Prova intermedia di Logica Matematica 24 maggio Versione A

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1 COGNOME-NOME MATR. Prova intermedia di Logica Matematica 24 maggio Versione A 1. Ricerca di dimostrazione: x y(s(x) R(x, y)) x(s(x) yr(x, y)) 2. Ricerca di contromodello: 3. Sia data la formula x y(s(x) R(x, y)) x(s(x) yr(x, y)) dove i simboli hanno il significato: x( y(a(x, y) F (y, a)) B(x)) A(x, y): x è amico di y, F (x, y): x è fratello di y, B(x): x è biondo, a: Aldo Quale delle seguenti frasi traduce correttamente la formula? Tutti sono amici di qualche fratello di Aldo e sono biondi Qualcuno è amico di tutti i fratelli di Aldo ed è biondo Tutti coloro che sono amici di qualche fratello di Aldo sono biondi Nessuna delle precedenti 4. Siano A l insieme {a, b}, P, Q lettere predicative unarie, R lettera predicativa binaria. Stabilire per quali delle seguenti interpretazioni I la struttura A = (A, I) è un modello per la formula x(p (x) Q(x)) x yr(x, y) I(P ) = {a}, I(Q) = {a}, I(R) = {(a, b), (b, a)} I(P ) = A, I(Q) =, I(R) = I(P ) =, I(Q) = A, I(R) = {(b, a), (b, b)} I(P ) = A, I(Q) = A, I(R) = {(b, b)}

2 5. Sia L un linguaggio elementare con i seguenti simboli: a costante, f simbolo di funzione unario, P simbolo di predicato binario. (a) Quali (una o più) delle seguenti espressioni sono enunciati di L? xp (x, y) P (f(a), a) xp (x, x) P (a, a) xp (x, x) P (x, a) f(a) (b) Esistono termini ground di L che non contengono nessuna occorrenza del simbolo a? Se sí fare un esempio, se no giustificare la risposta. Sí No

3 COGNOME-NOME MATR. Prova intermedia di Logica Matematica 24 maggio Versione B 1. Ricerca di dimostrazione: x y(r(x, y) S(x)) x( yr(x, y) S(x)) 2. Ricerca di contromodello: 3. Sia data la formula x y z ((S(x) R(x, y)) (S(z) wr(z, w))) dove i simboli hanno il significato: x(a(x, b) y(a(x, y) B(y))) A(x, y): x è amico di y, B(x): x è biondo, b: Mario Quale delle seguenti frasi traduce correttamente la formula? Tutti coloro che sono amici di Mario non sono biondi Qualcuno che è amico di Mario non è biondo Qualche amico di Mario è amico solo di persone che non sono bionde Se qualcuno è amico di Mario allora Mario non è biondo Nessuna delle precedenti 4. Siano A l insieme {a, b}, P lettera predicativa binaria, Q, R lettere predicative unarie. Stabilire per quali delle seguenti interpretazioni I la struttura A = (A, I) è un contromodello per la formula x yp (x, y) x( Q(x) R(x)) I(P ) = A A, I(Q) = {a}, I(R) = {b} I(P ) = {(a, a), (b, b)}, I(Q) = {a}, I(R) = {a} I(P ) = {(a, a), (a, b)}, I(Q) =, I(R) = I(P ) = {(a, b), (b, a)}, I(Q) = A, I(R) = A

4 5. Sia L un linguaggio elementare con i seguenti simboli: c costante, h simbolo di funzione binario, Q simbolo di predicato binario. (a) Quali (una o più) delle seguenti espressioni sono termini ground di L? h(x, c) Q(h(c, c), c) x Q(c, x) h(h(c, c), h(c, c)) (b) Esiste un enunciato di L che non contiene il simbolo c? Se sí fare un esempio, se no giustificare la risposta Sí No

5 COGNOME-NOME MATR. Prova intermedia di Logica Matematica 24 maggio Versione C 1. Ricerca di dimostrazione: x(s(x) yr(x, y)) x y(s(x) R(x, y)) 2. Ricerca di contromodello: 3. Sia data la formula x y(s(x) R(x, y)) x(s(x) yr(x, y)) dove i simboli hanno il significato: x( y(f (y, c) A(x, y)) B(x)) A(x, y): x è amico di y, F (x, y): x è fratello di y, B(x): x è biondo, c: Luca Quale delle seguenti frasi traduce correttamente la formula? Tutti sono amici di qualche fratello di Luca e sono biondi Tutti sono amici di tutti i fratelli di Luca quindi tutti sono biondi Chi è amico di tutti i fratelli di Luca è biondo Nessuna delle precedenti 4. Siano A l insieme {a, b},p lettera predicativa binaria, Q, R lettere predicative unarie. Stabilire per quali delle seguenti interpretazioni I la struttura A = (A, I) è un modello per la formula x yp (x, y) x( Q(x) R(x)) I(P ) = {(a, a), (a, b)}, I(Q) = {a}, I(R) = {a} I(P ) =, I(Q) = A, I(R) = A I(P ) = {(b, a), (b, b)}, I(Q) = {a}, I(R) = {b} I(P ) = {(b, a)}, I(Q) =, I(R) =

6 5. Sia L un linguaggio elementare con i seguenti simboli: b costante, f simbolo di funzione binario, P simboli di predicato unario, Q simbolo di predicato binario (a) Quali (una o più) delle seguenti espressioni sono formule atomiche di L? f(b, x) Q(b, f(x, y)) xp (x) Q(b, b) (b) Esistono termini di L che contengono almeno un occorrenza del simbolo P? Se sí fare un esempio, se no giustificare la risposta Sí No

7 COGNOME-NOME MATR. Prova intermedia di Logica Matematica 24 maggio Versione D 1. Ricerca di dimostrazione: x( yr(x, y) S(x)) x y(r(x, y) S(x)) 2. Ricerca di contromodello: 3. Sia data la formula z w ( x y(s(x) R(x, y)) (S(z) R(z, w))) dove i simboli hanno il significato: x(a(x, d) y(a(x, y) B(y))) A(x, y): x è amico di y, B(x): x è biondo, d: Franco Quale delle seguenti frasi traduce correttamente la formula? Chi è amico di Franco non è biondo Qualcuno non è biondo ed è amico di tutti coloro che sono amici di Franco Tutti sono amici di Franco quindi tutti sono amici di qualcuno che non è biondo Tutti coloro che sono amici di Franco sono amici di qualcuno che non è biondo Nessuna delle precedenti

8 4. Siano A l insieme {a, b}, P, Q lettere predicative unarie, R lettera predicativa binaria. Stabilire per quali delle seguenti interpretazioni I la struttura A = (A, I) è un contromodello per la formula x( P (x) Q(x)) x yr(x, y) I(P ) = {b}, I(Q) = A, I(R) = {(a, a), (a, b), (b, a)) I(P ) =, I(Q) = {a}, I(R) = A A I(P ) = {b}, I(Q) = {b}, I(R) = ((b, a), (b, b)} I(P ) = {a}, I(Q) = {b}, I(R) = A A 5. Sia L un linguaggio elementare con i seguenti simboli: a costante, f simbolo di funzione unario,g simbolo di funzione bunaria P simbolo di predicato unario. (a) Quali (una o più) delle seguenti formule di L contengono occorrenze di termini ground? Elencarli accanto alla formula nei casi in cui sono presenti xp (f(x)) P (g(g(a, f(a)), x)) P (f(g(a, a))) P (f(f(x))) (b) Esistono fomule atomiche di L che contengono almeno un occorrenza libera di x? Se sí fare un esempio, se no giustificare la risposta Sí No