Fondamenti di Logica Matematica versione 1.1.3
|
|
- Nicolina Amato
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Fondamenti di Logica Matematica versione Appunti 17 dicembre 2006 Indice 1 Insiemi Inclusione Intersezione Unione Dierenza Il complemento Leggi di associatività Proprietà Prodotti cartesiani Potenze cartesiane Funzioni parziali Funzioni totali Dominio e Immagine Funzioni suriettive Funzioni iniettive Funzioni biiettive Funzione Inversa Esercizi insiemi Insiemi Inclusione Intersezione ed unione Complemento Dimostrazioni Prodotti cartesiani Funzioni Logica proposizionale Formule ben formate Precedenze connettivi Sottoformule Rappresentazione ad albero Esercizi Logica proposizionale 14 5 Teorema di deduzione semantica Corollario Equivalenza semantica Dimostrazioni Forme normali FND - Forma normale disgiuntiva FNC - Forma normale congiuntiva Forme normali complete Trasformazione Bottom 18 9 Esercizi FNC - FND Calcolo dei sequenti Regole Esercizi Predicati del primo ordine Campo di azione Forme normali prenesse Forma di Skolem Esercizi Teoria di Herbrand Esercizi Esercizi Fuzzy Logic Diagrammi binari di decisione 28
2 2 Indice 15 Esame scritto del 17 Gennaio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esame scritto del 5 Luglio Esercizio Esercizio Esercizio Esame scritto del 8 Novembre Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Bibliograa 39
3 1 Insiemi 3 1 Insiemi Un insieme è una collezione di oggetti detti elementi dell'insieme. Concetto di universo, esempi: Naturali {0, 1, 2, } Interi {, 2, 1, 0, 1, 2, } Reali Booleani B= {0, 1} B n Es.: B 2 = {00, 01, 10, 11} 1.1 Inclusione Un insieme A è un sottoinsieme di B (A B, vedi immagine) se ogni elemento di A appartiene anche a B. Es.: {1, 2, 3} {1, 2, 3}. Un insieme A è un sottoineieme proprio di B (A B), se A B ma A è diverso da B (A B); in altre parole, A si dice sottoinsieme proprio di B se ogni elemento di A appartiene a B, ma c'è almeno un elemento di B che non appartiene a A. Es.: {1, 3} {1, 2, 3}. B A 1.2 Intersezione L'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B, si chiama intersezione di A e B (A B). Se A B = si dicono disgiunti. B A B A
4 4 1 Insiemi 1.3 Unione L'unione di A e B (A B) è l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B. B A A B 1.4 Dierenza La dierenza tra A e B (A\B) è l'insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. B A B\A 1.5 Il complemento Il complemento di un insieme A ( A) è la dierenza tra l'universo e l'insieme A. A A U 1.6 Leggi di associatività (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
5 1 Insiemi 5 Grazie a queste identità, si può scrivere A B C 1.7 Proprietà 1. Idempotenza (A B) = A (A B) = A 2. Commutatività (A B) = (B A) (A B) = (B A) 3. Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 1.8 Prodotti cartesiani Il prodotto cartesiano degli insiemi A e B è l'insieme di coppie il cui primo elemento appartiene ad A ed il secondo appartiene a B: A B = {< a, b > a A b B}. Es.: {0, 1} {1, 2} = {< 0, 1 >, < 0, 2 >, < 1, 1 >, < 1, 2 >} 1.9 Potenze cartesiane Il quadrato cartesiano dell'insieme A è: A 2 = A A = {< a, b > a A b B}. La potenza caresiana n-esima dell'insieme A, è l'insieme delle n-tuple 1 di elementi di A: A n = A A = {< a 1, a n > a 1 A a n A} Funzioni parziali Siano A e B due insiemei, una funzione parziale F : A B, è un insieme di coppie 2 < a, b > (con a A b B) in cui ogni elemento di A è in coppia 1 Una n-tupla, ordinata, di un insieme A, è una sequenza < a 1, a n > di elementi di A. 2 < a, b >, è una coppia ordinata il cui primo elemento è a e il cui secondo elemento è b.
6 6 1 Insiemi con al più un elemento di B. Es.: A = {0, 1, 2, 4}, B = {0, 3, 6} F : A B = {< 0, 0 >, < 1, 3 >, < 4, 6 >} Funzioni totali Siano A e B due insiemei, una funzione totale F : A B, è una funzione parziale che associa ad ogni elemento di A un elemento di B. Es.: A = {a, b, c, d}, B = {0, 3, 6} F : A B = {< a, 0 >, < b, 0 >, < c, 6 >, < d, 6 >} Dominio e Immagine L'insieme degli x dove F è denita si chiama dominio di denizione di F, (Dom(F )). L'insieme degli y tali che < x, y > F, per ogni x Dom(F ), si chiama immagine di F, (Im(F )). Es.: F : {a, b, c, d} {0, 2, 6} F = {< a, 0 >, < c, 6 >, < d, 6 >} Dom(F ) = {a, c, d} e Im(F ) = {0, 6} Funzioni suriettive Sia F : B, se Im(F ) = B allora la funzione si dice suriettiva. Es.: F : {a, b, c, d} {0, 2, 6} F = {< a, 0 >, < c, 6 >, < d, 6 >} Im(F ) = {0, 6} {0, 2, 6} non è suriettiva. Es.: G : {a, b, c, d} {0, 2, 6} G = {< a, 0 >, < c, 2 >, < d, 6 >} Im(G) = {0, 2, 6} è suriettiva Funzioni iniettive Una funzione F, si dice iniettiva se per ogni y Im(F ) esiste al più un x tale che < x, y > F. Es.: F : {a, b, c, d} {0, 2, 6} F = {< a, 0 >, < c, 6 >, < d, 6 >}
7 2 Esercizi insiemi 7 Im(F ) = {< 0, 6 >, < c, 6 >, < d, 6 >} non è iniettiva, infatti per ogni y deve esistere al più un x; in questo caso le y hanno un corrispondenza in eccesso. Es.: G : {a, b, c, d} {0, 2, 6} G = {< a, 0 >, < d, 6 >} Im(G) = {< 0, 6 >} è iniettiva Funzioni biiettive Una funzione totale, suriettiva ed iniettiva è detta biiettiva. Es.: F : {a, b, c, d} {0, 1, 2, 6} F = {< a, 0 >, < b, 2 >, < c, 6 >, < d, 1 >} F è biiettiva. a b c d Funzione Inversa Sia f : A B una funzione biiettiva, la funzione inversa di F, (F 1 ) è la funzione F 1 : B A tale che < a, b > A se e solo se < b, a > B. Es.: F : {a, b, c, d} {0, 1, 2, 6} F = {< a, 0 >, < b, 2 >, < c, 6 >, < d, 1 >} F 1 = {< 0, a >, < 1, d >, < 2, b >, < 6, c >}. 2 Esercizi insiemi 2.1 Insiemi Quali dei seguenti insiemi sono uguali?. 1. {1, 7, 4} 2. {1, 7, 1, 4}
8 8 2 Esercizi insiemi 3. {1, 4, 7} 4. {1, 3, 4, 5} 5. {1, 3, 5} 6. {5, 3, 4, 1} Gli insiemi uguali sono: {1, 7, 4} = {1, 7, 1, 4} = {1, 4, 7} {1, 3, 4, 5} = {5, 3, 4, 1} Infatti non conta l'ordine degli elementi e non contano le ripetizioni. 2.2 Inclusione Quali insiemi sono contenuti almeno in un altro insieme?. (cfr. Ÿ1.1 a Pagina 3) 1. {1, 7, 4} 2. {1, 7, 1, 4} 3. {1, 4, 7} 4. {1, 3, 4, 5} 5. {1, 3, 5} 6. {5, 3, 4, 1, 7} Soluzione: {1, 7, 4} e {1, 4, 7} sono contenuti in {1, 7, 1, 4} {1, 3, 4, 5} e {1, 3, 5} sono contenuti in {5, 3, 4, 1, 7}
9 2 Esercizi insiemi Intersezione ed unione Scrivere l'intersezione e l'unione dei seguenti insiemi. (cfr. ŸŸ 1.2, 1.3 a Pagg. 3, 4). 1. {1, 7, 4} e {3, 7, 1} 2. {1, 8, 9, 4, 5} e {w, a, c} Scrivere inoltre la dierenza tra i precedenti insiemi. (cfr. Ÿ1.4 a Pagina 4). I 1 = {1, 7, 4} {3, 7, 1} = {1, 7} U 1 = {1, 7, 4} {3, 7, 1} = {1, 3, 7, 4} I 2 = {1, 8, 9, 4, 5} {w, a, c} = {} U 2 = {1, 8, 9, 4, 5} {1, 8, 9, 4, 5, w, a, c} D 1 = {1, 7, 4} \ {3, 7, 1} = {4} D 1b = {3, 7, 1} \ {1, 7, 4} = {3} D 2 = {1, 8, 9, 4, 5} \ {w, a, c} = {1, 8, 9, 4, 5} D 2b = {w, a, c} \ {1, 8, 9, 4, 5} = {w, a, c} 2.4 Complemento Sia l'universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} scrivere il complemento (cfr. Ÿ 1.5 a Pagina 4) dei seguenti insiemi: 1. {1, 5, 4} 2. {2, 3, 5, 6} Soluzione: C 1 = {2, 3, 6} C 2 = {1, 4}
10 10 2 Esercizi insiemi 2.5 Dimostrazioni Dimostrare la legge distributiva: A (B C) = (A C) (A C) (1) Dimostrare la (1), signica dimostrare che: e infatti se: 1. A B 3 2. B A allora sono uguali A (B C) (A C) (A C) (2) (A C) (A C) A (B C) (3) Ogni elemento del primo insieme deve appartenere anche al secondo. Devo dimostrare due espressioni: 1. a A (B C) a (A B) (A C) 2. a (A B) (A C) a A (B C). Per la denizione di unione, a può appartenere a B oppure a C: a (A B) a (A C) Prima parte: a A Seconda parte: a (B C) Se a B a (A B) Se a C a (A C). Dimostrazione della (3) se: a (A B) (A C) a A (A C) (4) La (4) è stata ricavata grazie alla proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione. Quindi se: a (A B) e a (A C), signica che: a (A B) (a A oppure a B) e a (A C) (a A oppure a C) Ottengo inne due casi: a A a B e a C. 3 Sottoinsieme: se ogni elemento di A è contenuto in B.
11 2 Esercizi insiemi 11 Dimostrare la proprietà di idempotenza: Posso avere due possibilità: 1. a A oppure 2. a A, quindi a A a A a A A A = A. (5) 2.6 Prodotti cartesiani Calcolare i seguenti prodotti cartesiani (cfr. Ÿ 1.8 a Pagina 5): 1. {4, 5, 1} {1, 2} 2. {e, a} {6, 9} Soluzione: C 1 = {< 4, 1 >, < 4, 2 >, < 5, 1 >, < 5, 2 >, < 1, 1 >, < 1, 2 >} C 2 = {< e, 6 >, < e, 9 >, < a, 6 >, < a, 9 >} 2.7 Funzioni Sia A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 3, 6}; i seguenti insiemi sono funzioni (cfr. Ÿ 1.10 e ss. a Pagina 5)? 1. F = {< 0, 0 >, < 0, 1 >, < 3, 6 >} 2. F = {< 0, 0 >, < 1, 0 >, < 3, 6 >} 3. F = {< 0, 0 >, < 1, 3 >, < 2, 1 >, < 3, 6 >} Soluzione: F 1, non è una funzione parziale in quanto ogni elemento di A deve essere in coppia con al più uno di B; le prime due coppie fanno riferimento ad un solo elemento di A. F 2, è una funzione parziale
12 12 3 Logica proposizionale F 3, è una funzione totale, in quanto associa ad ogni elemento di A un elemento di B. è anche una funzione suriettiva Im(F ) = B ed iniettiva; si conseguenza è una funzione biiettiva. Sia A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 3, 6}; le seguenti funzioni sono parziali, totali, iniettive, suriettive, biiettive? 1. F = {< 0, 0 >, < 1, 0 >, < 3, 6 >} 2. F = {< 0, 0 >, < 1, 3 >, < 2, 1 >, < 3, 6 >} 3. F = {< 0, 0 >, < 1, 3 >, < 2, 0 >, < 3, 6 >} Soluzione: F 1, è una funzione parziale, F 2, è una funzione totale, suriettiva, iniettiva, quindi biiettiva, F 3, e una funzione totale. Calcolare l'inversa delle funzioni precedenti quando esiste. L'inversa di una funzione esiste solo se la funzione di partenza F è biiettiva: (F 2 ) 1 = {< 0, 0 >, < 3, 1 >, < 1, 2 >, < 6, 3 >} 3 Logica proposizionale Una proposizione è un particolare enunciato che può essere: atomica composta cioè costruita a partire da proposizioni atomiche usando i connettivi (,,, ) 3.1 Formule ben formate Sono le formule corrette del linguaggio. Sono denite in modo ricorsivo: Le lettere enunciative ed i simboli V e F sono f.b.f Se P è un f.b.f anche P lo è Se P e Q sono f.b.f lo sono anche (P Q), (P Q), (P Q)
13 3 Logica proposizionale Precedenze connettivi Al ne di evitare una esplosione di parentesi negli enunciati, sono state denite delle precedenze di alcuni operatori: precede che precede che precede 3.3 Sottoformule (A B) (A B A). La sottoformule sono: (A B) (A B A) A B A B A B 3.4 Rappresentazione ad albero (A B) (A B A): A B A A B Un albero di struttura ha: come radice: il connettivo principale
14 14 5 Teorema di deduzione semantica come foglie: le lettere enunciative come nodi interni: i connettivi La sottoformula (A B A) corrisponde a: A B A A B 4 Esercizi Logica proposizionale ((A B) ( C)) (A (B ( C))) [1] 5 Teorema di deduzione semantica Γ {P } Q sse Γ (P Q) (6) Per dimostrare la (6), si deve dimostrare la doppia implicazione se e solo se; quindi la dimostrazione è composta da due passi principali. Dimostrazione per ( ): è importante avere ben chiaro quale sia l'ipotesi e la tesi. Hp: Γ {P } Q Tesi: Γ (P Q) Devo dimostrare la tesi; mi interesso delle v di Γ, ho due casi:
15 6 Equivalenza semantica 15 Se v(p ) = 1 e v è un modello di Γ, dall'ipotesi per denizione di conseguenza semantica, ho che Q(P ) = 1 e quindi per l'implicazione si ha che 1 1 = 1: v(p Q) = 1 Se v(p ) = 0, v(p Q) = 1 in entrambi i casi la tesi è vera. Dimostrazione per ( ): Hp: Γ (P Q) Tesi: Γ {P } Q Se v è un modello per Γ {P }, allora v è un modello sia per Γ che per P sempre per denizione di conseguenza semantica, dall'ipotesi, v(p Q) = Corollario Γ {P } Q sse Γ (P Q) (7) Con Γ, insieme vuoto: P Q sse (P Q) (8) 6 Equivalenza semantica Una formula P è semanticamente equivalente a Q (P Q) se tutti e soli i modelli di P sono modelli di Q. A (A B) A B questo è vero, A (A B) A B questo no!. Tabella 1: A (A B) A B A A B A (A B)
16 16 6 Equivalenza semantica Tabella 2: A B A B A A B I modelli della Tabella (1) a Pagina 15, sono: v 1 (A) = 0, v 1 (B) = 0 v 2 (A) = 0, v 2 (B) = 1 mentre i modelli della Tabella (2) a Pagina 16, sono: v 1 (A) = 0, v 1 (B) = 0 v 2 (A) = 0, v 2 (B) = 1 v 3 (A) = 1, v 3 (B) = Dimostrazioni Assorbimento: P (P Q) P Sia v una interpretazione qualsiasi: min(v(p ), v(p Q)) min(v(p ), max(v(p ), v(q))) Ho due casi: Se P > Q min(v(p ), v(p )); Ok. Se Q > P min(v(p ), v(q)) risulta sempre v(p ) in quanto se Q > P signica che il minimo tra P e Q è P. Distributiva: P (Q R) (P Q) (P R)
17 7 Forme normali 17 7 Forme normali A volte è utile poter trasformare un f.b.f. in una sua equivalente, una volta arrivati al limite delle sostituzioni si ottiene una forma canonica detta anche forma normale. Risulta importante sapere che per ogni f.b.f P esistono una formula normale congiuntiva P C ed una disgiuntiva P D ; con P P C e P P D 7.1 FND - Forma normale disgiuntiva Si ottiene con una congiunzione 4 di disgiunzioni 5. Passo 1 Eliminazione del connettivo P Q P Q Passo 2 Portare le negazioni all'interno ed eliminare le doppie negazioni (P Q) P Q (P Q) P Q P P Passo 3 Portare le congiunzioni all'interno delle disgiunzioni P (Q R) (P Q) (P R) Passo 4* Facoltativo, semplicazioni: P P F e P P T F P F e F P P T P P e T P T P P P e P P P 7.2 FNC - Forma normale congiuntiva Si ottiene con una disgiunzione di congiunzioni. Passo 1 Eliminazione del connettivo P Q P Q Passo 2 Portare le negazioni all'interno ed eliminare le doppie negazioni (P Q) P Q (P Q) P Q P P 4 AND 5 OR
18 18 8 Trasformazione Bottom Passo 3** Portare le disgiunzioni all'interno delle congiunzioni P (Q R) (P Q) (P R) Passo 4* Facoltativo, semplicazioni: P P F e P P T F P F e F P P T P P e T P T P P P e P P P 7.3 Forme normali complete Per costruire la FND completa di P, si costruisce la sua tabella di verità; quando ho trovato i modelli della formula P, guardo l'interpretazione relativa se v(a i ) = 1 allora inserisco nella disgiunzione A i altrimenti A i. Esempio: (A (B ( A B))) Tabella 3: (A (B ( A B))) int A B A A B B A B A B A B(3) (3) v v v v Guardo le interpretazioni che soddisfano la formula (la colonna (3)); cioè v 1, v 2, v 4 ; a questo punto gurado semplicemente le interpretazioni di A e di B: 00, 01, 10, 11. Ed ottengo: ( A B) ( A B) (A B) ; dove c'è 0 nego. Nel caso della costruzione della forma normale completa di un FNC, considero solo le interpretazioni che non soddisfano la f.b.f. quelle con 0. 8 Trasformazione Bottom La funzione : P = P se P è una formula atomica
19 9 Esercizi FNC - FND 19 (P Q) = P Q (P Q) = P Q ( P ) = P 9 Esercizi FNC - FND Es.(1) :( (A B) C) F ND (A B) C F NC (C A) (C B) Es.(2) :( ((A B) C) (A B)) ((A B) C) (A B) F NC ( A B) C) A B (( C A) ( C B)) A B (( A C A) ( A C B)) B (( A C) ( A C B)) B ( B A C) ( B A C B) ( B A C) (F A C) F ND ( B A C) F Es.(3) :((A C) (A B)) (C B) ( (A C) (A B)) C B ( A C A B) C B (F C B) C B F NC ( C B) C B (( C C) ( C B)) B) ( B C C) ( B C B) ( B C C) ( C F ) F ND B C C
20 20 9 Esercizi FNC - FND Es.(7 Esercit.3) : P = ( ((A B) C) (A B)) R = (C B) P [R/B] : ( ((A (C B)) C) (A (C B))) ((A (C B)) C) (A (C B)) ((A (C B)) C) ( A C B) ((A C B) C) A C B ( A C B) C A C B T ip P (Q R K) (P Q) (P R) (P K) (( C A) ( C C) ( C B)) A C B (( C A) F ( C B)) A C B (( C A) ( C B)) A C B ((A C A) (A C B)) C B F NC F ND A C B C B F (( C A) ( C C) ( C B)) B (B C A) (B C C) (B C B) F ND (B C A) (B C C) Tabella 4: A C B C B F int A B C A C(1*) 1 B(2*) 2 C(3*) 3 B v v v v v v v v F ND C = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) F NC C = la formula con il minor numero di letterali è: A C B C B F : 1.
21 10 Calcolo dei sequenti Calcolo dei sequenti 10.1 Regole ( a destra) Γ P, Γ Q, Γ P Q, ( a sinistra) Γ, P, Q Γ, P Q ( a sinistra) Γ, P Γ, Q Γ, P Q ( a destra) Γ P, Q, Γ P Q, ( a sinistra) Γ P, Γ, Q Γ, P Q ( a destra) Γ, P Q, Γ P Q, 10.2 Esercizi Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 B B A A A, B B A, B A A, B (A B) (A B) (B A) (A B) (B A) A A B B A A, B B A, B (A B A, B) (A B) (A B) (A B), (A B) (A B), A B (A B) A B A A A A A, A (A A), A (A A) A (A A) A
22 22 10 Calcolo dei sequenti Esercizio 4 Deduzione Naturale [A] [A A] [A] A Hp : (A) A Hp : (A A) (A A) A Svolgimento: Ipotizzo che (A A), sia vero; se questo è vero allora mi basta dimostrare A, passo dalla linea 0 alla linea dove riporto A e l'ipotesi che (A A) sia vero. [A] A ; A questo punto per dimostrare A applico l'introduzione della negazione questa dice che partendo dal faslo, posso dimostrare A con ipotesi A. Di conseguenza, passo alla riga successiva scrivendo e riportando come ipotesi A. Ora con la regola: A A, posso utilizzare una ipotesi per cercare di chiudere la dimostrazione; utilizzo la regola e passo alla riga [A] A. Adesso utilizzando la regola P, posso chiudere la dimostrazione attraverso le ipotesi: Esercizio 5 [A] [A A] A. P Q Q A A A B, A A A (A B), A ((A B) A) A (((A B) A) A) Es.: 2.2 pag. 75[1]: Dimostrare in un sistema deduttivo che le seguenti proposizioni sono derivabili: 1. (A B) C A (B C) 2. A B A B 3. (A B) A B 4. A A 5. A A 9. (A B) (B A)
23 11 Predicati del primo ordine 23 Soluzione (1): Soluzione (2): Soluzione (3): Soluzione (4): A A A, B, C A Soluzione (5): Simile al (4). B B C C A, B, C B A, B, C C A, B, C (A B) A, B, C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) A A A, B A, B A B A B A A B B A, B A A, B B A, B A B (A B) (A B) (A B) (A B) (A B) A B A A A, A A A A A 11 Predicati del primo ordine La logica dei predicati o del primo ordine che dir si voglia, è più espressiva rispetto al calcolo proposizionale; in quanto ad esempio è possibile gestire la generalità; questa tipo di logica introduce i quanticatori:, Campo di azione Il campo di azione di un quanticatore è la f.b.f. immediatamente alla sua destra. Una variabile che è nel campo di azione di un quanticatore è detta legata altrimenti libera. Le variabili libere vengono rappresentate da un insieme chiamato FV, free-variable mentre quelle legate: BV. Determinare le variabili libere nelle seguenti formule:
24 24 11 Predicati del primo ordine y A(x, y) B(x, y) F V = x, y nel secondo termine, BV = x, y nel primo termine y x(a(x, y) B(x, y)) F V =, BV = x, y y xa(y) (B(x, y) zc(x, z)) F V = x, y x, y nel secondo termine, BV = y nel primo termine, BV = z nel terzo termine x y(a(x, y) B(x)) zc(z) D(z) F V =, BV = x, y, z 11.2 Forme normali prenesse Una f.b.f. P è in forma normale prenessa se tutti i suoi quanticatori sono alla sinistra della formula P. Trasformazione: Passo 1 : ridenominare con nomi nuovi le variabili legate che hanno lo stesso nome delle variabili libere Passo 2 : ridenominare con nomi nuovi le variabili legate che hanno lo stesso nome di altre variabili legate Passo 3 : estrazione dei quanticatori usando le regole: N.B.: Q = Q. xp x P e xp x P Q 1 xp Q 1 yq Q 1 xq 1 y(p Q) con Q i {, } Q 1 xp Q 1 yq Q 1 xq 1 y(p Q) con Q i {, } xp Q x(p Q) e xp Q x(p Q) P xq x(p Q) e P xq x(p Q) 11.3 Forma di Skolem Elimina i quanticatori esistenziali ( ). La formula di Skolem ottenuta non è equivalente a quella originale, ma è soddisfacibile se lo è quella di partenza. Per trasformarla deve essere in forma normale prenessa. Come si trasforma; ho due casi:
25 11 Predicati del primo ordine 25 se xa(x) introduco un simbolo di costante c e scrivo A(c) se x yb(x, y) cioè ho un per ogni prima dell'esiste: introduco un simbolo di funzione che dipende da x, xb(x, f(x)) Esempio: x y z tb(x, y, z, t) y z tb(c, y, z, t) y zb(c, y, z, f(x, y)) 11.4 Esercizi Dimostrare in un sistema deduttivo che (Es.: 5.1 pag. 181 [1]): 1. xp (x) yp (y) 2. xp (x) x P (x) 3. xp (x) xp (x) xp (x) Testo non corretto! 7. errore del libro: errata corrige: x P (x) xp (x) Soluzione (1): Soluzione (2): Soluzione (3): P (x) P (x) xp (x) P (x), yp (y) xp (x) yp (y) xp (x) yp (y) P (x) P (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) P (x) xp (x) xp (x) P (x) P (x) P (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) xp (x) Trasformare le seguenti f.b.f. in forma di Skolem (Es.: 4.15 pag. 132 [1]): 1. y( xa(x, y) B(y, x)) y( xc(x, y) B(x, y))
26 26 12 Teoria di Herbrand 2. x y zd(x, y, z) x ya(x, y) x yb(x, y) 3. ( x ya(x, y) x yb(x, y)) x yb(x, y) Soluzione (1): y( xa(x, y) B(y, x)) y( xc(x, y) B(x, y)) y( xa(x, y) B(y, x)) z( kc(k, z) B(k, z)) y x z k(a(x, y) B(y, x)) (C(k, z) B(k, z)) F NP y x k(a(x, y) B(y, x)) (C(k, f(y, x)) B(k, g(y, x))) F. Skolem 12 Teoria di Herbrand 12.1 Esercizi Mostrare che P è conseguenza logica di S. P = A C S = {A (B C), A B} Dimostrare che: S P. Grazie al teorema di refutazione posso dire che: S c ( P ) c R Converto P e S a clausole: S c 1 = A( B C) P c = { A, B, C} S c 2 = A B = { A, B} S c = {{ A, B, C}, { A, B}} P = ( A C) = A C ( P ) c = {{A}, { C}} quindi {{ A, B, C}, { A, B}} {{A}, { C}}
27 13 Esercizi Fuzzy Logic 27 Refutazione: C 1 = {A} C 2 = { A, B} ( P ) c S c C 3 = {B} R, C 1, C 2 C 4 = { A, B, C} S c C 5 = { C} ( P ) c C 6 = { A, B} R, C 4, C 5 C 7 = { A} R, C 3, C 6 C 8 = R, C 1, C 7 13 Esercizi Fuzzy Logic Sia U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Calcolare l'unione l'intersezione ed il complemento dei seguenti insiemi: A = [0; 0.3; 0.6; 1; 0; 0.7; 0.5; 0; 0.9] B = [1; 0.4; 0; 1; 0.8; 0.2; 0.34; 0.99; 0.1] A B = [1; 0.3; 0.6; 1; ] A B = [0; 0.3; 0; 1; 0; ] A C = [1; 0.7; 0.4; 0; 1; ] Per calcolare molto, più o meno ed esattamente: 1. molto: A 2 2. più o meno: A 3. esattamente: prendo solo gli 1.
28 28 14 Diagrammi binari di decisione 14 Diagrammi binari di decisione
29 15 Esame scritto del 17 Gennaio Esame scritto del 17 Gennaio Esercizio 1 R = (B A) P = (D B) (D B) P [R/D] : ((B A) B) ((B A) B) R [P/B] : (( (D B) (D B)) A) F NC [R/D] : ((B A) B) ((B A) B) ( (B A) B) (B A) (( B A) B) (B A) ((B A) B) (B A) ((B B) (B A)) (B A) (B (B A)) (B A) (B B) (B A) (B A) B (B A) (B B) (B A) F ND B (B A) Tabella 5: ((B A) B) ((B A) B) int A B (B A)(1*) 1 B(2*) 1 B(3*) 2 3 (4*) 4 v v v v F NC C = (A B) ( A B) F ND C = ( A B) (A B) la formula con il minor numero di letterali è: B (B A): 3.
30 30 15 Esame scritto del 17 Gennaio Esercizio 2 Determinare se la formula ben formata P è derivabile. Se e derivabile si dia una dimostrazione in un sistema deduttivo. Se non è derivabile si fornisca un contromodello. P = ( x(p (x) (Q(x) R(x)))) ( x(p (x) Q(x)) x(p (x) R(x))) P (z) P (z) 1, P (z) P (z), Q(z) Q(z) Q(z) 1, P (z), Q(z), R(z) Q(z) 1, P (z), Q(z) R(z) Q(z) 1, P (z) (Q(z) R(z)), P (z) Q(z) 1, P (z) (Q(z) R(z)) P (z) Q(z) x(p (x) (Q(x) R(x))) P (z) Q(z) x(p (x) (Q(x) R(x))) x(p (x) Q(x)) identico idem. ( x(p (x) (Q(x) R(x)))) ( x(p (x) Q(x)) x(p (x) R(x))) ( x(p (x) (Q(x) R(x)))) ( x(p (x) Q(x)) x(p (x) R(x))) Dove: x(p (z) (Q(x) R(x))) = 1 idem: identico nel procedimento Esercizio 3 Si domostri per risoluzione che: B(a) x(b(x) ya(x, f(y))) x y(a(x, y) A(x, f(y))) x ya(x, f(f(y))) Bisogna dimostrare che: S C ( P ) C R. S = B(a) x(b(x) ya(x, f(y))) x y(a(x, y) A(x, f(y))) B(a) x y(b(x) A(x, f(y))) z k(a(z, k) A(z, f(k))) B(a) x y z k(b(x) A(x, f(y))) (A(z, k) A(z, f(k))) x y z kb(a) (B(x) A(x, f(y))) (A(z, k) A(z, f(k))) x z kb(a) (B(x) A(x, f(g(x)))) (A(z, k) A(z, f(k))) B(a) (B(x) A(x, f(g(x)))) (A(z, k) A(z, f(k))) S C = {{B(a)}, {( B(x), A(x, f(g(x))))} { A(z, k), A(z, f(k))}} P = x y A(x, f(f(y))) P C = {{ A(x, f(f(y)))}} P C = {{ A(e, f(f(u)))}} Camb. var. F NP F.Skolem Elim. F. clausole
31 15 Esame scritto del 17 Gennaio Risoluzione di S C ( P ) C R : C 1 = { A(z, k), A(z, f(k))} C 2 = { A(e, f(f(u)))} C 3 = { A(z, k)} C 4 = {( B(x), A(x, f(g(x))))} C 5 = { B(x)} C 6 = {B(a)} C 7 = S C ( P ) C R, C 1, C 2, σ {z/e, f(u)/k} S c R, C 3, C 4, σ {x/z, f(g(x))/k} S C R, C 5, C 6, σ {a/x} 15.4 Esercizio 4
32 32 16 Esame scritto del 5 Luglio Esame scritto del 5 Luglio Esercizio 1 R = (B C) P = (A B) D P [R/D] : (A B) (B C) F ND [R/D] : ( A B) ( B C) ( A B) ( B C) (A B) B C (( B A) ( B B)) C (( B A) B) C F NC ( C B A) ( C B) Tabella 6: (A B) (B C) int A B C (A B)(1*) C B C(2*) 1 2 v v v v v v v v F NC C = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) F ND C = (A B C) (A B C) la formula con il minor numero di letterali è: (A B) B C: 4.
33 16 Esame scritto del 5 Luglio Esercizio 2 Determinare se la formula ben formata P è derivabile. Se e derivabile si dia una dimostrazione in un sistema deduttivo. Se non è derivabile si fornisca un contromodello. Dove: P = x(a(x) xb(z)) y(a(y) B(y)) A(z) A(z) B(k) B(k) 2, A(z) A(z), 1, B(z) 2, A(z), B(k), A(k) 1, B(k), B(z) 2, A(z), B(k) 1, A(k) B(k), B(z) 2, A(z), B(k) 1, B(z) 2, A(z), zb(z) 1, B(z) 2, A(z) zb(z), A(z) 1, B(z) x(a(x) xb(z)), A(z) 1, B(z) x(a(x) xb(z)) 1, A(z) B(z) x(a(x) xb(z)) y(a(y) B(y)) x(a(x) xb(z)) y(a(y) B(y)) y(a(y) B(y)) = 1 x(a(x) xb(z)) = Esercizio 3 Si dimostri per risoluzione che: x(a(x) B(x)) x(a(x) C(x)) x(b(x) C(f(x))) x( C(x)) S = x(a(x) B(x)) x(a(x) C(x)) x(b(x) C(f(x))) P = x( C(x)) 1. Calcolo la Forma Normale Prenessa di S (a) x(a(x) B(x)) z(a(z) C(z)) h(b(h) C(f(h))) (c) x z h(a(x) B(x)) (A(z) C(z)) (B(h) C(f(h))) 2. Calcolo la Forma di Skolem di S: (a) z h(a(c) B(c)) (A(z) C(z)) (B(h) C(f(h))) 3. Eliminazione dei quanticatori
34 34 16 Esame scritto del 5 Luglio 2005 (a) (A(c) B(c)) (A(z) C(z)) (B(h) C(f(h))) 4. Calcolo la Forma Normale Congiuntiva di S (a) (A(c) B(c)) (A(z) C(z)) ( B(h) C(f(h))) (b) (A(c) B(c)) ( A(z) C(z)) ( B(h) C(f(h))) 5. Calcolo S C (a) S C = {{A(c), B(c)} ; { A(z), C(z)} ; { B(h), C(f(h))}} 6. Calcolo P C (a) P = x( C(x)) è gia in FNP, Forma di Skolem. (b) Calcolo P C P C = {{ C(x)}} Risoluzione di S C ( P ) C R : C 1 = { B(h), C(f(h))} C 2 = { C(x)} C 3 = { B(h)} C 4 = {A(c), B(c)} C 5 = {A(c)} C 6 = { A(z), C(z)} C 7 = { C(z)} C 8 = { C(x)} C 9 = S C ( P ) C R, C 1, C 2, σ {f(h)/x} S c R, C 3, C 4, σ {c/h} S C R, C 5, C 6, σ {c/z} ( P ) C R, C 7, C 8, σ {z/x}
35 17 Esame scritto del 8 Novembre Esame scritto del 8 Novembre Esercizio 1 Calcolare la sostituzione mgu (se esiste) dell'insieme E utilizzando l'algoritmo di unicazione. 1. σ = ɛ E = {A(f(y, h(z)), x), A(f(h(x), y), g(z))} 2. E σ0 > 1; D = {y, h(x)}; σ 1 = σ 0 {h(x)/y} E σ1 = {A(f(h(x), h(z)), x), A(f(h(x), h(x)), g(z))} 3. E σ1 > 1; D = {z, x}; σ 2 = σ 1 {z/x} E σ2 = {A(f(h(z), h(z)), z), A(f(h(z), h(z)), g(z))} 4. E σ2 > 1; D = {z, g(z)}; Occour Check! L'insieme E non è unicabile! Esercizio 2 Calcolare una forma di Skolem per la seguente formula ben denita: P = (( x ya(x, y)) ( z ya(y, z))) z wb(w, z) Soluzione: 1. Non è in forma normale prenessa: (a) cambio il nome delle variabili legate (( x ya(x, y)) ( k ua(u, k))) l tb(t, l) 2. applico le regole per portare a sinistra i quanticatori x y k u(a(x, y)) (A(u, k)) l tb(t, l) x y k u l t( (A(x, y)) A(u, k)) B(t, l) 3. Forma di Skolem: k l( (A(c, a)) A(f(k), k)) B(g(k, l), l)
36 36 17 Esame scritto del 8 Novembre Esercizio 4 Si dimostri per risoluzione che: 1. Forma normale prenessa x y(a(x) B(y)) 2. Forma di Skolem y(a(c) B(y)) 3. S C S C = {{A(c)}, {B(y)}} Seconda parte: 1. P y x (A(x) B(y)) 2. Forma di Skolem x (A(x) B(a)) x(a(x) yb(y)) y x(a(x) B(y)) 3. P C P C = {{ A(x), B(a)}} Risoluzione di S C ( P ) C R : S C { P } C R C 1 = {A(c)} C 2 = { A(x) B(a)} C 3 = { B(a)} C 4 = {B(y)} C 5 = S C ( P ) C R, C 1, C 2, σ {c/x} S C R, C 3, C 4, σ {a/y} 17.4 Esercizio 3 P (a, k) P (a, z), xq(x), Q(z), Q(k) P (a, x) xp (a, x), xq(x) Q(w) Q(w) P (a, y), Q(u) Q(u), Q(x) xp (a, x), Q(x) xq(x) xp (a, x) xq(x), P (a, x) xq(x) xp (a, x) xq(x) xp (a, x) xq(x) ( xp (a, x) xq(x)) ( xp (a, x) xq(x))
37 17 Esame scritto del 8 Novembre Cerco il contromodello: D = {k, z, a} ξ (k) = k ξ (z) = z I (a) = a I P (a,k) = 1 I P (a,z) = 0 I Q(z) = 0 I Q(a) = 0 I Q(k) = 0 Tutte le altre combinazioni possono valere 0 oppure 1.
38 38 17 Esame scritto del 8 Novembre Esercizio 5
39 Riferimenti bibliograci 39 Riferimenti bibliograci [1] A. Asperti, A. Ciabattoni (1997), Logica a informatica McGraw-Hill [2] Data accesso [3] Data accesso
Formalizzazione: (funz. parziale)
ESERCIZI DI FORMALIZZAZIONE: funzioni Funzioni Parziali Definizione: Siano A e B due insiemi, una funzione parziale F : A B è un insieme di coppie a,b (con a A e b B) in cui ogni elemento di A è in coppia
Dettagli( x 1 )A 2 1 x2, f1 1 (x 1 ) )
Università di Bergamo Anno accademico 20162017 Ingegneria Informatica Foglio 5 Algebra e Logica Matematica Logica del primo ordine Esercizio 5.1. Identicare le occorrenze libere e vincolate delle variabili
DettagliLogica: materiale didattico
Logica: materiale didattico M. Cialdea Mayer. Logica (dispense): http://cialdea.dia.uniroma3.it/teaching/logica/materiale/dispense-logica.pdf Logica dei Predicati (Logica per l Informatica) 01: Logica
DettagliEsercizi di Logica Matematica
Esercizi di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Esercizio 1.1. Eliminare le parentesi non necessarie nelle seguenti formule: 1. ((A B) ( C)) 2. (A (B ( C))) 3. ((A B) (C D)) 4.
DettagliSistemi di dimostrazione
Sistemi di dimostrazione Un sistema di deduzione (o dimostrazione) consiste di un insieme di assiomi (a volte vuoto) un insieme di regole di inferenza Una deduzione (o derivazione) di una formula A da
DettagliLogica proposizionale
Logica proposizionale Proposizione: frase compiuta che è sempre o vera o falsa. Connettivi Posti in ordine di precedenza: not, and, or, implica, doppia implicazione Sintassi Le proposizioni sono costituite
DettagliTeoria degli Insiemi
Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2017 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico
DettagliTeoria degli Insiemi
Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2015 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico
DettagliAlberi di sequenti per un linguaggio predicativo L 1.
Alberi di sequenti per un linguaggio predicativo L 1. Si estenda il linguaggio L 1 con un insieme C infinito numerabile di costanti individuali. Un multinsieme è un insieme con ripetizioni. Un sequente
DettagliAlgebra e Logica Matematica. Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine
Università di Bergamo Anno accademico 2006 2007 Ingegneria Informatica Foglio Algebra e Logica Matematica Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine Esercizio.. Costruire le tavole di verità per
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliLogica booleana. Bogdan Maris ( )
Logica booleana 1 Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) La struttura algebrica studiata dall'algebra booleana è finalizzata all'elaborazione di espressioni
DettagliLuca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1
Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente
DettagliIntroduzione alla logica matematica
Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A. 2004-05, 2004-10-26 p.1/29 Introduzione alla logica matematica Silvana Badaloni Paolo Bison Fondamenti di Informatica 1 A.A. 2004/05 Università di
DettagliElementi di Informatica A. A. 2016/2017
Elementi di Informatica A. A. 2016/2017 Ing. Nicola Amatucci Università degli studi di Napoli Federico II Scuola Politecnica e Delle Scienze di Base nicola.amatucci@unina.it Algebra di Boole Elementi di
DettagliINSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti.
INSIEMI DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. Esso è ben definito quando è chiaro se un oggetto appartiene o non appartiene all insieme stesso. Esempio. E possibile definire l insieme
DettagliFondamenti di Informatica 2
Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, 2009-2010 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 1 Logica proposizionale Linguaggio matematico
DettagliElementi di Algebra e Logica Determinare la tavola della verità di ciascuna delle seguenti forme proposizionali:
Elementi di Algebra e Logica 2008. 8. Logica. 1. Determinare la tavola della verità di ciascuna delle seguenti forme proposizionali: (a) p ( q r); (b) p (q r); (c) (p q) ( p r); (d) (p q) ( p r); (e) (p
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale: calcolo automatico
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale: calcolo automatico Marco Piastra Logica formale (Parte 3) - Parte 3 Calcolo automatico Forme normali ed a clausole Risoluzione e refutazione Forward chaining
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 2006-mar-05 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliLogica proposizionale
Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 Logica proposizionale Stefano Ferrari UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI TECNOLOGIE DELL INFORMAZIONE Stefano Ferrari Università degli
DettagliEsercitazioni per il corso di Logica Matematica
Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 25 marzo 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano risultare
DettagliLOGICA a.a Esempio di domande 2 prof.ssa Giovanna Corsi
LOGICA a.a. 2014-2015 Esempio di domande 2 prof.ssa Giovanna Corsi January 4, 2015 1. (a) Cosa dice il cosiddetto Assioma di Aristotele? (b) Qual è la contraria di Tutti gli uomini sono mortali? (c) Qual
DettagliElementi di teoria degli insiemi
ppendice Elementi di teoria degli insiemi.1 Introduzione Comincia qui l esposizione di alcuni concetti primitivi, molto semplici da un punto di vista intuitivo, ma a volte difficili da definire con grande
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE TAVOLE DI VERITÀ, COLETEZZA VERO-FUNZIONALE Esercizio 1. Calcola le tavole
DettagliEsercitazioni per il corso di Logica Matematica
Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 02 marzo 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano risultare
Dettagli1 Il linguaggio matematico
1 Il linguaggio matematico 1.1 La logica delle proposizioni La matematica è un linguaggio; a differenza del linguaggio letterario che utilizza una logica soggettiva, la matematica si serve di una logica
DettagliCOMPITO di LOGICA PER INFORMATICA (fila 1) 24 giugno 2005
COMPITO di LOGICA PER INFORMATICA (fila ) 24 giugno 2005 Nome: Matricola: Esercizio. Si dimostri che la seguente regola logica è valida, vale a dire, si dimostri che se la premessa è vera in ogni struttura
DettagliPROGRAMMA CONSUNTIVO
PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-2015 SCUOLA Liceo Linguistico Manzoni DOCENTE: Marina Barbàra MATERIA: Matematica e Informatica Classe 1 Sezione A OBIETTIVI: le parti sottolineate sono da considerarsi
DettagliErrata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico
Errata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico 28 gennaio 2009 Capitolo 1 Pag. 7, Definizione 6. Il complemento di un sottoinsieme A di I è il sottoinsieme A = {x I : x /
DettagliCALCOLO PROPOSIZIONALE
CALCOLO PROPOSIZIONALE UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA (da un test d ingresso) Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche
DettagliLogica Proposizionale
Intelligenza rtificiale I Logica Proposizionale Introduzione Marco Piastra Intelligenza rtificiale I -.. 28-29 29 Introduzione al corso ] lgebre di Boole Definizione Una collezione di oggetti X su cui
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017 2 Serve
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2017/2018 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve
DettagliRISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE. Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine
RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine 1. Risoluzione Definitione 1.1. Un letterale l è una variabile proposizionale (letterale
DettagliProgramma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005
Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005 27 gennaio 2005 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di
DettagliCenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni
Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2018/2019 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve
Dettagli14. Nozione di modello e verità di un predicato
14. Nozione di modello e verità di un predicato Per definire la validità di un predicato facciamo uso della nozione di modello. Intuitivamente un modello definisce in modo primitivo l interpretazione delle
Dettagli13. Nozione di modello e verità di un predicato
13. Nozione di modello e verità di un predicato Def. 0.1 (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è
DettagliOperatori di relazione
Condizioni Negli algoritmi compaiono passi decisionali che contengono una proposizione (o predicato) dal cui valore di verità dipende la sequenza dinamica Chiamiamo condizioni tali proposizioni Nei casi
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 2 Dimostrazione di Tautologie Tabelle di Verità Dimostrazioni per sostituzione Leggi del Calcolo Proposizionale A. Corradini e F.Levi Dip.to Informatica Logica per
DettagliSistemi Deduttivi. Marco Piastra. Intelligenza Artificiale I. Intelligenza Artificiale I - A.A Sistemi Deduttivi[1]
Intelligenza Artificiale I Sistemi Deduttivi Marco Piastra Intelligenza Artificiale I - A.A. 2010- Sistemi Deduttivi[1] Calcolo simbolico? Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi
DettagliAPI. Ripasso di logica. Davide Martinenghi. Politecnico di Milano. API Davide Martinenghi (1/30)
API Ripasso di logica Davide Martinenghi Politecnico di Milano API Davide Martinenghi (1/30) Logica proposizionale - sintassi L è un linguaggio della logica proposizionale L alfabeto di L è composto da
DettagliIllogica dei predicati, o del primo disordine
Illogica dei predicati, o del primo disordine November 9, 2008 1 Descrizione La logica dei predicati estende la logica proposizionale, con i seguenti concetti: Quanticatori: esistenziale ed univerale Predicati:
Dettagli9 Calcolo dei sequenti LC p
9 Calcolo dei sequenti LC p In questa sezione mostriamo un metodo più elegante, semplice e soprattutto AUTOMATICO per mostrare se una proposizione è valida o meno e soddisfacibile o meno. Tale metodo è
DettagliInsiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia
Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione
DettagliPrecedenza degli operatori
Operatori Booleani Operatori che lavorano bit a bit Anche detti bitwise operator o operatori booleani : AND: prodotto logico dati due bit restituisce il valore 1 se e solo se i bit erano entrambi posti
DettagliFondamenti di Logica Matematica presentazione del corso
2/2/28 Fondamenti di presentazione del corso DTI - Università di Milano www.dti.unimi.it/~ciriani Obiettivi Goethe: I matematici sono come i francesi: ogni volta che gli si dice qualcosa, la traducono
DettagliSintassi. Linguaggi. 4: Sintassi. Claudio Sacerdoti Coen. Universitá di Bologna 24/02/2011. Claudio Sacerdoti Coen
Linguaggi 4: Universitá di Bologna 24/02/2011 Outline 1 Wikipedia: La sintassi è la branca della linguistica che studia i diversi modi in cui le parole si uniscono tra loro per formare
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1 FOGLIO 1 Logica e connettivi logici Esercizio 0.1. Si costruiscano le tabelle di verità delle seguenti espressioni booleane; cioè, al variare dei valori di verit delle
Dettagli15. Nozione di modello e verità di un predicato
15. Nozione di modello e verità di un predicato Def. 0.1 (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è
DettagliCapitolo 1: Concetti matematici di base
Capitolo 1: Concetti matematici di base 1 Insiemi x A x é elemento dell insieme A. B A B é un sottoinsieme di A. B A B é un sottoinsieme proprio di A. A costituito da n elementi A = n é la sua cardinalitá.
DettagliMATEMATICA DI BASE 1
MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme
DettagliElementi di Logica Teoria degli insiemi
Precorso di Analisi Matematica Facoltà d'ingegneria Università del Salento Elementi di Logica Teoria degli insiemi Proff. A. Albanese E. Mangino Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi - Università
DettagliProgramma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) anno accademico 2005/2006
Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere M-Z anno accademico 2005/2006 2 febbraio 2006 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di
DettagliIntelligenza Artificiale. Breve introduzione alla logica classica (Parte 2)
Intelligenza Artificiale Breve introduzione alla logica classica (Parte 2) Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - Introduzione alla logica formale Parte. Preambolo: algebra di Boole, proposizioni, conseguenza
Dettagli15. Nozione di modello e verità di un predicato
15. Nozione di modello e verità di un predicato Def. (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è dato
DettagliIntroduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II
Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II Lucrezia Fanti Istituto Nazionale per l Analisi delle Politiche Pubbliche (INAPP) lucrezia.fanti@uniroma1.it Lucrezia Fanti Intro Matematica
DettagliRagionamento Automatico Richiami di calcolo dei predicati
Richiami di logica del primo ordine Ragionamento Automatico Richiami di calcolo dei predicati (SLL: Capitolo 7) Sintassi Semantica Lezione 2 Ragionamento Automatico Carlucci Aiello, 2004/05Lezione 2 0
DettagliLOGICA FUZZY, I LOGICA DI GÖDEL
LOICA FUZZY, I LOICA DI ÖDEL SINTASSI, SEMANTICA POLIVALENTE, COMPLETEZZA VINCENZO MARRA 1. Sintassi Si consideri nuovamente l alfabeto A = {(, ), X,, $,,,,, } impiegato per la logica proposizionale classica,
DettagliPrerequisiti Matematici
Prerequisiti Matematici Richiami di teoria degli insiemi Relazioni d ordine, d equivalenza Richiami di logica Logica proposizionale, tabelle di verità, calcolo dei predicati Importante: Principio di Induzione
Dettagli(Ciascuno dei quiz non ha necessariamente una ed una sola risposta giusta) 1. Sia f : X X una funzione totale e iniettiva e sia R X X definito da
Sapienza Università di Roma Corso di Laurea in Informatica Insegnamento di Metodi matematici per l Informatica, canale A-D Esame scritto del 26/01/2009 1. Nome e Cognome Matricola Anno di corso secondo
DettagliESERCIZI ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI Foglio I
ESERCIZI ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI Foglio I 1. Esercizio Dimostrare la definizione di Kuratowski della coppia ordinata: (a, b) = {{a}, {a, b}}. Sulla base del Principio del linguaggio questa formula
DettagliMatematica Discreta e Logica Matematica ESERCIZI
Matematica Discreta e Logica Matematica ESERCIZI Proff. F. Bottacin e C. Delizia Esercizio 1. Scrivere la tavola di verità della seguente formula ben formata e determinare se essa è una tautologia: A ((A
DettagliRagionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali
Richiami di logica e deduzione proposizionale Ragionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali (L. Carlucci Aiello & F. Pirri: SLL, Cap. 5) La logica proposizionale I tableau proposizionali
DettagliLogica: nozioni di base
Fondamenti di Informatica Sistemi di Elaborazione delle Informazioni Informatica Applicata Logica: nozioni di base Antonella Poggi Anno Accademico 2012-2013 DIPARTIMENTO DI SCIENZE DOCUMENTARIE LINGUISTICO
DettagliAlgebra di Boole. Andrea Passerini Informatica. Algebra di Boole
Andrea Passerini passerini@disi.unitn.it Informatica Variabili logiche Una variabile logica (o booleana) è una variable che può assumere solo uno di due valori: True (vero identificato con 1) False (falso
DettagliDIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini
DIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini SULLE LEGGI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Abbiamo visto le
DettagliLOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA
LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 10/11, DISPENSA N. 2 Sommario. Assiomi dell identità, modelli normali. Forma normale negativa, forma normale prenessa, forma normale di Skolem. 1. L identità Esistono
DettagliDispensa su. Funzioni Booleane. Jianyi Lin Università degli Studi di Milano
Dispensa su Funzioni Booleane Jianyi Lin Università degli Studi di Milano jianyi.lin@unimi.it 18 novembre 2011 1 Operazioni booleane In questa sezione introduciamo il concetto di funzione booleana e accenniamo
DettagliForme normali, clausole e Calcolo con regola di Risoluzione
Forme normali, clausole e Calcolo con regola di Risoluzione Esempi di equivalenze valide α β (α β ) (α β ) α ( β γ ) ( xα ) ( xα ) α α α α β α β α β (α β ) (α γ ) x α x α V α α F α 1 Forma normale congiuntiva
DettagliDISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI
FACOLTA' DI ECONOMIA UNIVERSITA DELLA CALABRIA Corso di Modelli Matematici per l Azienda a.a. 2011-2012 DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI Prof. Fabio Lamantia INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti
DettagliLe variabili logiche possono essere combinate per mezzo di operatori detti connettivi logici. I principali sono:
Variabili logiche Una variabile logica (o booleana) è una variable che può assumere solo uno di due valori: Connettivi logici True (vero identificato con 1) False (falso identificato con 0) Le variabili
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 4 Dimostrazione di Implicazioni Tautologiche Principio di sostituzione per l implicazione Occorrenze positive e negative Altre tecniche di dimostrazione Forme Normali
DettagliInformazione binaria: - rappresentazione di valori logici -
Informazione binaria: - rappresentazione di valori logici - Percorso di Preparazione agli Studi di Ingegneria Università degli Studi di Brescia Docente: Massimiliano Giacomin Tipologie di codici Nel seguito
DettagliSTRUMENTI MATEMATICI
1. TABELLA A DOPPIA ENTRATA 1 STRUMENTI MATEMATICI E' un riquadro formato da righe orizzontali e colonne verticali. I dati sulla prima colonna sono i dati in entrata di ciascuna riga; i dati sulla prima
DettagliRichiami di Matematica. 1. Insiemi, relazioni, funzioni. 2. Cardinalitá degli insiemi infiniti e numerabilitá. 3. Notazione asintotica.
Richiami di Matematica 1. Insiemi, relazioni, funzioni. 2. Cardinalitá degli insiemi infiniti e numerabilitá. 3. Notazione asintotica. Insiemi Definizioni di base Dato un insieme A: x A: elemento x appartenente
DettagliDIMOSTRAZIONI DI TAUTOLOGIE. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2010/11 Andrea Corradini, Paolo Mancarella
DIMOSTRAZIONI DI TAUTOLOGIE Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2010/11 Andrea Corradini, Paolo Mancarella DIMOSTRAZIONE DI TAUTOLOGIE Abbiamo detto che: Per dimostrare che p è una tautologia possiamo:
DettagliSIMULAZIONE I appello 11 gennaio 2018
SIMULAZIONE I appello 11 gennaio 2018 nome: cognome: - Scrivere in modo CHIARO. Elaborati illegibili non saranno considerati. - NON si contano le BRUTTE copie. - Si ricorda di ESPLICITARE l uso della regola
DettagliLAUREA IN SCIENZE NATURALI MATEMATICA CON ELEMENTI DI STATISTICA
LAUREA IN SCIENZE NATURALI MATEMATICA CON ELEMENTI DI STATISTICA I parte: 5 crediti, 40 ore di lezione frontale II parte: 4 crediti, 32 ore di lezione frontale Docente: Marianna Saba Dipartimento di Matematica
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale classica (Parte 2)
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale classica (Parte 2) Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - Introduzione alla logica formale Parte. Preambolo: algebra di Boole, proposizioni, conseguenza
DettagliLogica per la Programmazione
Logica del Primo Ordine: Motivazioni, Sintassi e Interpretazioni Logica per la Programmazione Lezione 1 Calcolo Proposizionale: sintassi e semantica Tautologie Esempi di Formalizzazione di Enunciati pag.
Dettagli1 Cenni di logica matematica
1 Cenni di logica matematica 1 1 Cenni di logica matematica Una delle discipline chiave della matematica (e non solo, visto che è fondamentale anche per comprendere la lingua parlata) è la logica matematica,
DettagliLa logica matematica. Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S
La logica matematica Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S. 2010-2011 La logica studia le proposizioni logiche e le relazioni tra esse. Una proposizione logica è
Dettagli13/10/16. FB ed EB associate. Forme canoniche e forme normali. Assumiamo di avere n variabili {x 1,,x n }:
FB ed EB associate Teorema: per ogni espressione booleana esiste un unica funzione booleana associata. Dim: tramite l induzione perfetta, costruisco la tavola di verità associata alla EB tale tavola di
Dettagli1. equivalenze e implicazioni logiche. Esercizio 1.2. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R):
. equivalenze e implicazioni logiche Esercizio.. Trovare le implicazioni che legano i seguenti enunciati (x, y R): () x < y, () x = y, () x y, () x y, () (x y) > 0. Osserviamo subito che (x y) > 0 equivale
DettagliMateriale didattico aggiuntivo - Analisi Matematica I CENNI DI LOGICA MATEMATICA. 1. Proposizioni. Valori logici. Connettivi logici. Tavole di verita.
Materiale didattico aggiuntivo - Analisi Matematica I CENNI DI LOGICA MATEMATICA 1. Proposizioni. Valori logici. Connettivi logici. Tavole di verita. Intenderemo per PROPOSIZIONE (o ENUNCIATO) una qualunque
DettagliIntelligenza Artificiale I
Intelligenza rtificiale I Logica formale Primi elementi Marco Piastra Logica formale - Primi elementi - Sottoinsiemi e operatori Sottoinsiemi U Insieme di riferimento (insieme sostegno) {,, C, } Collezione
DettagliELEMENTI DI ALGEBRA Logica, Insiemi, Funzioni, Relazioni, Ordinamenti, Reticoli LOGICA
ELEMENTI DI ALGEBRA Logica, Insiemi, Funzioni, Relazioni, Ordinamenti, Reticoli LOGICA 1. Cos è una proposizione logica? E una frase che possa essere qualificata come vera o falsa. Tali due valori vengono
DettagliCENNI SUL CONCETTO DI FUNZIONE
CENNI SUL CONCETTO DI FUNZIONE Dati due insiemi A e B, una funzione f è una relazione tra gli elementi dell insieme A e gli elementi dell insieme B tale che ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un
DettagliAppunti OFA Paola Rubbioni
Appunti OFA Paola Rubbioni Corso di Laurea Triennale in Chimica a.a. 2018/2019 1 OFA CdL in Chimica - a.a. 2018/2019 2 1 Logica matematica Serve ad inquadrare in schemi rigorosi gli strumenti ed i metodi
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale: calcolo simbolico
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale: calcolo simbolico Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - 1 Parte 2 Calcolo logico Assiomi Derivazioni Derivazioni e conseguenza logica Completezza Logica
DettagliDIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI. Corso di Logica per la Programmazione
DIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI Corso di Logica per la Programmazione SULLE LEGGI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Abbiamo visto le leggi per l'equivalenza ( ),
DettagliTeoria dei modelli. Alessandro Berarducci. 3 Marzo Dipartimento di Matematica Pisa
Teoria dei modelli Alessandro Berarducci Dipartimento di Matematica Pisa 3 Marzo 2014 Teoria dei campi algebricamente chiusi Denizione 1 La teoria del primo ordine dei campi algebricamente chiusi, ACF,
DettagliEsercitazioni per il corso di Logica Matematica
Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 15 aprile 2005 Esercizi Nota importante. In questa dispensa sono stati raccolti, senza alcun ordine particolare, alcuni esercizi che possono
Dettagli