( x 1 )A 2 1 x2, f1 1 (x 1 ) )

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1 Università di Bergamo Anno accademico Ingegneria Informatica Foglio 5 Algebra e Logica Matematica Logica del primo ordine Esercizio 5.1. Identicare le occorrenze libere e vincolate delle variabili nelle seguenti forme enunciative: 1) ( x 1 )(A 1 1(x 1 ) A 1 2(x 1 )) A 1 1(x 2 ) 2) ( x 1 )(A 1 1(x 1 ) A 1 2(x 1 ) A 1 1(x 2 )) (( x1 3) ( x 3 )( )A 2 1(x 1, x 2 ) ) ) A 2 1(x 3, a 1 ) 4) ( x 2 )A 2 1(x 3, x 2 ) ( x 3 )A 2 1(x 3, x 2 ) ( 5) ( x 2 )( x 1 )A1( 3 x1, x 2, f1 2 (x 1, x 2 ) )) ( ( x 1 )A 2 1 x2, f1 1 (x 1 ) ) 6) ( x 1 )A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 3 )(A 2 2(x 1, x 3 ) ( x 2 )A 2 1(x 2, x 3 )) Esercizio ) Con la lettera predicativa A 2 1 interpretata come, esprimere i concetti c'è un minimo e non c'è un massimo. 2) Con la lettera predicativa A 2 1 interpretata come =, la lettera funzionale f 2 1 interpretata come il prodotto e la costante a 1 interpretata come 1, esprimere il concetto x è primo. Esercizio 5.3. Data la formula A 2 1(f 1 1 (f 2 1 (x, y)), f 1 1 (f 2 1 (x, z))) A 2 1(y, z) si consideri l'interpretazione avente come dominio l'insieme delle matrici quadrate di ordine 2 sul campo reale e nella quale f 1 1 (x) sia da interpretare come il quadrato di x, f 2 1 (x, y) come il prodotto tra x e y, A 2 1(x, y) come l'uguaglianza tra x e y. 1) Si dica se in tale interpretazione la formula è vera, falsa o soddisfacibile. 2) Nella stessa interpretazione cosa si può dire della chiusura universale e della chiusura esistenziale della suddetta formula? 3) La formula data è valida? 1

2 Esercizio 5.4. Vericare che la formula ( x)( y)a(x, y) ( y)( x)a(x, y) (V) è valida. È un teorema per il sistema di deduzione naturale? Trovare almeno un'interpretazione in cui la formula (??) sia soddisfatta mentre la formula ( y)( x)a(x, y) ( x)( y)a(x, y) (F) non lo è. Nella struttura data, la formula (??) è falsa? Esercizio 5.5. Si scriva in un opportuno linguaggio del primo ordine la seguente frase: ogni intero divisibile per un intero pari è un intero pari. Si dica se la formula costruita è valida. Esercizio 5.6. Consideriamo la formula A 2 1(x, y) ( z)(a 2 1(x, z) A 2 1(z, y)). Supponendo di considerare N come dominio e la lettera predicativa A 2 1 in modo tale che l'interpretazione della formula atomica A 2 1(x, y) sia x < y, dire se tale formula è vera, falsa o soddisfacibile nell'interpretazione considerata. Scrivere poi un'interpretazione in cui la formula è vera. Scrivere la chiusura della formula e dire se è vera o falsa nelle due interpretazioni di cui sopra. Esercizio 5.7. Usando la lettera predicativa A 2 1 per l'uguaglianza e le lettere funzionali f1 2 (risp. f 2 2 ) per (risp. ), specicare un insieme di assiomi propri atti a denire la teoria dei reticoli. Quali delle seguenti formule sono teoremi della teoria? 1) A 2 1(x, f(x, x)) 2) ( x)( y)a 2 1(x, f 2 1 (x, y)) 3) ( x)( y)a 2 1(x, f 2 1 (x, y)) 4) A 2 1(x, f 2 1 (x, y)) A 2 1(y, f 2 2 (y, x)) Mettere sotto forma di f.b.f. del primo ordine i seguenti enunciati: 5) Se un reticolo ha elemento 0, questo elemento è unico. 6) Se un reticolo ha 0 ed 1, ed un elemento del reticolo ammette complemento, questo complemento è unico. Per ognuna delle suddette f.b.f., si dica se si tratta o no di un teorema, e nel caso negativo se la frase è soddisfacibile o falsa. 2

3 Esercizio 5.8. Scrivere la forma normale prenessa per le seguenti formule: 1) ( x 1 )A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 3 )(A 2 2(x 1, x 3 ) ( x 2 )A 2 1(x 2, x 3 )) (( y)( z)a 3 2) ( x)( 1(x, y, z) A 1 1(x) ) ) ( x)a 1 1(x) 3) A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 3 )A 2 1(f 2 1 (x 1, x 3 ), f 2 1 (x 2, x 3 )) 4) ( x 1 )A 2 1(f 2 1 (x 1, x 2 ), x 2 ) ( x 2 )(A 1 1(x 2 ) ( x 1 )A 2 1(x 1, x 2 )) 5) (( x 1 )A 2 1(x 1, x 2 ) A 1 1(x 2 )) ( x 2 )( A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 3 )A 2 2(x 2, x 3 )) Esercizio 5.9. Determinare le occorrenze libere e vincolate delle variabili e portare in forma normale prenessa la seguenti formule: 1) (( x 2 )A 1 1(x 2 ) ( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 )) A 2 2(x 1, x 2 ) 2) ( x 1 )(A 2 1(x 1, x 2 ) A 1 1(x 1 )) ( x 3 )(A 1 1(x 3 ) A 2 1(x 1, x 3 )) Esercizio Determinare le occorrenze libere e vincolate delle variabili nella formula (( x 2 )A 1 1(x 2 ) ( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 )) A 2 2(x 1, x 2 ) e dire se il termine x 2 è libero per x 1. Portare la formula in forma normale prenessa. Esercizio Dopo aver dimostrato che mostrare che la formula del primo ordine (A C) (A B) (B C), (A 2 1(x, y) A 1 1(x)) ( (A 2 1(x, y) ( y)a 2 1(y, x)) (( y)a 2 1(y, x) A 1 1(x)) ) è valida. Portare la formula in forma normale prenessa. Esercizio Si consideri la formula ben formata ( x)( y)(a 2 1(x, y) A 2 1(y, x)) ( z)(a 2 1(x, z) A 2 1(z, y)) 1) Si consideri l'interpretazione il cui dominio è D = Z e A 2 1(x, y) è x < y. In tale interpretazione la formula è vera, soddisfacibile (ma non vera) o falsa? 2) Ripondere alla medesima domanda nel caso in cui D = Q e A 2 1(x, y) è x y e in quello in qui D = N e A 2 1(x, y) è x y (x divide esattamente y). 3) Portare la formula data in forma normale prenessa. 4) Si consideri la chiusura universale della formula in forma normale prenessa: è una formula valida? 3

4 Esercizio Si scriva in un linguaggio del primo ordine la seguente frase come formula chiusa: In un insieme D con una legge di composizione interna binaria, il quadrato della composizione di due qualsiasi elementi coincide con la composizione dei loro quadrati se e solo se la legge di composizione è commutativa. Tale formula è vera? Esercizio Mostrare che ( y) ( A 1 1(y) A 1 2(y) A 1 3(y) ) implica, ma non è semanticamente equivalente a ( ( y) ( A 1 1(y) A 1 3(y) )) (( y) ( A 12(y) A 13(y) )) Mostrare che ( y) ( (A 1 1(y) A 1 2(y)) A 1 3(y) ) è logicamente equivalente a ( ( y) ( A 1 1(y) A 1 3(y) )) (( y) ( A 12(y) A 13(y) )) Interpretazione: siano tre insiemi X, Y, Z. Il dominio è l'insieme Y. Sia ρ una relazione tra X e Y e siano σ, τ relazioni tra Y e Z, allora per un x X e un z Z dati, A 1 1(y) signica (x, y) σ, A 1 2(y, z) (risp. A 1 3(y, z)) signica (y, z) σ (risp. τ). Confrontare con la dimostrazione dell'esercizio 1.5. Esercizio Sia data la struttura seguente: il dominio è N e A(n, m) signica n m, B(n, m, p) signica n + m = p e la costante e si interpreta come il numero 0. Dire quali delle seguenti formule sono vere nella struttura: a) ( x)( y)( z)(b(x, y, z) B(y, x, z)) b) ( x)( y)(b(x, x, y) B(y, x, y)) c) ( x)( y)(a(x, y) B(y, x, y)) d) ( x)( y)a(x, y) ( x)b(x, x, e) e) ( x)( y)b(x, y, x) f) ( x)( y)a(x, y) g) ( x)( y)a(x, y) h) ( x)( y) A(x, y) ( y) A(y, e) 4

5 Esercizio Si considerino le seguenti f.b.f.: 1) ( x)p (x, x) 2) ( x)( y)(p (x, y) P (y, x)) 3) ( x)( y)( z)(p (x, y) P (y, z) P (x, z)) Mostrare che nessuna è conseguenza semantica delle altre due. (Suggerimento: trovare delle interpretazioni in cui due sono vere e la terza no). Esercizio Portare le seguenti formule ben formate in forma di Skolem: a) ( y)(( x)a(x, y) B(y, x)) ( y)(( x)c(x, y) B(x, y)) b) ( x)( y)( z)d(x, y, z) ( x)( y)a(x, y) ( x)( y)b(x, y) c) (( x)( y)a(x, y) ( x)( y)b(x, y)) ( x) ( y)b(y, x) Esercizio Scrivere una formula valida P tale che la skolemizzata P S di P non sia valida. Esercizio Dimostrare in un sistema deduttivo che a) ( x)p (x) ( y)p (y) b) ( x)p (x) ( x) P (x) c) ( x) P (x) ( x)p (x) d) ( x)p (x) ( x) P (x) e) ( x) P (x) ( x)p (x) f) ( x)p (x) ( x) P (x) g) ( x) P (x) ( x)p (x) h) ( xy)p (x) ( yx)p (x) i) ( yx)p (x) ( xy)p (x) Nei tre ultimi casi, si suppone che x non è una variabile libera di Q. j) ( x)(p (x) Q) ( x)p (x) Q k) ( x)(q P (x)) (Q ( x)p (x)) l) (Q ( x)p (x)) ( x)(q P (x)) Esercizio a) Mostrare che {A(a), A(b)} è soddisfacibile in un'interpretazione se e solo se il suo dominio contiene almeno due elementi. b) Trovare un insieme di f.b.f. soddisfacibile in un'interpretazione se e solo se il suo dominio contiene almeno tre elementi. 5

6 Esercizio Provare che la f.b.f. ( x)p (x, f(x)) ( y) P (y, y) ( uvw)((p (u, v) P (v, w)) P (u, w)) è soddisfacibile ma non possiede un modello con dominio nito. Esercizio Siano n N con n > 1 e P n e Q n le seguenti f.b.f.: P n è ( x 1...x n ) i j x i x j Q n è ( x 0...x n ) i j x i = x j Mostrare che 1) I modelli di P n sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha al meno n elementi. 2) I modelli di Q n sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha al massimo n elementi. 3) I modelli di {P n, Q n } sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha esattamente n elementi. 4) I modelli di {P n /n > 1} sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha un numero innito di elementi. Esercizio Utilizzando il metodo di risoluzione per la logica del primo ordine, dimostrare che dalle seguenti premesse: 1) Le mele costano meno dell'uva; 2) La proprietà di costare meno è transitiva; 3) Giuseppe compra l'uva se Maria compra le mele; 4) Maria compra le mele se costano meno delle pesche; 5) L'uva costa meno delle pesche; si deduce: 6) Giuseppe compra l'uva. Esercizio Utilizzando il metodo di risoluzione per la logica del primo ordine, dimostrare che dalle seguenti premesse: 1) Ciascun barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli; 2) Nessun barbiere rade qualcuno che si rade da solo; 6

7 si deduce: 3) Non esistono barbieri. Esercizio Dimostrare utilizzando la deduzione naturale che ( x) P (x). (( x) P (x)) Esercizio Dimostrare utilizzando la deduzione naturale che ((( x) P (x)) Q) ( x) (P (x) Q). Esercizio Utilizzando il metodo di risoluzione e la deduzione naturale per la logica del primo ordine, dimostrare che dalle seguenti premesse: 1) Tutti i giocatori di pallacanestro sono alti; 2) Qualche giocatore di pallacanestro è studente universitario; si deduce: 3) Qualche studente universitario è alto.