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1 Nome: Corso di laurea: Matricola: Università degli studi di Trieste Corso di Laurea in Informatica Esame di Fondamenti Logici dell Informatica 24 Aprile 2006, versione A Vero/Falso Dire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false. Ogni risposta esatta vale 0,5 punti, ogni risposta sbagliata vale -0,5 punti, ogni domanda non risposta vale 0 punti. Il simbolo = è usato esclusivamente per indicare la conseguenza semantica. Non esistono insiemi di Hintikka non soddisfacibili. Le seguenti formule sono equivalenti: x y(p (x) P (y)) e xp (x) yp (y). Il significato inteso quando si scrive P RIS [] è: P è insoddisfacibile. x(p (x, y) yq (y))[z/y] = x(p (x, z) zq(z)). 2-SAT e 3-SAT sono entrambi problemi N P-completi. I tableaux al prim ordine non godono della proprietà di terminazione forte. Considerate la formula al prim ordine x y(p (x, y) R(z) zc(z)) P (y, w). Le sue variabili libere sono {y, w, z} e le sue variabili legate sono {x, y, z}. Se (A, ξ A ) soddisfa una formula al prim ordine ϕ, allora (A, ξ A ) si dice modello di ϕ. La seguente affermazione è vera: Questa sentenza è falsa. Sia un generico metodo dimostrativo. La seguente proprietà va sotto il nome di teorema di completezza: ϕ = ψ ϕ ψ. Siano k 1 e k 2 due clausole e k = Ris(k 1, k 2 ) la clausola risolvente di k 1 e k 2. Se k è soddisfacibile, lo sono anche k 1 e k 2. Scelta Multipla Rispondere alle seguenti domande a scelta multipla. Ogni risposta corretta vale 1 punto, ogni risposta sbagliata vale -1 punti, ogni domanda non risposta vale 0 punti. 1. Dire quale di queste condizioni non è equivalente all insoddisfacibilità di una formula proposizionale P Il tableaux per P è chiuso Il tableaux per P è chiuso P è valida Ogni valutazione non soddisfa P P RIS [] 1

2 2. Con quale nome è noto il seguente teorema: Un insieme di formule proposizionali Γ è soddisfacibile se e solo se ogni suo sottoinsieme finito è soddisfacibile. (f) Teorema di Finitezza Proposizionale Teorema di Hintikka Teorema di Compattezza Proposizionale Teorema del Sottoinsieme Finito per la Logica Proposizionale Teorema di Bondi-Schifani Teorema di Correttezza Proposizionale 3. Qual è la complessità del metodo delle tabelle di verità per testare la soddisfacibilità di formule proposizionali? Esponenziale nel numero di letterali presenti della formula Non primitiva ricorsiva Quadratica nel numero di connettivi presenti nella formula, e cubica nel numero di letterali La soddisfacibilità nel caso proposizionale non è decidibile Esponenziale nel numero di lettere proposizionali presenti nella formula 4. Dire quale delle seguenti affermazioni non è un teorema della logica. ϕ = ψ e ψ = η ϕ = η Date due formule ϕ, ψ, ϕ = ψ oppure ψ = ϕ ϕ ψ ϕ = ψ e ψ = ϕ ϕ = ψ = ϕ ψ ϕ = ψ se e solo se {ϕ, ψ} è insoddisfacibile 5. Quale delle seguenti regole va applicata a δ-formule nel metodo del tableaux al prim ordine. (f) Esercizi Generare due nodi successori, in cui mettere due istanze della formula con costanti usate in precedenza, ricopiando in un ramo solo la formula di partenza mai usata prima, copiando anche la formula di partenza Negare anche di fronte all evidenza che si tratti di una δ-formula (regola di Tremonti) usata in precedenza, copiando anche la formula di partenza mai usata prima, senza ricopiare la formula di partenza usata in precedenza, senza ricopiare la formula di partenza Risolvete i seguenti esercizi, descrivendo il procedimento in forma estesa in un foglio a parte. 1. Si dimostri, mediante tableaux, la seguente conseguenza semantica (3 punti): p q r, q r = q p. 2. Si dimostri la validità della formula in logica proposizionale: ((s p) q r) (p q) (r s). In particolare, la dimostrazione va fatta usando tutti i seguenti metodi: 2

3 tableaux (3 punti) risoluzione (3 punti) algoritmo di Davis-Putnam (3 punti) 3. Si trasformi la seguente proposizione dal linguaggio naturale alla logica al prim ordine (3 punti), e se ne dimostri la validità usando il metodo dei tableaux proposizionali (3 punti). Se ognuno mangia qualcosa e c è qualcuno che digerisce ogni cosa, allora c è qualcuno che mangia qualcosa e la digerisce. 4. Si consideri la seguente formula al prim ordine: ϕ = y x(p (y, x) Q(x)) xq(x). Si trovi un interpretazione che soddisfa la formula (3 punti), ed una che non la soddisfa (3 punti). 3

4 Answer Key for Exam A Vero/Falso Il simbolo = è usato esclusivamente per indicare la conseguenza semantica. Non esistono insiemi di Hintikka non soddisfacibili. Le seguenti formule sono equivalenti: x y(p (x) P (y)) e xp (x) yp (y). Il significato inteso quando si scrive P RIS [] è: P è insoddisfacibile. x(p (x, y) yq (y))[z/y] = x(p (x, z) zq(z)). 2-SAT e 3-SAT sono entrambi problemi N P-completi. I tableaux al prim ordine non godono della proprietà di terminazione forte. Considerate la formula al prim ordine x y(p (x, y) R(z) zc(z)) P (y, w). Le sue variabili libere sono {y, w, z} e le sue variabili legate sono {x, y, z}. Se (A, ξ A ) soddisfa una formula al prim ordine ϕ, allora (A, ξ A ) si dice modello di ϕ. La seguente affermazione è vera: Questa sentenza è falsa. Sia un generico metodo dimostrativo. La seguente proprietà va sotto il nome di teorema di completezza: ϕ = ψ ϕ ψ. Siano k 1 e k 2 due clausole e k = Ris(k 1, k 2 ) la clausola risolvente di k 1 e k 2. Se k è soddisfacibile, lo sono anche k 1 e k 2. Scelta Multipla Esercizi 1. Answer: Per il teorema che lega conseguenza semantica e insoddisfacibilità, ci basta mostrare che l insieme di formule {p q r, q r, (q p)} è insoddisfacibile, ossia che ha un tableaux chiuso: p q r, q r, (q p) q, p, p q r, q r q, p, p, q r q, p, q r, q r q, p, q, r, q r q, p, r, q r q, p, r, q q, p, r, r 1

5 2. Answer: Tableaux-dimostriamo ((s p) q r) (p q) (r s), costruendo un tableaux chiuso per la sua negata: (((s p) q r) (p q) (r s)) (s p) q r, ((p q) (r s)) (s p), ((p q) (r s)) s, p, ((p q) (r s)) q r, ((p q) (r s)) q, r, ((p q) (r s)) s, p, (p q) s, p, (r s) q, r, (p q) q, r, (r s) s, p, p, q s, p, r s q, r, p, q q, r, r, s Per dimostrare la validit della formula per risoluzione, dobbiamo dimostrare per risoluzione che la negata è insoddisfacibile. Con semplici sostituzioni usando equivalenze notevoli studiate, possiamo trasformare la negata della formula di partenza in CNF, ottendo il seguente insieme di clausole congiuntive: {[p, r], [p, s], [ q, r], [ q, s], [q, p], [q, s], [r, p], [r, s]} La seguente è una derivazione per risoluzione della clausola vuota partendo dalle clausole sopra. Per semplicità, l albero di risoluzione è rovesciato! [] [r] [ r] [ s, r] [s, r] [p, r] [ p, r] [p, s] [ p, r] [ q, r] [q, p] Usando sempre lo stesso insieme di clausole, applichiamo ora l algoritmo di Davis-Putnam. Anche qui, l obiettivo è mostrare che la negata è insoddisfacibile. 2

6 {[p, r], [p, s], [ q, r], [ q, s], [q, p], [q, s], [r, p], [r, s]} SR p v(p)=1{[ q, r], [ q, s], [q], [q, s], [r], [r, s]} UR v(q)=1{[ r], [ s], [r], [r, s]} UR v(r)=1{[], [ s]} UR v(p)=0{[ r], [ s], [ q, r], [ q, s], [q, s], [r, s]} UR v(r)=0{[ s], [ q, s], [q, s], [s]} UR v(s)=1{[], [ q]} UR 3. Answer: Consideriamo la frase Se ognuno mangia qualcosa e c è qualcuno che digerisce ogni cosa, allora c è qualcuno che mangia qualcosa e la digerisce. Non appaiono simboli di costante, mentre due sono i predicati: mangiare e digerire. Ognuno di questi due predicati è binario. Introduciamo i simboli M/2 e D/2, dove M(x, y) significa x mangia y, mentre D(x, y) sta per x digerisce y. Riconosciamo 3 proposizioni dove appaiono questi predicati, ossia: ψ 1 = ognuno mangia qualcosa ; ψ 2 = c è qualcuno che digerisce ogni cosa ; ψ 3 = c è qualcuno che mangia qualcosa e la digerisce. La struttura globale della proposizione sarà dunque ϕ = ψ 1 ψ 2 ψ 3. Vediamo ora separatamente le 3 proposizioni precedenti: ognuno mangia qualcosa : questo equivale ad affermare che per ogni persona x, c è un cibo y tale che x mangia y (osservate che nella proposizione originaria non si parla di persone e di cibo, quindi non sono necessari predicati a indicare questi concetti). Quindi otteniamo ψ 1 = x ym(x, y) ; c è qualcuno che digerisce ogni cosa : similmente a sopra, la frase si può riscivere come esiste x tale che per ogni y, x digerisce y, e quindi ψ 2 = x yd(x, y); c è qualcuno che mangia qualcosa e la digerisce : questa proposizione si riscrive come esistono x ed y tali che x mangia y e x digerisce y, ossia ψ 3 = x y(m(x, y) D(x, y)). Ne segue che la traduzione al prim ordine è: ϕ = x ym(x, y) x yd(x, y) x y(m(x, y) D(x, y)). Per mostrare la validità di ϕ, dobbiamo tableaux dimostrare l insoddisfacibilità di ϕ: 3

7 ϕ x ym(x, y), x yd(x, y), x y(m(x, y) D(x, y)) }{{}}{{} ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1, ϕ 2, yd(a, y) }{{} ϕ 3 ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ym(a, y) ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, M(a, b) ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, D(a, b), M(a, b) ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, D(a, b), M(a, b), y(m(a, y) D(a, y)) }{{} ϕ 4 ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4, D(a, b), M(a, b), (M(a, b) D(a, b)) ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4, D(a, b), M(a, b), M(a, b) ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4, D(a, b), M(a, b), D(a, b) 4. Answer: Costruiamo una struttura (A, ξ A ), A = (D A, I A ) che soddisfa la formula ϕ. Poniamo D A = {a}, Q A = {a} e P A = {(a, a)}. Poichè il dominio ha un unico elemento, e sia Q che P (a, a) Q sono vere, possiamo dedurre la verità di ϕ. Costruiamo ora una struttura (A, ξ A ), A = (D A, I A ) che non soddisfa la formula ϕ. Poniamo D A = {a}, Q A = {} e P A = {(a, a)}. Poichè Q A =, abbiamo che xq(x) è falsa, e tale è anche la formula ϕ. 4