzione p = tu stai meglio ; q = tu ti senti salire la febbre ; t = tu vai dal medico ; P = [(q = t) = p] = (q t) p = (q t) p; P = (q t) p = (q t) p = ( q t) p; Si verificano contemporaneamente sia che tu non stai meglio, sia che tu o vai dal medico, o non ti senti salire la febbre p q t q = t (q = t) = p v v v v v v v f f v v f v v v v f f v v f v v v f f v f f v f f v v f f f f v f 5. Considerare le seguenti funzioni proposizionali p(x) = x è una carta di picche q(x) = x è un Re t(x) = x è una figura nell universo delle carte da Pinnacolo. Si rappresentino come diagrammi di Eulero-Venn o per elencazione o per caratteristica gli insiemi di verità delle seguenti espressioni: (a) p(x) q(x) Soluzione {il re di picche} (b) p(x) q(x) Soluzione {tutte le carte di picche più il re di quadri, cuori e fiori} 5

6 (c) p(x) q(x) Soluzione {i re di quadri, cuori e fiori} (d) t(x) t(x) Soluzione {insieme vuoto} (e) p(x) = q(x) Soluzione {tutte le carte di cuori, quadri e fiori più il re di picche} (f) t(x) p(x) Soluzione {le carte di picche dall asso al dieci, e jack, queen e king di cuori, quadri e fiori} 6