II appello 5 luglio 2010

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1 II appello 5 luglio 2010 nome: cognome: - Scrivete in modo CHIARO. Elaborati illegibili non saranno considerati. - Non si contano le brutte copie. - Specificate le regole derivate che usate e che non sono menzionate nel foglio allegato al compito. - Ricordatevi di ESPLICITARE l uso della regola dello scambio sia a destra che a sinistra del sequente. - Ricordatevi di LABELLARE LE DERIVAZIONI CON LE REGOLE USATE (se non lo fate perdete punti!) Mostrare se i sequenti di seguito sono validi in LC e nel caso non lo siano mostrare un contromodello: solo appello 3 punti ( A B ) B A si in LC poichè si deriva cosi... no in LC poichè... 5 punti x C(x) x C(x) si in LC poichè si deriva cosi... no in LC poichè... 5 punti x ( C(x)) x C(x) si in LC poichè si deriva cosi... no in LC poichè... Formalizzare le seguenti frasi e argomentazioni e stabilire se i sequenti ottenuti sono VALIDI per la semantica della logica classica; nel caso negativo dire se sono SODDISFACIBILI, ovvero hanno un modello che li rende validi, o INSODDISFACIBILI, ovvero nessun modello li rende validi, motivando la risposta: (nel caso di non validità il punteggio viene aumentato di 2 punti) - (5 punti ) Non tutti i programmatori hanno una laurea in informatica. Esistono programmatori senza laurea in informatica o senza diploma. P(x) = x è programmatore L(x) = x ha una laurea in informatica D(x) = x ha un diploma corretto in LC sì no 1

2 - (5 punti ) I robot sono controllati da un programma. Esistono robot controllati da un programma. R(x) = x è robot C(x) = x è controllato da un programma corretto in LC sì no - (3 punti) Mario è bravo se programma bene. Mario non è bravo se non programma bene. M =Mario è bravo P = Mario programma bene corretto in LC sì no (7 punti) Formalizzare la seguente argomentazione in sequente e stabilire se è derivabile in LC = : Mario ha scritto un unico programma. Mario ha scritto il programma Tex. Latex è diverso da Tex. Mario non ha scritto il programma Latex. S(x,y)= x ha scritto il programma y l= Latex t= Tex m= Mario corretto in LC = sì no (7 punti) Formalizzare la seguente argomentazione in sequente e stabilire se è derivabile in LC = : Mario ha scritto il programma Tex. Mario ha scritto il programma Latex. Latex è diverso da Tex. Non si dà il caso che Mario abbia scritto un unico programma. 2

3 S(x,y)= x ha scritto il programma y l= Latex t= Tex m= Mario corretto in LC = sì no (5 punti) Stabilire se il sequente è valido in LC = e = u, u = t, e = s e = t u = s corretto in LC = sì no Stabilire quali delle seguenti sono VALIDE rispetto alla semantica classica e nel caso di NON validità dire se sono SODDISFACIBILI o INSODDISFACIBILI: ciascuna vale 5 punti ( + 1 punto se non valida) = x ( B(x) B(x) ) = y x ( x y ) = z y ( x = z z y ) (20 punti) Sia Tpar cla seguenti assiomi: la teoria ottenuta estendendo la logica classica con la formalizzazione dei - Se Claudia non gioca allora Giovanni non gioca. - Paolo gioca se e solo se Giovanni gioca e Claudia non gioca. - Se Paolo non gioca allora Giovanni non gioca. - Non si dà il caso che sia Giovanni che Claudia che Paolo non giochino. Si consiglia di usare: G(x)= x va in gita, c=claudia, g=giovanni, p=paolo. Dopo aver formalizzato le frase seguenti mostrarne una derivazione in T cla gi : - Qualcuno gioca. - Non si dà il caso che Giovanni giochi e Claudia non giochi. - Paolo non gioca. - Giovanni non gioca. - Claudia gioca. (30 punti) Sia T cla sal la teoria ottenuta estendendo la logica classica con la formalizzazione dei seguenti assiomi: 3

4 - Qualcuno saluta tutti. - Gianni non saluta quelli che non lo salutano. - Pippo non saluta nessuno. - Claudia saluta quelli che la salutano. suggerimento: S(x,y)= x saluta y g=gianni, p= Pippo, c= Claudia Dopo aver formalizzato le frase seguenti mostrarne una derivazione nella teoria T cla sal : - Qualcuno non saluta tutti. - Qualcuno saluta Pippo. - Pippo non saluta Gianni. - Gianni non saluta Pippo. - Qualcuno saluta Claudia. - Claudia saluta qualcuno. Dire se nell aritmetica di Peano PA questi sequenti sono validi (nel caso di non validità mostrare che la loro negazione è derivabile) 1. (5 punti) x y ( s(x) = s(y) y = x ) 2. (5 punti) 1 = 0 3. (5 punti) x y y = x y 4. (5 punti) y (y = 4 s(y) = 5 ) 5. (8 punti ) z z + 1 = 3 6. (10 punti) 3 1 = 3 7. (10 punti) y s(y + 2) = y + 3 Stabilire quali delle seguenti regole sono valide e in caso positivo anche sicure: (8 punti ciascuna) Γ Γ s = e, 1 Γ A Γ B A 2 Logica classica con uguaglianza- calcolo abbreviato LC abbr = ax-id Γ, A, Γ, A, ax- Γ,, Γ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ A, Γ B, & D Γ A&B, Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ, A, B Γ, A&B & S 4

5 Γ A, B, Γ A B, D Γ, A Γ, B S Γ, A B Γ, A Γ A, D Γ A, Γ, A S Γ, A B, Γ A B, D Γ A, Γ, B Γ, A B S Γ A(x), Γ, x A(x), A(t) D (x V L(Γ, )) Γ xa(x), Γ, x A(x) S Γ, A(x) Γ, x A(x) S (x V L(Γ, )) Γ A(t), x A(x), Γ x A(x), D = ax Σ t = t, Σ, t = s, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S f Logica classica predicativa LC = con uguaglianza questa versione contiene le regole nel libro di Sambin ax-id A A Σ, Γ, Θ, Γ, Σ Σ, Γ, Θ, Γ, Σ sc sx Γ, Γ Σ Γ, Γ, Γ Σ in sx ax- Γ Σ,, Θ,, Γ Σ,, Θ,, sc dx Γ Σ, Σ Γ Σ, Σ, Σ in dx Σ, Γ, Γ, A Σ, Γ, A cn sx Γ Σ,,, Γ Σ,, cn dx Γ A, Γ B, Γ A&B, & F Γ, A Γ, A&B & re 1 Γ, B Γ, A&B & re 2 Γ, A Γ, B Γ, A B F Γ A, Γ A B, re 1 Γ B, Γ A B, re 2 5

6 Γ, A B, Γ A B, F Γ A Γ, B Γ, A B, Γ re Γ A(x), Γ xa(x), D (x V L(Γ)) Γ, A(t) Γ, x A(x) re Γ, A(x) Γ, x A(x) S (x V L(Γ, )) Γ A(t), Γ x A(x), re = ax t = t Σ, Γ(t) (t), Σ, Γ(s), t = s (s), = S Aritmetica di Peano L aritmetica di Peano è ottenuta aggiungendo a LC + comp sx + comp dx Γ A Γ, A, Γ Γ, Γ, Γ i seguenti assiomi: comp sx Γ Σ, A, Σ A Σ Γ Σ, Σ, Σ comp dx Ax1. x s(x) 0 Ax2. x y ( s(x) = s(y) x = y ) Ax3. x x + 0 = x Ax4. x y x + s(y) = s(x + y) Ax5. x x 0 = 0 Ax6. x y x s(y) = x y + x Ax7. A(0)& x ( A(x) A(s(x)) ) x A(x) ove il numerale n si rappresenta in tal modo n s(s...(0)) }{{} n-volte 6

7 e quindi per esempio 1 s(0) 2 s( s(0) ) Regole derivate per LC con uguaglianza si ricorda che t s t = s -ax sx1 Γ, A, Γ, A, Γ -ax sx2 Γ, A, Γ, A, Γ -ax dx1 Γ Σ, A, Σ, A, Σ -ax dx2 Γ Σ, A, Σ, A, Σ Γ, A Γ, A S Γ A, Γ A, D tra Γ, t = v, v = u t = u, rf Γ, t = t, sm Γ, t = u u = t, cp Γ, P(t), t = u P(u), 1 Regole derivate in aritmetica cf Γ, t = u f(t) = f(u), In LC = + comp sx + comp dx si hanno le seguenti regole derivate: Γ t = u, Γ u = t sy-r Γ t = v, Γ v = u, Γ, Γ t = u, Γ, t = u Γ, u = t sy-l tr-r Γ P(0) Γ x ( P(x) P(s(x)) ) Γ, Γ x P(x) ind 7