Logica Matematica a Verifica Logica del Primo Ordine e Logica Modale 18 Dicembre 2014

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1 1 Logica Matematica a Verifica Logica del Primo Ordine e Logica Modale 18 Dicembre 2014 Instructions Rispondete in Italiano utilizzando una penna ad inchiostro (no matite) a meno che il testo non vi dia altre istruzioni. Scrivete in modo chiaro; risposte illeggibili non saranno considerate. Preoccupatevi di identificare in modo chiaro ogni risposta con: il numero dell esercizio corrispondente. se il caso, la parte dell esercizio corrispondente alla risposta. Depennate in modo chiaro lavoro di brutta copia e risposte che non volete siano considerate prima di consegnare il compito. Scrivete in stampatello, nello spazio riservato all interno di questo documento. È preferibile non utilizzare altro spazio. Se avete bisogno di altro spazio utilizzate gli altri fogli che vi vengono consegnati, indicando per ogni foglio il vostro nome, cognome, e numero di matricola in modo chiaro.

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3 3 Esercizio 1 (Modelling). Determinate la corrispondenza tra formule del Primo Ordine e frasi in linguaggio naturale assegnando ad ogni formula la frase corrispondente. Nota: ci sono formule che non corrispondono a nessuna frase e frasi he non corrispondono a nessuna formula. Frase (1) Non tutte le città sono città d arte (2) Tutte le città d arte sono città (3) Ogni provincia comprende almeno una città d arte (4) Firenze è una città d arte (5) Non tutte le persone amano tutte le città d arte (6) un amante dell arte è una persona che ama tutte le cittá d arte (7) Ci sono persone che amano tutte le città d arte (A) Formula x(persona(x) y(citta(y) artistica(y) ama(y, x))) (B) x(persona(x) ( y.ama(x, y) y.ama(x, y))) (C) x(amantedellarte(x) persona(x) y(ama(x, y) citta(y) artistica(y))) (D) (E) (F) x(citta(x) artistica(x) citta(x)) x y(citta(x) artistica(x) y.ama(x, y)) x(citta(x) artistica(x)) (G) x(provincia(x) y(citta(y) artistica(y) comprende(x, y))) (8) Una persona non può amare una città d arte senza amare tutte le altre. (H) xy(persona(x) citta(y) artistica(y) ama(x, y)) (9) C è una provincia con più di una città d arte (10) Tutte le città d arte sono amate da qualcuno. (11) C è una provincia con meno di tre città d arte (I) citta(f irenze) artistica(f irenze) (J) x((persona(x) y.ama(x, y)) y.ama(x, y))) (K) x(provincia(x) y, z(y z citta(y) citta(z) artistica(y) artistica(z) comprende(x, y) comprende(x, z))) (L) artistica(f irenze) citta(f irenze) Risposta. Frase (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) Formula (D) (G) (L) (H) (A) (K) (E) Note Nota bene: Nel testo consegnato agli studenti, le formule (E) e (K) contenevano un errore, che in questa versione è stato corretto. Per la valutazione si sono tenute come buone le riposte alle frasi (9) e (10) sia le formule (K) e (E) che nessuna formula.

4 4 La frase (1) può essere riscritta come esiste una città che non è una città d arte. La sua traduzione corretta sarebbe uindi x(citta(x) artistica(x) Questa formula è simile alla formula (F) ma non equivalente, in quanto utilizza il connettivo (implicazione) al posto del connettivo (congiunzione). Perciò (F) non costituisce la corretta formalizzazione di (1). La formula (F) potrebbe essere parafrasata con la frase esiste qualcosa che qualora fosse una città allora non sareebbe artistica. Il significato di questa frase non è molto chiaro. Un altro modo di vedere la formula (F) e di trasformarla nella sua forma equivalente x (citta(x) artistica(x)) che può essere parafrasata come segue: esiste qualcosa che non è una città d arte (1 ) il cui significato è abbastanza chiaro, e diverso da (1). Infatti (1) presuppone l esistenza di una città, in quanto non tutte le citta sono... mentre (1 ) non implica l esistenza di una città. Anche per la frase (6) non esiste una formula che la formalizzi. La formalizzazione di (6) infatti è x(amantedellarte(x) (persona(x) y(artistica(y) citta(y) ama(x, y)))) (C ) È da notare la somiglianza con la formula (C) dove però l implicazione va nella direzione opposta rispetto alla formula (C ). Anche la frase (8) non ha nessuna corrispondete formula. La sua corretta traduzione in FOL è x(persona(x) y(citta(y) artistica(y) ama(x, y)) y(citta(y) artistica(y) ama(x, y))) (B ) che è molto simile alla formula (B) dove però y viene qualificata come essere una città artistica. La parafrasi della (B) sarebbe ogni persona non può amare qualcosa senza amare qualunque cosa. Infine la frase (11) non ha nessuna corrispondente formula. La sua formalizzazione è: 3 3 x provincia(x) x 1 x 2 x 3 (citta(x i ) artistica(x i ) comprende(x, x i )) x i = x j i=1 Esercizio 2. Sia L un linguaggio del prim ordine che contiene i simboli di costante a, b, e c e il predicato binario R. Sia I un interpretazione di L che soddisfa la seguente formula Rispondi alle seguenti domande: x(x = a x = b x = c) i,j=1 i j

5 5 1. Quanti elementi contiene I? 2. I = xy(r(x, y) x = y) R(a, a) R(b, b) R(c, c)? 3. I = xy(r(x, y) x y) R(a, b) R(a, c) R(b, a) R(b, c) R(c, a) R(c, b)? 4. Scrivi una formula proposizionale equivalente alla formula del prim ordine sottostante in base a I y xr(x, y) 5. Scrivi una formula proposizionale che equivalente alla formula del prim ordine sottostante in base a I x yr(x, y) 6. Scrivi una formula che imponga ad I di avere esattamente 3 elementi nel dominio e tale per cui R metta in relazione questi tre elementi. Risposta. 1. I contiene al più 3 elementi. Infatti se I contenesse più di 3 elementi, la formula x = a x = b x = c non sarebbe soddisfatta quando x è assegnata ad un valore diverso da a I, b I e c I. Dato che I contiene più di 3 elementi questo valore deve esistere. Di consequenza avremo che I = x(x = a x = b x = c) È da notare che I potrebbe contenere 1 o 2 elementi, e quindi non necessariamente 3. Infatti se prendiamo l interpretazione I = { I, I) con I = {0}, e a I = b I = c I = 0, avremo che la formula x(x = a x = b x = c) (1) è soddisfatta da I. 2. La formula xy(r(x, y) x = y) R(a, a) R(b, b) R(c, c) è soddisfatta da I. La dimostrazione di questo fatto consiste nel provare che I = xy(r(x, y) x = y) R(a, a) R(b, b) R(c, c) e che I = R(a, a) R(b, b) R(c, c) xy(r(x, y) x = y). Iniziamo col mostrare che I = xy(r(x, y) x = y) R(a, a) R(b, b) R(c, c). Se I = xy(r(x, y) x = y) allora esiste un assegnamento a alle variabili x e y 1 tale che e quindi I = R(x, y) x = y[a] I = R(x, y)[a] e I = x = y[a] Il fatto che I = x(x = a x = b x = c) implica che ogni elemento di I è l interpretazione di una delle costanti a, b o c. Visto che I = x = y[a] avremo che a(x) = a(y) = a I oppure 1 Attenzione, qui utilizziamo lo stesso simbolo a per denotare l assegnamento alle variabili e la costante del linguaggio. Dovrebbe essere chiaro dal contexto quando si parla dell uno o dell altra.

6 6 a(x) = a(y) = b I oppure a(x) = a(y) = c I. Combinando questo con il fatto che I = R(x, y)[a] otteniamo che I = R(a, a) oppure I = R(b, b) oppure I = R(c, c) e quindi I = R(a, a) R(b, b) R(c, c) Dimostriamo ora che I = R(a, a) R(b, b) R(c, c) xy(r(x, y) x = y). Supponiamo che I = R(a, a) R(b, b) R(c, c). Questo significa che I = R(a, a) oppure I = R(b, b) oppure I = R(c, c) Consideriamo il caso in cui I = R(a, a). La dimostrazione degli altri casi è analoga. Se I = R(a, a) allora I = R(x, y) x = y[a] dove a(x) = a(y) = a I, e quindi I = xy(r(x, y) x = y). 3. La formula xy(r(x, y) x y) R(a, b) R(a, c) R(b, a) R(b, c) R(c, a) R(c, b) non è soddisfatta da tutti gli I che soddisfano la formula (1). Infatti, se consideriamo un interpretazione, con R I = { d, d mod d I } abbiamo che I = xy(r(x, y) x = y) e quindi I = xy(r(x, y) x y). D altra parte se vale che a I = b I, abbiamo che I = R(a, b), e quindi Si ha quindi che I = R(a, b) R(a, c) R(b, a) R(b, c) R(c, a) R(c, b) I = xy(r(x, y) x y) R(a, b) R(a, c) R(b, a) R(b, c) R(c, a) R(c, b) Questo esercizio mette in evidenza come sia possibile che due costanti diverse possono essere interpretate nello stesso elemento del dominio. E cioe la formula a b con a e b costanti diverse non è valida. 4. Una formula proposizionale equivalente alla formula y xr(x, y) quando I soddisfa (1), è la seguente: (R(a, a) R(b, a) R(c, a)) (R(a, b) R(b, b) R(c, b)) (R(a, c) R(b, c) R(c, c)) che può essere scritta nel formato più compatto come R(m, n) n {a,b,c} m {a,b.c} 5. Una formula proposizionale equivalente alla formula x yr(x, y) quando I soddisfa (1), è la seguente: (R(a, a) R(a, b) R(a, c)) (R(b, a) R(b, b) R(b, c)) (R(c, a) R(c, b) R(c, c)) che può essere scritta nel formato più compatto come R(m, n) m {a,b,c} n {a,b.c}

7 7 6. Per imporre l esistenza di esattamente 3 elementi è sufficiente aggiungere la formula x, y, z(x y y z x z) Siccome I soddisfa la formula (1) abbiamo che I 3. Per imporre che tutti gli elementi siano in relazione tra loro, posso imporre che la seguente formula sia vera: xy(x y R(x, y)) Esercizio 3 (non era presente nella provetta). Mostra che la seguente formula è valida x( P (x) P (f(x))) xp (x) x P (x) Risposta. Costruisco il tableaux per la negazione della formula e dimostro che è chiuso ( x( P (x) P (f(x))) xp (x) x P (x)) x( P (x) P (f(x))) ( xp (x) x P (x)) P (a) P (f(a)) xp (x) x P (x) P (a) P (f(a)) P (a) P (f(a)) P (a) P (f(a)) P (a) P (f(a)) P (f(a)) P (a) P (a) P (f(a))

8 8 Esercizio 4 (Minimal Substructure). Dato il linguaggio L che contiene le costanti a e b la funzione binaria f(, ) e il predicato binario P (, ). Definire la minimal substructure della seguente interpretazione I = N = {0, 1, 2, 3, 4,... } a I = 2 b I = 3 f I : N N N definita come f I (m, n) = mn. Ad esempio f I (0, 0) = 0, f I (4, 2) = 8, etc. P I = { m, n N N 2m n}. Risposta. La sottostruttura minima di I è la struttura J che ha come dominio l insieme degli elementi che costituiscono le interpretazioni dei termini ground, cioè dei termini che possono essere costruiti a partire dalle costanti tramite l applicazione delle funzioni. Nel nostro caso i termini grround possono essere costruiti applicando ad a e a b la funzione f. Quindi sono a, b, f(a, a), f(a, b), f(b, a), f(b, b), f(a, f(a, a)), f(a, f(a, b)), f(a, f(b, a)), f(a, f(b, b)), f(b, f(a, a)), f(b, f(a, b)), f(b, f(b, a)), f(b, f(b, b)), f(f(a, a), a), f(f(a, b), a), f(f(b, a), a), f(f(b, b), a), f(f(a, a), b), f(f(a, b), b), f(f(b, a), b), f(f(b, b), b), f(f(a, a), f(a, a))), f(f(a, b), f(a, b))), f(f(b, a), f(b, a))), f(f(b, b), f(b, b))), f(f(a, a), f(a, a))), f(f(a, b), f(a, b))), f(f(b, a), f(b, a))), f(f(b, b), f(b, b))),... Dato che f I è la funzione prodotto, avremo che i termini ground risulteranno dei prodotti di prodotti di... di a I = 2, e b I = 3, e quindi saranno tutti i termini che possono essere espressi come 2 n 3 m per m, n 0, e almeno uno tra n e m diverso da 0. Quindi J = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,... 2 n 3 m... } J = {2 m 3 n n, m 0, and (n 0 or m 0)} a J = a I = 2 b J = b J = 3 f J = f I J cioè la funzione f I ristretta sul dominio J. P J = P I J J, cioè P I ristretto al dominio J. Esercizio 5 (Resolution and unification). Considerate le seguenti formule del prim ordine: x((e(x) V (x)) y(s(x, y) C(y))) (2) x(e(x) D(x) y(s(x, y) D(y))) (3) x(d(x) V (x)) (4) x(d(x) C(x)) (5) 1. descrivete la scolemized prenex normal form di ogni formula; 2. dato l insieme di clausole definite qual é l universo di Herbrand

9 9 3. mostrate un applicazione di regola di risoluzione che coinvolge il predicato S(, ) Risposta. La scolemized prenex normal form per ogni formula è PSCNF( x((e(x) V (x)) y(s(x, y) C(y)))) = x(( E(x) V (x) S(x, f(x))) ( E(x) V (x) C(f(x)))) (6) PSCNF( x(e(x) D(x) y(s(x, y) D(y)))) = y(e(a) D(a) ( S(a, y) D(y))) (7) PSCNF( x(d(x) V (x))) = x( D(x) V (x)) (8) PSCNF( x(d(x) C(x))) = x( D(x) C(x)) (9) L universo di Herbrand per le clausole derivate è costituito da tutti i termini ground che si possono costruire con le costanti e le funzioni del linguaggio, incluse quelle introdotte dalla skolemizzazione. H = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))),... } Un esempio di applicazione di resolution rule con unification che coinvolge il predicato S(, ), è possibile tra la prima clausola della (6) e la terza clausola della (7). { E(x), V (x), S(x, f(x))}, { S(a, y), D(y)} σ = [x/a, y/f(a)] E(a), V (a), D(f(a))} Esercizio 6 (Modal logics). Dato lo schema di assioma (5): φ φ dimostrare che F = (5) se e solo se F è un frame euleriano. Risposta. Si vedano le prove sulle slides pdf Esercizio 7 (Modal logics). Determinare la validità delle seguenti formule: per quelle valide fornire la prova col tableaux; per quelle non valide fornire un contromodello. 1. φ φ 2. (φ ψ) (ψ φ) 3. ( φ ψ) (ψ φ) 4. φ φ 5. ( φ ψ) φ ψ 6. ( φ φ) Risposta. φ φ non è valida in quanto una qualunque interpretazione M sul frame F, W = {w}, R = che contiene un unico mondo isolato, è tale che M, w = φ e M, w = φ. E quindi M, w = φ φ. (φ ψ) (ψ φ) è valida. La dimostrazione è data dal seguente tableaux:

10 10 w = (φ ψ) (ψ φ) w = (φ ψ) w = (ψ φ) wrw w = ψ φ w = ψ w = φ w = φ ψ w = φ w = ψ ( φ ψ) (ψ φ) e valida. La dimostrazione è data dal seguente tableaux: w = ( φ ψ) (ψ φ) w = ( φ ψ) w = (ψ φ) wrw w = ψ φ w = ψ w = φ w = φ ψ w = φ w = ψ

11 11 φ φ non è valida. Consideriamo infatti il contro-modello M = F, I con F = W = {w, w, w }, R = { w, w, w, w } con I(p) = {w }. Abbiamo che: M, w = p perché wrw e M, w = p, ma M, w = p, in quanto wrw e M, w = p. ( φ ψ) φ ψ non è valida. Consideriamo infatti il contro-modello M = F, I con F = W = {w, w, w }, R = { w, w, w, w } con I(p) = {w } e I(q) = {w }. Notate che sia M, w = ( p q) sia M, w = ( p q) e w e w sono gli unici due mondi accessibili da w. Quindi in M non esiste un mondo accessibile da w che soddisfi ( p q). Ne segue che M, w = ( p q). In più si ha che M, w = p e anche M, w = q, in quanto w = p e w = q, ed entrambi i mondi sono accessibili da w. Quindi nessuno dei disgiunti della formula ( p q) p q è soddisfatto in w. Ne segue quindi che M, w = ( p q) p q. ( φ φ) è valida e questo si può mostrare con il seguente tableaux: w = ( φ φ) w = w = φ φ w = φ w = φ wrw w = w = φ w = φ