Prova scritta di Logica Matematica giugno Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento:

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1 Prova scritta di Logica Matematica giugno Ricerca di dimostrazione: xq(f(x)), x y z(q(x) R(y, z)) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(r(x, x) Q(x)) x y(r(x, y) Q(x)) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Se Andrea si diverte allora Andrea è felice. Chi è felice non guarda la televisione. Se Andrea si diverte allora Andrea non guarda la televisione. 2.1 Skolemizzare l enunciato P (a) x y(s(x, y) zr(x, y, z)) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A una tautologia. Allora A è soddisfacible A è contraddittoria A è una tautologia (ii) Sia P un simbolo di predicato 1-ario, sia f un simbolo di funzione 1-ario, sia a una costante individuale e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è una formula? P (a f(a)) f(a) P (x f(x)) x(x f(a)) xp (f(x))

2 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A un insieme costituito da due elementi a e b. Siano P e Q due lettere predicative 1-arie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello alla formula xp (x) yq(y) a I(P ), b I(P ), a I(Q), b I(Q) a / I(P ), b / I(P ), a I(Q), b I(Q) a / I(P ), b / I(P ), a / I(Q), b / I(Q) a I(P ), b I(P ), a I(Q), b / I(Q) (ii) Sia Γ un sequente tale che esiste una struttura in cui tutte le formule di Γ sono vere e tutte le formule di sono false. Il sequente Γ è dimostrabile nel calcolo dei predicati? SI NO sl([ ], 0). sl([f R], S) : sl(r, S0), S is F + S0.? sl([10, 4], T ). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc(l2, [init lista attesa ], [rossi, init lista attesa, bianchi, verdi]).

3 Prova scritta di Logica Matematica luglio Ricerca di dimostrazione: x y z(r(x, y) P (z)), xp (x) x yr(f(x), y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(r(a, x) (P (a) P (x))), P (a) x yr(x, y) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Chi va in vacanza va al mare o va in campagna. Andrea va in vacanza e Andrea non va al mare. Andrea va in campagna. 2.1 Skolemizzare l enunciato x(q(x) x yr(a, x, y)) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia (A B) una tautologia. Allora B è soddisfacible B è contraddittoria B è una tautologia (ii) Sia f un simbolo di funzione ternario, siano a, b due costanti individuali e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è un termine? f(a, b, f(x, a, x)) f(a b, b, x) f(a, b, b) f(x, x, a) xf(x, a, x) f( xf(x, x, x), a, b)

4 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A un insieme costituito da tre elementi a, b, c. Sia R una lettera predicativa binaria e sia P una predicativa unaria. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello alla formula x yr(x, y) xp (x) (a, a) I(R), (a, b) I(R), (b, a) I(R), (b, b) I(R), a / I(P ), b / I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) / I(R), (b, a) / I(R), (b, b) / I(R), a / I(P ), b / I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) / I(R), (b, a) / I(R), (b, b) / I(R), a I(P ), b I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) I(R), (b, a) I(R), (b, b) / I(R), a / I(P ), b / I(P ) (ii) Sia Γ un sequente tale che per ogni struttura esiste una formula di Γ che è falsa. Il sequente Γ è dimostrabile nel calcolo dei predicati? SI NO votoscritto(f isica, 24). votoscritto(inf ormatica, 26). votoorale(inf ormatica, 25). votoprogetto(inf ormatica, 30). voto(e, V ) : votoscritto(e, V 1), votoorale(e, V 2), votoprogetto(e, V 3), V is (V 1 + V 2 + V 3)/3.? voto(inf ormatica, X). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc(p, S, [a, b]).

5 Prova scritta di Logica Matematica settembre Ricerca di dimostrazione: x y(r(f(x), y) P (g(c))), x(p (x) Q(x)) x y z( Q(x) R(y, z)) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (a, x) xq(x) xp (a, x) xq(x) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti i giocatori di pallacanestro sono alti. Qualche giocatore di pallacanestro è studente universitario. Qualche studente universitario è alto. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y[p (x, f(y)) xr(x)] 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A e B formule proposizionali. Se B è una tautologia allora A B è una tautologia A B è soddisfacibile A B è contraddittoria (ii) Sia Γ un sequente proposizionale e sia A una contraddizione. Il sequente Γ, A è dimostrabile nel calcolo proposizionale? SI NO 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, siano a, b due costanti individuali e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è una formula atomica? xp (f(x)) P (a)

6 P (f(x)) P (a) P (f(b)) P (x) xp (x) (ii) Sia A un insieme costituito da due elementi a, b. Sia R una lettera predicativa binaria e sia P una predicativa unaria. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello alla formula x yr(x, y) xp (x) (a, a) I(R), (a, b) I(R), (b, a) I(R), (b, b) I(R), a / I(P ), b I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) / I(R), (b, a) / I(R), (b, b) / I(R), a / I(P ), b / I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) / I(R), (b, a) / I(R), (b, b) / I(R), a I(P ), b I(P ) (a, a) / I(R), (a, b) / I(R), (b, a) I(R), (b, b) / I(R), a I(P ), b / I(P ) max(x, Y, Max) : X Y,!, Max = X. max(x, Y, Max) : Max = Y.? max(3, 2, Z). pos(y, [Y C], 1). pos(y, [T C], X) : pos(y, C, N), X is N + 1.? pos(b, [b, b], P ).

7 Prova scritta di Logica Matematica novembre Ricerca di dimostrazione: x y z(p (f(x)) Q(g(y)) R(z)) x y z(r(x) Q(y) P (z)) 1.2 Ricerca di contromodello: x y( P (x) Q(y)), xp (x) xq(x) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Se Andrea va alla festa allora tutti si divertono. Chi si diverte è felice. Se Andrea va alla festa allora Andrea è felice. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y zr(x, y, f(z)) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano p e q lettere proposizionali e sia A una contraddizione. seguenti formule è una tautologia? Quale delle (p q) A (p q) A (p q) A (ii) Sia Γ, A B, un sequente proposizionale non dimostrabile. Allora A B è una tautologia B è una tautologia A B non è una tautologia A è una contraddizione 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano P e Q due lettere predicative binarie e siano a, b due costanti individuali. Quale delle seguenti formule contiene almeno una occorrenza libera della variabile x?

8 x(p (a, x) Q(x, b)) xp (a, x) xq(x, b) xp (a, x) Q(x, b) xp (a, x) Q(a, b) P (a, b) xq(x, x) (ii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a. Siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) x(p (x) Q(x)) xr(x) del(x, [X T ], T ). del(x, [Y T ], [Y T 1]) : del(x, T, T 1).? del(a, [a, X, b], L). libro(i promessi sposi). libro(harry potter pietra f ilos). libro(il re dei torti). giallo(il re dei torti). legge(gino, X) : libro(x), not giallo(x).? legge(gino, il re dei torti).

9 Prova scritta di Logica Matematica gennaio Ricerca di dimostrazione: xp (x) xq(x) Q(g(f(a))) x P (f(x)) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (x, x) xq(x) x Q(x) x y P (x, y) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Qualche mammifero è quadrupede. Tutti i quadrupedi hanno la coda. Tutte le balene sono mammiferi. Qualche balena ha la coda. 2.1 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(g(x), f(g(y))) = h(g(f(u)), f(g(h(w, z)))) f(h(g(x), f(u))) = f(h(g(u), f(w))) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A una formula proposizionale soddisfacibile non contenente le lettere proposizionali p, q. Allora (p q) A è soddisfacibile A (p q) è una tautologia A (p q) è una contraddizione (ii) Sia Γ, A B C, un sequente proposizionale non dimostrabile. Allora A B C è una tautologia A B C è soddisfacibile (A B) C è una contraddizione

10 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia P un simbolo di predicato binario, sia Q un simbolo di predicato unario e sia f un simbolo di funzione unario. Quale delle seguenti formule contiene una occorrenza vincolata della variabile x e una occorrenza libera della variabile y? x y(p (x, f(y)) Q(y)) xp (x, x) yq(f(y)) xp (x, f(y)) xq(f(x)) x y(p (f(x), f(y)) Q(y)) x yp (x, y) Q(f(x)) (ii) Sia A un insieme costituito da due elementi a, b. Siano P, Q due simboli di predicato unari. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x P (x) x Q(x) a I(P ), b I(P ),a I(Q), b I(Q) a I(P ), b / I(P ),a I(Q), b / I(Q) a / I(P ), b / I(P ),a I(Q), b I(Q) a I(P ), b I(P ),a / I(Q), b / I(Q) app(t, [T C]). app(x, [T C]) : app(x, C). dupl(t, [T C]) : app(t, C). dupl(x, [T C]) : dupl(x, C).? dupl(x, [b, a, b]). lungh(list, Num) : lungh(list, 0, Num). lungh([ ], L, L). lungh([t C], P L, T L) : NP L is P L + 1, lungh(c, NP L, T L).? lungh([a, b], N).

11 Prova scritta di Logica Matematica febbraio Ricerca di dimostrazione: x y[(p (f(x)) Q(g(y))) R(f(g(a)))] x R(x) x y(p (x) Q(y)) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (x) (Q(a) xr(x)) ( x Q(x) x R(x)) x P (x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti i gatti sono felini. Tutti i felini miagolano. Se Tom non miagola allora Tom non è un gatto. 2.1 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(x 0, h(x 5, x 6 )) = h(h(x 1, x 2 ), h(x 6, x 6 )), h(x 1, f(x 6 )) = h(f(x 3 ), f(x 5 )), h(x 0, g(x 3 )) = h(x 4, g(x 4 )) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A una tautologia e siano p, q lettere proposizionali. Quale delle seguenti formule è una tautologia? (p q) A A (p q) A (p q) (ii) Sia A una contraddizione e sia p una lettera proposizionale. Quale dei seguenti sequenti è dimostrabile? A p p A A p

12 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia P un simbolo di predicato 1-ario, sia Q un simbolo di predicato binario, sia f un simbolo di funzione 1-ario, sia a una costante individuale e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è una formula? P (a f(a)) xq(x, a) xf(x) Q(x f(x), a) x(p (x) f(a)) xp (f(x)) xq(x, f(a)) (ii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a e siano P, Q, R simboli di predicato binari. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) a / I(P ), a I(Q), a I(R) x(p (x) Q(x)) x R(x) conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). ult(x, Q) : conc(, [X], Q).? ult(a, [X, Y ]). fr(a, b). fr(b, a). gn(b, c). gn(a, d). cg(x, Y ) : gn(w, X), fr(w, Z), gn(z, Y ).? cg(x, Y ).

13 Prova scritta di Logica Matematica aprile Ricerca di dimostrazione: x(p (x) ( yr(g(x), y) Q(b))), xp (f(g(x))) xq(x) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: (Q(a) xr(x, a)) xp (x), xq(x) x yr(x, y) P (a) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti gli ateniesi sono coraggiosi. Qualche spartano è coraggioso. Qualche spartano è ateniese. 2.1 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(x 0, x 4 ) = f(h(x 1, x 2 ), g(x 1 )) h(x 1, x 3 ) = h(g(x 3 ), f(x 0, x 5 )) 2.2 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A e B formule tali che A B sia una tautologia. Allora A e B sono tautologie A B è una contraddizione A è soddisfacibile o B è soddisfacibile (ii) Sia A una tautologia e sia p una lettera proposizionale. Quale dei seguenti sequenti è dimostrabile? A p p A p A 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano P e Q simboli di predicato 1-ari, sia f un simbolo di funzione 1-ario e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è un enunciato (formula chiusa)?

14 xp (x) Q(f(x)) x(p (f(x)) Q(x)) P (x) Q(f(x)) P (f(x)) Q(f(x)) (ii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a e siano P, Q, R simboli di predicato unari. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) a / I(P ), a I(Q), a I(R) x P (x) x(q(x) R(x)) f ratello(andrea, padre(paolo)). f ratello(luca, madre(paolo)). sposati(lina, andrea). zia acquisita(y, X) : f ratello(z, padre(x)), sposati(y, Z). zia acquisita(y, X) : f ratello(z, madre(x)), sposati(y, Z).? zia acquisita(y, paolo). last(x, [X]). last(x, [H T ]) : last(x, T ). app(x, [X T ]). app(x, [Y T ]) : app(x, T ).? last(x, [a, Y ]), app(y, [c, d]).

15 Compitino di Logica Matematica 7 maggio Ricerca di dimostrazione: x y(p (x) Q(y)) x y Q(h(x, y)) xp (x) 1.2 Ricerca di contromodello: (P (a) xq(a, x)) xr(x) x(p (x) y zq(y, z)) xr(x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Chi piange è infelice. Qualche bambino piange. Qualche bambino è infelice. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y[p (x, y) x yq(a, x, y)] 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(g(x 1 ), h(x 2, x 3 )) = h(g(x 3 ), h(x 1, g(f(x 4 )))) g(h(x 3, x 5 )) = g(h(x 4, g(x 1 ))) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Se A e B sono contraddizioni allora A B è una contraddizione A B è soddisfacibile B A è una tautologia (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, siano a, b due costanti individuali e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è una formula? xp (P (x)) P (a) P (f(x)) a P (f(b))

16 f(x) (iii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a e siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a I(R) xp (x) x(q(x) R(x))

17 II Compitino di Logica Matematica - Prolog 4 giungo 2004 pari(n) : N1 is N mod 2, N1 =:= 0. dispari(n) : pari(n),!, fail ; true.? dispari(4). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc(x, [Y X], [a, b, a]). 3.3 Esercizio extra, facoltativo, vale 1/2. Migliorare l efficienza del seguente programma, modificandolo in modo da attuare la ricorsione in coda. sommatoria([ ], 0). sommatoria([c R], S) : sommatoria(r, S1), S is C + S1.

18 Prova scritta di Logica Matematica giugno Ricerca di dimostrazione: x [P (h(a, x)) Q(f(x))], x Q(x) x P (x) 1.2 Ricerca di contromodello: x[ yp (x, y) Q(a, x)], y x[p (x, y) Q(y, y)] 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Se Carlo studia allora Andrea non studia. Chi non studia va in vacanza. Se Carlo studia allora tutti vanno in vacanza. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y z[p (x, y) xr(x, z) S(f(a))] 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(x 1, x 2 ) = f(g(x 2 ), f(x 3, x 4 )) g(x 3 ) = g(f(x 4, x 4 )) g(x 2 ) = g(f(x 3, x 4 )) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia Γ un sequente proposizionale non dimostrabile. Siano A, B Γ e C, D. Allora (A B) (C D) è una tautologia (C D) A è soddisfacibile A C è una contraddizione (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario, sia a una costante e sia x una variabile individuale. Quale delle seguenti espressioni è un termine? f(g(x, a)) P (f(a)) f(g(p (a), a))

19 P (a) P (f(a)) (iii) Sia A un insieme costituito da due elementi a, b, sia P una lettera predicativa binaria e sia Q una lettera predicativa unaria. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x y(p (x, y) Q(x)) (a, a) I(P ), (a, b) I(P ), (b, a) I(P ), (b, b) I(P ), a I(Q), b I(Q) (a, a) I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) / I(P ), (b, b) I(P ), a I(Q), b I(Q) (a, a) / I(P ), (a, b) I(P ), (b, a) I(P ), (b, b) I(P ), a I(Q), b I(Q) (a, a) I(P ), (a, b) I(P ), (b, a) I(P ), (b, b) I(P ), a / I(Q), b / I(Q) (a, a) / I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) / I(P ), (b, b) / I(P ), a I(Q), b I(Q) nocc(x, [ ], 0) :!. nocc(x, [X C], N) :!, nocc(x, C, N1), N is N nocc(x, [Y C], N) : nocc(x, C, N).? nocc(a, [a, b, Z], N). del(x, [X T ], T ). del(x, [Y T ], [Y T 1]) : del(x, T, T 1). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc([a], [c], Y ), del(a, [b Y ], X).

20 Prova scritta di Logica Matematica luglio Ricerca di dimostrazione: xp (x), x y(p (x) Q(f(y)) x(p (x) y z( P (z) Q(y))) 1.2 Ricerca di contromodello: x( P (x) R(c)), x( P (x) Q(x)) y Q(y) R(c) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Qualche pesce ha la coda. Tutti i gatti hanno la coda. Qualche gatto è un pesce. 2.1 Skolemizzare l enunciato y x[p (f(a), a, x) x yr(x, y)] 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(g(x 1, x 2 ), x 3 ) = f(g(f(x 2, x 3 ), x 2 ), x 4 ) g(x 3, x 4 ) = g(x 4, f(x 2, x 2 )) f(x 1, x 2 ) = f(x 1, g(x 5, x 5 )) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A, B, C, D formule proposizionali tali che la formula A B C D sia soddisfacibile. Allora il sequente (A B) (C D) è dimostrabile il sequente (A B) (C D) non è dimostrabile il sequente A C è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quali delle seguenti formule contengono almeno una occorrenza libera della variabile x e almeno una occorrenza vincolata della variabile y y(p (g(y, x)) x yp (g(x, y)) P (f(a))

21 x(p (g(y, x)) x yp (g(x, y)) P (a) x yp (f(x), y) (iii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) x(p (x) Q(x)) x(p (x) R(x)) member(x, [X C]). member(x, [T C]) : member(x, C). last(x, [X]). last(x, [T C]) : last(x, C).? member(x, [a, b]), last(l, [c, X]). sml(l, S) : sml(l, 0, S). sml([ ], S, S). sml([c R], P, F ) : P 1 is P + C, sml(r, P 1, F ).? sml([2, 3, 4], N).

22 Prova scritta di Logica Matematica settembre Ricerca di dimostrazione: x yp (a, f(x), y), x y z( P (x, y, g(z)) Q(f(z))) xq(x) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (a, x) xq(a, x) x(p (a, x) Q(a, x)) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Qualche bambino non sa nuotare. Tutti i pesci sanno nuotare. Qualche bambino non è un pesce. 2.1 Skolemizzare l enunciato x(p (f(a), x) x yq(x, y)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(h(x 1, x 2 ), x 3 ) = f(h(g(x 2 ), x 4 ), x 3 ) h(x 1, x 3 ) = h(g(x 2 ), x 5 ) f(x 4, x 4 ) = f(x 5, h(x 6, x 6 )) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A e B due tautologie. Quale dei seguenti sequenti è dimostrabile? A B A B B A (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è un termine. y(p (g(y, x)) x yp (g(x, y)) P (f(a)) f(p (a))

23 g(f(a), x) (iii) Sia A un insieme costituito da un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) x P (x) ( xq(x) x R(x)) member(x, [X C]). member(x, [T C]) : member(x, C). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc([a], [b, c], X), member(t, X). primist(x, [X L], 1) :!. primist(x, [Y L], N) : primist(x, L, N1), N is N1 + 1.? primist(a, [b, b, X, a], N).

24 Prova scritta di Logica Matematica gennaio Ricerca di dimostrazione: x yp (h(x, y), y) x yq(x, y) xq(g(a), x) x y P (x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (x) x(q(x) R(x)), Q(a) xs(x) S(a) x P (x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti serpenti strisciano. Qualche vipera striscia. Qualche vipera è un serpente. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y(r(x, f(y)) x yq(a, x, y)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(h(x 1, x 2 ), h(h(x 3, x 4 ), x 5 )) = h(h(x 1, h(x 5, x 6 )), h(h(g(x 2 ), x 4 ), x 5 )) h(f(x 1 ), x 4 ) = h(x 3, x 4 ) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A e B due tautologie. Allora A B è una tautologia A B è una tautologia B A è una contraddizione (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è una formula chiusa (enunciato). y(p (g(y, x)) P (g(x, y)) xp (x) P (g(a, a)) f(p (a))

25 g(f(a), x) (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) x P (x) ( x Q(x) x R(x)) member(x, [X C]). member(x, [T C]) : member(x, C). studente(demetrio). studia(x, Y ) : studente(x), not(y = mat).? member(x, [mat, inf]), studia(demetrio, X). del(x, [X C], C, 1). del(x, [Y C], [Y C1], N) : del(x, C, C1, N1), N is N1 + 1.? del(a, [X, a], Y, Z).

26 Prova scritta di Logica Matematica febbraio Ricerca di dimostrazione: x y(p (f(x), y) Q(x, g(y)), x y(p (x, y) R(x, y)), x y(q(x, y) R(x, y)) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (a, x) Q(x, x)) xr(x) x R(x) x( P (a, x) Q(x, x)) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Se Giovanna sposa qualcuno allora Antonio sposa Bianca. Se Antonio sposa qualcuno allora Luca non sposa Paola. Se Giovanna sposa qualcuno allora Luca non sposa Paola. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y z(q(x, y, z) x ys(a, x, y)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: 2.3 Rispondere alle seguenti domande: h(x 1, x 2, g(x 3 )) = h(x 1, x 2, x 4 ) h(x 1, g(x 2 ), x 4 ) = h(h(x 5, x 5, x 5 ), g(x 2 ), x 6 ) h(x 5, x 6, x 3 ) = h(x 5, x 6, h(x 6, x 6, x 6 )) (i) Siano Γ un sequente proposizionale non dimostrabile, siano A, B, C formule tali che A Γ e B, C. Allora A (B C) è una tautologia B è una tautologia A B C è soddisfacibile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è termine. f(x) g(x, a) P (f(a))

27 f(p (a)) g(f(a), f(g(x, x))) (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R, S lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x( P (x) S(x)) x(q(x) R(x)) a I(P ), a I(S), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(S), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(S), a I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(S), a / I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(S), a I(Q), a I(R) conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). length([ ], 0). length([t C], N) : length(c, N1), N is N1 + 1.? conc([a], [b], X), length(x, N). maxlist([t ], T ). maxlist([t C], Max) : maxlist(c, M), max(t, M, Max). max(x, Y, Max) : X Y,!, Max = X. max(x, Y, Max) : Max = Y.? maxlist([3, 5, 2], X).

28 Prova scritta di Logica Matematica aprile Ricerca di dimostrazione: x y(p (h(x, y)) Q(f(x))), x R(x) R(a) ( xq(x) x P (x)) 1.2 Ricerca di contromodello: ( xp (x) xq(x)) xr(x, x), x y R(x, y) x Q(x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Chi dorme non piglia pesci. Chi dorme sogna. Chi sogna non piglia pesci. 2.1 Skolemizzare l enunciato x y z(q(f(x), y, z) x yp (x, y)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: 2.3 Rispondere alle seguenti domande: f(g(x 1 ), x 2 ) = f(g(h(x 3, x 4 )), x 2 ) h(x 3, x 4 ) = h(g(x 5 ), h(x 5, x 6 )) g(h(x 1, f(x 2, x 2 ))) = g(h(x 1, f(g(x 5 ), x 2 ))) (i) Siano Γ un sequente proposizionale non dimostrabile, siano A, B, C formule tali che A Γ e B, C. Allora A è una contraddizione B è soddisfacibile C è una tautologia (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia Q una lettera predicativa binaria f un simbolo di funzione unario. Indicare quale delle seguenti espressioni è una formula contenente almeno una occcorrenza della varibile x libera. f(x) f(y) P (f(y)) xq(x, x)

29 x yq(x, y) yp (y) Q(x, y) (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R, S lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula xp (x) ( xq(x) x(r(x) S(x))) a I(P ), a I(Q), a I(R), a I(S) a / I(P ), a I(Q), a / I(R), a / I(S) a I(P ), a / I(Q), a I(R), a I(S) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R), a / I(S) a / I(P ), a I(Q), a / I(R), a I(S) conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). sml([ ], 0). sml([t C], N) : sml(c, N1), N is N1 + T.? conc(l1, L2, [3, 5]), sml(l1, S). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). rev([x], [X]). rev([x, Y ], [Y, X]) :!. rev([t C], LR) : rev(c, LR1), conc(lr1, [T ], LR).? rev([5, 8, 2], R).

30 Prova scritta di Logica Matematica giugno Ricerca di dimostrazione: x (P (f(x)) Q(x)), x y(p (x) (Q(y) R(x))) xr(x) 1.2 Ricerca di contromodello: xr(x, x) xq(x, a) x y R(x, y) x Q(x, a) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti i cani muovono la coda. Tutti i gatti muovono la coda. Tutto ció che muove la coda o è un gatto o è un cane. 2.1 Studiare mediante la procedura DPLL la soddisfacibilitá del seguente insieme di clausole {p, q r, p q, s t, r s, t} 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A e B contraddizioni. Allora A B è una tautologia A B è una tautologia h(x 1, x 2, f(x 3 )) = h(x 1, f(x 3 ), f(x 3 )) f(g(x 3 )) = f(g(g(x 4 ))) f(h(g(x 1 ), x 2, x 5 )) = f(h(g(x 5 ), x 2, x 4 )) B A è una contraddizione (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è una formula contenente almeno una occorenza libera della variabile x y(p (g(y, x)) P (g(x, y))) xp (x) P (g(a, a))

31 f(f(x)) g(x, f(x)) (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a I(P ), a I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) x( P (x) Q(x)) xr(x) nth(x, [X C], 1). nth(x, [Y C], N) : nth(x, C, N1), N is N del(x, [X C], C). del(x, [Y C], [Y C1]) : del(x, C, C1).? nth(x, [a, b, c], 2), del(x, [Y ], Z). diff(x, X) :!, fail. diff(x, Y ). sibl(x, Y ) : gen(z, X), gen(z, Y ), diff(x, Y ). gen(ch, f). gen(d, f). gen(ch, c). gen(p, c).? sibl(f, X). 3.3 Esercizio extra, facoltativo, vale 1/2. Scrivere un programma che converta i nomi singolari nella loro forma plurale (si assuma per semplicità una sola forma di singolare/plurale, ad es. a/e).

32 Prova scritta di Logica Matematica luglio Ricerca di dimostrazione: x(p (f(x)) Q(g(x))), x y(p (x) ( Q(y) R(a, x))) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: xp (a, x) x(q(x) R(x)) x R(x) x y P (x, y) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: 2.1 Skolemizzare il seguente enunciato: Tutti gli uomini sono mortali. Qualche animale è mortale. Qualche uomo è un animale. x( yp (x, y) x y zq(x, y, z)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(x 1, h(x 1, x 2, x 3 ), x 3 ) = h(x 1, h(f(x 2 ), x 2, x 3 ), g(x 4 )) g(h(x 1, g(x 2 ), x 3 )) = g(h(f(x 4 ), g(x 5 ), x 3 )) h(x 2, x 3, g(x 1 )) = h(x 5, x 5, g(x 4 )) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A una tautologia e sia B una contraddizione. Allora A B è una tautologia A B è una tautologia B A è una tautologia (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è un enunciato (formula chiusa) y(p (g(y, x)) P (g(x, y))) xp (x) P (g(a, a)) f(f(a)) g(x, f(a))

33 (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a I(R) a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) xp (x) x(q(x) R(x)) conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). last(x, [X]). last(x, [T C]) : last(x, C).? conc([1, 2], [3], X), last(y, X). app(x, [X C]) :!. app(x, [T C]) : app(x, C). lung([ ], 0). lung([t C], N) : lung(c, N1), N is N1 + 1.? lung([a, b], X), app(x, [2, Z]).

34 Prova scritta di Logica Matematica - Prolog settembre 2005 sport(golf). sport(calcio). sport(nuoto). pratica(luigi, X) : sport(x), X \= golf. member(x, [X C]) :!. member(x, [T C]) : member(x, C).? pratica(luigi, X), member(x, [pallacanestro, calcio, pallavolo]). first(x, [X ]). perdue(x, Y ) : Y is X 2. sml(list, Sum) : sml(list, 0, Sum). sml([ ], S, S). sml([t C], P arz, T ot) : NP arz is P arz + T, sml(c, NP arz, T ot).? first(x, [2, 5, 9]), perdue(x, Y ), sml([x, Y ], S).

35 Prova scritta di Logica Matematica - Prolog - 2 dicembre 2005 app([ ], X, X). app([x Y ], Z, [X W ]) : app(y, Z, W ). inv([ ], [ ]). inv([x Y ], Z) : inv(y, W ), app(w, [X], Z).? inv([a, b], X). del(x, [X T ], T ). del(x, [Y T ], [Y T 1]) : del(x, T, T 1). lung([ ], 0). lung([t C], N) : lung(c, N1), N is N1 + 1.? del(a, [a, b, c], X), lung(x, N).

36 Prova scritta di Logica Matematica gennaio Ricerca di dimostrazione: x(p (x) yq(y)), x(p (x) R(x)), x(q(x) R(f(x))) xr(x) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (x) R(x, x)), x y( R(x, y) Q(x, y)) x P (x) x yq(x, y) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti i pesci sanno nuotare. Tutti i pesci hanno le branchie. Se Carlo sa nuotare allora Carlo ha le branchie. 2.1 Studiare mediante la procedura DPLL la soddisfacibilità del seguente insieme di clausole: { r s, p r, q, s t, p, q t} 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(x 1, f(x 2 )) = h(x 1, f(x 3 )) f(h(x 1, x 3 )) = f(h(x 1, x 4 )) f(h(x 1, f(x 2 ))) = f(h(x 2, f(h(x 5, x 5 )))) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A una tautologia e sia B una contraddizione. Allora il sequente A B è dimostrabile il sequente A B è dimostrabile il sequente B A è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è un termine y(p (g(y, x)) P (g(x, y))) g(f(x), a) f(a) f(f(a)) P (f(a))

37 (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a I(R) xp (x) x(q(x) R(x)) add(x, L, L) : in(x, L),!. add(x, L, [X L]). in(x, [X C]). in(x, [T C]) : in(x, C). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? conc(l, [3, 4], [1, 2, 3, 4]), add(3, L, R). gcd(x, X, X) :!. gcd(x, Y, D) : X < Y, Y 1 is Y X, gcd(x, Y 1, D). gcd(x, Y, D) : Y < X, Y 1 is X Y, gcd(y, Y 1, D). in(x, [X C]). in(x, [T C]) : in(x, C).? gcd(4, 2, X), in(x, [1, 2]).

38 Prova scritta di Logica Matematica febbraio Ricerca di dimostrazione: x y(p (f(x)) (Q(x, g(y)) R(x, y))), x y R(x, y) x y( P (f(x)) Q(x, y)) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (a, x) Q(x, x)), x yp (x, y) xq(x, x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: 2.1 Skolemizzare il seguente enunciato: Tutti i cavalli sono quadrupedi. Tutti i quadrupedi sono mammiferi. Qualche cavallo è mammifero. x y z(p (f(x), y, z) x yq(x, y)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(x 1, g(x 1, x 2, x 3 ), x 3 ) = h(f(x 2 ), g(x 1, x 2, x 3 ), x 3 ) g(x 2, x 2, x 1 ) = g(f(x 3 ), x 2, f(x 2 )) f(h(x 3, f(x 1 ), f(x 2 ))) = f(h(g(x 1, x 1, x 1 ), f(x 1 ), x 1 ))) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano A una tautologia e siano p, q lettere proposizionali. Allora il sequente A p, q è dimostrabile il sequente p, A q è dimostrabile il sequente A, p q è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è una formula chiusa (enunciato) y x(p (g(y, x)) P (g(x, y))) g(f(a), a) P (f(a)) P (g(x, a)) P (f(x))

39 (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a / I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a / I(R) a I(P ), a I(Q), a I(R) x(p (x) Q(x)) xr(x) conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). plur(s, P ) : conc(r, [a], S), conc(r, [e], P ).? plur([l, a], X). lung(list, Num) : lung(list, 0, Num). lung([ ], L, L). lung([t C], P L, T L) : NP L is P L + 1, lung(c, NP L, T L). del1(x, [X T ], T ) :!. del1(x, [Y T ], [Y T 1]) : del1(x, T, T 1).? del1(a, [b, a, a], L), lung(l, N).

40 Prova scritta di Logica Matematica aprile Ricerca di dimostrazione: x yp (x, y), x y(p (x, f(y)) Q(x, g(y))) x yq(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (x) ( yq(y) P (x))), x Q(x) x P (x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Se Andrea va alla festa tutti si divertono. Se Marco va alla festa qualcuno non si diverte. Se Andrea va alla festa allora qualcuno non va alla festa. 2.1 Studiare mediante la procedura DPLL la soddisfacibilitá del seguente insieme di clausole { p q, w, w p q, q w} 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(x 1, g(x 1 ), f(x 4, x 1, x 1 )) = f(x 1, g(g(x 2 )), f(g(x 3 ), x 1, x 1 )) g(f(x 2, x 3, x 1 )) = g(f(x 2, x 3, g(x 2 ))) g(f(x 1, f(x 1, x 1, x 1 ), x 4 )) = g(f(x 1, x 2, g(x 3 ))) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A B una tautologia e sia r una lettera proposizionale. Allora il sequente A r è dimostrabile il sequente r B è dimostrabile il sequente A, B r è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è un termine chiuso y x(p (g(y, x)) P (g(x, y))) g(f(a), a) g(f(x), x) P (f(a))

41 (iii) Sia A un insieme contenente un solo elemento a, siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula a I(P ), a / I(Q), a / I(R) a / I(P ), a I(Q), a / I(R) a / I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a / I(Q), a I(R) a I(P ), a I(Q), a / I(R) x(p (x) Q(x)) x(p (x) R(x)) member(x, [X C]). member(x, [Y C]) : member(x, C).? X is 2 + 3, Y is 2 X, member(z, [a, X, Y ]). oddlength(list) : length(list, N), odd(n). odd(n) : not even(n). even(n) : N1 is N mod 2, N1 =:= 0. length([ ], 0). length([t C], N) : length(c, N1), N is N1 + 1.? oddlength([1, 2]).