Equazioni parametriche di primo grado fratte - Esercizi svolti -

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1 Equazioni parametriche di primo grado fratte - Esercizi svolti - Carlo Alberini 15 novembre 2010 In queste poche pagine verranno risolti tre esercizi tratti dal libro di testo in adozione riguardanti alcune equazioni parametriche di primo grado fratte. Gli esercizi presi a modello sono il n. 341 a pag. 543 e i nn. 343 e 344 a pag Si risolva la seguente equazione parametrica di primo grado fratta (n. 341, pag. 543): 1 ax + a + 1 ax a + 1 a = x 2 + a ax 2 2ax + a a) Il primo passaggio consiste nel fattorizzare tutti i denominatori, 1 a (x + 1) + 1 a (x 1) + 1 a = x2 + a a (x 1) 2 b) Il secondo passaggio consiste nel determinare le condizioni di esistenza (C. E.). (a) x x 1 (b) x 1 0 x +1 (c) a 0 c) Il terzo passaggio è dedicato ai calcoli. (x 1) 2 + (x + 1) (x 1) + (x + 1) (x 1) 2 (x 2 + a) (x + 1) a (x + 1) (x 1) 2 1

2 da cui: x 2 2x x (x 2 1) (x 1) x 3 x 2 ax a a (x + 1) (x 1) 2 x 2 2x + x 3 x 2 x + 1 x 3 ax a a (x + 1) (x 1) 2 Semplificando i denominatori, applicando il II principio di identità, che vale sotto il precedente C. E., otteniamo: 3x ax = a 1 x (a + 3) = a 1 (1) Ricavando la x si ottiene a questo punto: x = 1 a a + 3 a 3. d) Prima di iniziare la discussione vera e propria, dobbiamo ricordarci della tipologia delle condizioni imposte nel C. E.: due di loro ci dicono che la x, ovvero la soluzione appena trovata, non può essere uguale a ±1, pertanto dobbiamo imporre: 1 a a a a da cui segue: da cui segue: 1 a a a a 3 2a a 1 La prima condizione (a 1) ci dice che per tale valore assegnato al parametro la soluzione x coincide con +1, il che è palesemente contrario al C. E. e non fornirà, pertanto, alcuna soluzione utile (S = ); mentre il secondo controllo fornisce un risultato che è sempre vero (0 4), e che letto nel giusto modo afferma che non vi sono valori reali di a che rendono la soluzione x uguale a 1. 2

3 e) Resta ora da valutare cosa succede per a = 3, e per far ciò dobbiamo sostituire tale valore al posto di a nel passaggio (1) a pagina 2. Fatta questa sostituzione è facile rendersi conto che l equazione diventa impossibile (S = ). Siamo allora pronti per dare la discussione completa dell equazione: (a) Se a, l equazione perde di significato. { } 1 a (b) Se a 0, a 3 e a 1 allora S =. a + 3 (c) Se a = 3 oppure a = 1 allora S =. 2. Si risolva la seguente equazione parametrica di primo grado fratta (n. 343, pag. 544): x bx b + x 2 bx + b x = b (x 1) + x bx b 2 a) Il primo passaggio consiste nel fattorizzare tutti i denominatori, x b (x 1) + (x 1) (x b) = b (x 1) + x b (x b) b) Il secondo passaggio consiste nel determinare le condizioni di esistenza (C. E.). (a) b 0 (b) x 1 0 x +1 (c) x b 0 x +b c) Il terzo passaggio è dedicato ai calcoli. x (x b) + b () + () (x b) (x ) (x 1) b (x 1) (x b) x 2 bx + b 2 b + bx x b 2 + b x 2 + bx + x + x b (x 1) (x b) da cui: 3

4 x 2 bx + b 2 b + bx x b 2 + b x 2 + bx + x + x b (x 1) (x b) Semplificando i denominatori, applicando il II principio di identità, che vale sotto il precedente C. E., otteniamo: Ricavando la x si ottiene a questo punto: bx + x = b + 1 x (b + 1) = b + 1 (2) x = b + 1 b + 1 = 1 b 1. Tale risultato è palesemente in contraddizione con il C. E., pertanto - sotto queste condizioni - sarà S =. Resta da verificare cosa accade per b = 1, a tal proposito si sostituirà al parametro tale valore nella (2) a pagina 4, ottenendo: x 0 ovvero un equazione indeterminata, le cui soluzioni saranno S = R \ { 1, +1}. 1 Siamo allora pronti per dare la discussione completa dell equazione: (a) Se b, l equazione perde di significato. (b) Se b 0 e b 1 allora S =. (c) Se b = 1 allora S = R \ { 1, +1}. 3. Si risolva la seguente equazione parametrica di primo grado fratta (n. 344, pag. 544): x 2 4b 2 x 3 x 2 b 4xb 2 + 4b 3 + 2bx b 2 x 2 = b b x a) Il primo passaggio consiste nel fattorizzare tutti i denominatori, 1 L insieme delle soluzioni risulterà sempre privato - al suo interno - dei valori ±1 (cfr C. E.). 4

5 ovvero (x 2b) (x + 2b) x 2 (x b) 4b 2 (x b) 2bx (x b) (x + b) + b x b (x 2b) (x + 2b) (x 2b) (x + 2b) (x b) 2bx (x b) (x + b) + b x b b) Il secondo passaggio consiste nel determinare le condizioni di esistenza (C. E.), prima ancora di semplificare la prima frazione!!. (a) x 2b 0 x +2b (b) x + 2b 0 x 2b (c) x b 0 x +b (d) x + b 0 x b c) Il terzo passaggio è dedicato ai calcoli. (x 2b) (x + 2b) (x 2b) (x + 2b) (x b) 2bx (x b) (x + b) + b x b x + b 2bx + b (x + b) (x b) (x + b) da cui: x + b bx + b 2 (x b) (x + b) Semplificando i denominatori, applicando il II principio di identità, che vale sotto il precedente C. E., otteniamo: x bx = b 2 b x () = b(b + 1) (3) Ricavando la x si ottiene a questo punto: x = 5 b +1.

6 d) Prima di iniziare la discussione vera e propria, dobbiamo ricordarci della tipologia delle condizioni imposte nel C. E.: ci dicono che la x, ovvero la soluzione appena trovata, non può essere uguale a ±b e ±2b, pertanto dobbiamo imporre: (I) b (II) b (III) 2b (IV) 2b Questo confronto tra la soluzione appena ottenuta e le condizioni iniziali del C. E. fornirà i corrispondenti valori del parametro b che ancora non abbiamo trovato. Svolgendo i calcoli si ottiene: (I) b (II) b b () b () b 2 + b b 2 b b 2 + b b 2 + b 2b 0 b 0 2b 2 b 0 (III) 2b (IV) 2b 2b () 2b () b 2 + b 2b 2 2b b 2 + b 2b 2 + 2b b 2 3b 3b 2 b b (b 3) b 0 b 3 b (3) b 0 b 1 3 La prima condizione (b 0) - e che ritorna anche negli altri tre controlli - ci dice che per tale valore assegnato al parametro la soluzione x coincide con ±b, oppure con ±2b il che è palesemente contrario al C. E. e non fornirà, pertanto, alcuna soluzione utile (S = ); mentre nel terzo e nel quarto controllo vengono forniti anche altri risultati che sono in contraddizione con il C. E., ovvero b 3 e b 1, per cui anche in questo caso sarà S =. 3 6

7 e) Resta ora da valutare cosa succede per b = +1, e per far ciò dobbiamo sostituire tale valore al posto di a nel passaggio (3) a pagina 5. Fatta questa sostituzione è facile rendersi conto che l equazione diventa impossibile (S = ). Siamo allora pronti per dare la discussione completa dell equazione: (a) Se b 1 b 0 b 3 b 1 { } 3 allora S =. (b) Se b = 1 b b = 3 b = 1 3 allora S =. Ricordo, infine, che la discussione di un equazione parametrica non è altro che il riassunto in cui si dice - a partire da valori assegnati al parametro - cosa capita all equazione stessa (perdita o meno di significato) e all insieme delle sue soluzioni. In generale il parametro e la soluzione R, o a sue opportune restrizioni (cfr. C. E.). Non confondere le condizioni imposte al parametro con le eventuali condizioni imposte all incognita dell equazione stessa. Nella discussione compare la frase... l equazione perde di significato... se e solo se nel C. E. compaiono condizioni sul parametro esplicite, ad esempio a 3, a 5, ecc., altrimenti no! Il controllo sulle soluzioni in riferimento al C. E. va fatto se e solo se abbiamo in esso condizioni che limitano la x stessa, altrimenti no! Nella discussione deve comparire solo il parametro, mai l incognita. Ecco il perché di tutti questi controlli. Prima di salutarsi: ATTENZIONE AI CALCOLI! Prof. Carlo Alberini 7