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1 Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Relazioni di equivalenza 26 novembre 2003 Marina Cazzola Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Matematica Discreta (elementi) E-O p. 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 3 Avvertenze Relazioni di equivalenza Queste fotocopie sono distribuite solo come indicazione degli argomenti svolti a lezione e NON sostituiscono in alcun modo il libro di testo: A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli Al libro di testo si rimanda per l effettivo svolgimento degli argomenti (e per la rettifica di eventuali errori contenuti in queste pagine). Dato un insieme A, una relazione su A è detta relazione di equivalenza o semplicemente equivalenza su A se è riflessiva simmetrica transitiva ovvero se a A a a a,b A a b b a a,b,c A (a b b c) (a c) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 4

2 Classi di equivalenza Partizioni Dato un insieme A in cui è definita una relazione di equivalenza Definizione Se a A è un elemento di A, allora la classe di equivalenza di a modulo è l insieme [a] = {x (x A) (x a)} Se dal contesto è chiaro di quale relazione si sta parlando, possiamo indicare la classe di equivalenza di a semplicemente con [a]. is0 Definizione Sia A un insieme non vuoto. Una partizione F di A è una famiglia F di sottoinsiemi di A tali che X F si ha X = A = X F X X,Y F si ha che X = Y X Y = Nota Una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 5 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 7 Esempi di relazioni di equivalenza Equivalenze e partizioni I seguenti sono esempi di relazioni di equivalenza In Z, la congruenza modulo n: a b (mod n) se e solo se n (a b) In Z la relazione definita ponendo a b se e solo se (a b) (b a) In N N la relazione definita ponendo (, ) (b 1,b 2 ) se e solo se +b 2 = +b 1 In Z (Z \ {0}), la relazione definita ponendo (, ) (b 1,b 2 ) se e solo se b 2 = b 1 Esercizio Mostrare che si tratta di equivalenze. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 6 is0 Proposizione Dato un insieme A e una relazione di equivalenza su A, le classi di equivalenza di costituiscono una partizione di A. Si ha infatti a A si ha [a] = questa è esattamente la traduzione della proprietà riflessiva di : dal momento che a a si ha a [a] A = a A[a] per quanto visto sopra {a} [a], e quindi A = a A {a} a A[a] Matematica Discreta (elementi) E-O p. 8

3 Equivalenze e partizioni Equivalenze e partizioni osserviamo che [a] = [b] se e solo se a b Infatti a [a], cioè, per l eguaglianza delle classi, a [b], e questo implica a b Viceversa, se a b, allora x a, per la transitività, implica x b, ovvero x [b]. Abbiamo cioè mostrato che ogni elemento di [a] è necessariamente un elemento di [b], ovvero [a] [b]. Ricordando che è simmetrica e quindi se a b allora b a, è possibile scambiare i ruoli di a e b e mostrare che [b] [a], ovvero che i due insiemi coincidono. is0 Proposizione Sia A un insieme Se è una relazione di equivalenza su A, allora l insieme quoziente A / è una partizione di A Se F è una partizione di A, allora è possibile definire una relazione di equivalenza in A ponendo a σb se e solo se X F (a X b X) In questo caso l insieme quoziente A /σ coincide con F (Esercizio) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 9 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 11 Equivalenze e partizioni Classi di resto modulo n a,b A, si ha che [a] [b] = se e solo se [a] = [b] Supponiamo che [a] [b] =, ovvero che esista un x [a] [b]. Questo significa che x a e x b, e, per le proprietà simmetrica e transitiva, a b. Per quanto visto al punto precedente [a] = [b] Viceversa, se [a] = [b] allora chiaramente [a] [b] = [a] = [b] Dal momento che a [a], si ha [a] [b] = Matematica Discreta (elementi) E-O p. 10 Definizione Fissato un intero n > 1, si consideri in Z la relazione n di congruenza modulo n. Le classi di resto modulo n sono le classi di equivalenza di n. is0 Abbiamo mostrato che la relazione di congruenza modulo n è una relazione di equivalenza, ha quindi senso parlare di classi di equivalenza Dato un a Z la classe di resto di a modulo n è il sottoinsieme di Z [a] n = {x Z : x a (mod n)} L insieme quoziente Z / n è detto insieme delle classi di resto modulo n ed è denotato con il simbolo Z n. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 12

4 Classi di resto modulo n Congruenza modulo n Come sono fatte le classi di resto modulo n? Quante sono? Quali elementi contengono? Per rispondere a queste domande possiamo anche servirci di una nuova relazione Fissato un n > 1, consideriamo in Z la seguente relazione x e y divisi per n x R n y se e solo se danno lo stesso resto Si ha che R n è una relazione su Z equivalente alla congruenza modulo n. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 13 Mostriamo allora che x,y Z (x y (mod n) x e y divisi per n ) danno lo stesso resto supponiamo che x e y divisi per n diano lo stesso resto r 0, e mostriamo che n (x y). Questo significa che possiamo scrivere q 1 Z tale che x = nq 1 +r 0 q 2 Z tale che y = nq 2 +r 0 ma allora x y = (nq 1 +r 0 ) (nq 2 +r 0 ) = n(q 1 q 2 ) + (r 0 r 0 ) = n(q 1 q 2 ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 15 Relazioni equivalenti Congruenza modulo n Dato un insieme A e due relazioni R 1 e R 2 su A, diremo che R 1 è equivalente a R 2 se R 1 e R 2 coincidono come sottoinsiemi di A A. In particolare, R 1 è equivalente a R 2 se e solo se x,y A ( ) (x,y) R 1 (x,y) R 2 in altre parole, se e solo se x,y A ( x R 1 y x R 2 y ) Se R 1 è definita tramite il predicato P 1 (x,y) e R 2 è definita tramite il predicato P 2 (x,y), allora le due relazioni sono equivalenti se e soltanto se x,y A ( P 1 (x,y) P 2 (x,y) ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 14 Viceversa, supponiamo che n (x y) e mostriamo che x e y divisi per n danno lo stesso resto. Possiamo scrivere q 1,r 1 Z tale che x = nq 1 +r 1 [0 r 1 < n] q 2,r 2 Z tale che y = nq 2 +r 2 [0 r 2 < n] occorre mostrare che r 1 = r 2 Scriviamo x y = (nq 1 +r 1 ) (nq 2 +r 2 ) = n(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ) Dal momento che n (x y) si ha ( ) n n(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 16

5 Congruenza modulo n Risultati compitino Dal momento che ( ) n n(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ) ne consegue n (r 1 r 2 ) A questo punto occorre ricordare le condizioni sui resti per dedurre che ovvero che 0 r 1 < n 0 r 2 < n r 1 r 2 = 0 Statistiche sul compito finale Totale studenti: 144 Compiti corretti: 144 Voto massimo: 30 Voto minimo:1 Voto medio: 16 A: 19 (13.2%) B: 39 (27.1%) C: 39 (27.1%) D: 47 (32.6%) r 1 = r 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 17 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 19 Risultati compitino Classi di resto modulo n ancora un po di pazienza... i risultati saranno esposti (per tutti e tre i corsi) sul sito della segreteria (cui dovete fare riferimento per ogni informazione dalla segreteria : date e risultati degli esami,... ) Statistiche sulla scelta multipla Totale studenti: 144 Compiti corretti: 144 Voto massimo: 10 Voto minimo:-2 Voto medio: 6.5 A: 57 (39.0%) B: 42 (28.8%) C: 30 (20.5%) D: 15 (10.3%) is0 Avendo dimostrato che x e y divisi per n x,y Z (x y (mod n) danno lo stesso resto possiamo dedurre che, qualunque sia a Z { } [a] n = x Z : x e a divisi per n danno lo stesso resto Resta allora da rispondere alla seguente domanda per un assegnato n, quanti e quali sono i possibili resti della divisione per n? ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 18 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 20

6 Resti della divisione per n Esempi Proposizione Siano a,b Z con b = 0, allora esistono e sono univocamente determinati due interi q e r tali che a = b q+r 0 r < b ci permette di affermare che l insieme dei possibili resti della divisione per n è contenuto nell insieme {r Z : 0 r < n} Viceversa è immediato verificare che un qualunque intero x che soddisfa le condizioni 0 x < n è un possibile resto. Per un tale x si ha infatti x = 0 n+x 0 x < n Matematica Discreta (elementi) E-O p. 21 Sia n = 4, allora Infatti Z 4 = {[0] 4, [1] 4, [2] 4, [3] 4 } Z 4 = {[218] 4, [ 15] 4, [412] 4, [7] 4 } [218] 4 = [2] 4 se e solo se (mod 4) [ 15] 4 = [1] 4 se e solo se 15 1 (mod 4) [412] 4 = [0] 4 se e solo se (mod 4) [7] 4 = [3] 4 se e solo se 7 3 (mod 4) Gli interi 0, 1, 2 e 3 costituiscono un sistema completo di rappresentanti per gli elementi di Z 4. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 23 Classi di resto modulo n Dato un a Z la classe di resto di a modulo n è il sottoinsieme di Z { } [a] n = x Z : x e a divisi per n danno lo stesso resto L insieme quoziente Z n ha come oggetti le classi di resto modulo n, cioè Z n = {[a] n : a Z} is0 Strutture algebriche Per quanto visto si può scrivere o anche Z n = {[a] n : (a Z) (0 a < n)} Z n = {[0] n, [1] n, [2] n,...,[n 1] n } Matematica Discreta (elementi) E-O p. 22 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 24

7 Leggi di composizione Strutture algebriche Definizione Dato un insieme A, una legge di composizione binaria su A (ovvero una operazione binaria in A) è una applicazione : A A A Se a e b sono due elementi di A, allora associa alla coppia (a,b) uno e un solo elemento di A, che chiamiamo prodotto di a e b (a,b) a b o secondo uno schema già visto a b a b Matematica Discreta (elementi) E-O p. 25 is0 Definizione Una struttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni. L algebra è lo studio delle proprietà delle strutture algebriche. Esempi (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) (N, +, ), (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 27 Esempi Esempi è una operazione nell insieme delle proposizioni analogamente è una operazione nell insieme delle proposizioni è una operazione tra gli insiemi, analogamente + è una operazione tra i numeri (naturali, interi, reali,... ) non è una operazione tra i numeri naturali, ma è una operazione nell insieme dei numeri interi (relativi) il prodotto è una operazione tra i numeri (naturali, interi, reali,... ) la divisione non è una operazione tra i numeri interi is0 Dato un qualsiasi n > 1, l insieme Z n può essere dotato di una operazione + di somma e di una operazione di prodotto. Ad esempio in Z 5 = {[0] 5, [1] 5, [2] 5, [3] 5, [4] 5 }, possiamo definire [1] 5 + [3] 5 = [4] 5 analogamente ( 2 +4 = 1 ) [2] 5 + [4] 5 = [1] 5 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 26 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 28

8 Esempi Somma in Z n Osserviamo che la scrittura [2] 5 + [4] 5 = [1] 5 avrebbe potuto essere invece [517] 5 + [424] 5 = [941] 5 Utilizzando due scritture diverse, abbiamo ottenuto due risultati apparentemente diversi. Questo significherebbe che + non rispetta la definizione di applicazione. Questi due risultati sono in contraddizione?? Dimostrazione Si ha che [ ] n = [ ] n se e solo se (mod n) ovvero se e solo se Analogamente k Z ( = +kn) [b 1 ] n = [b 2 ] n se e solo se h Z (b 1 = b 2 +hn) Ne consegue che +b 1 = ( +kn) + (b 2 +hn) = ( +b 2 ) + (k +h)n ovvero [ +b 1 ] n = [ +b 2 ] n Matematica Discreta (elementi) E-O p. 31 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 29 Somma in Z n Somma in Z n Proposizione Qualunque sia n > 1, la somma in Z n definita ponendo è ben definita. [a] n + [b] n = [a +b] n In altre parole se cambiamo i rappresentanti delle classi, il risultato della somma non cambia: allora se [ ] n = [ ] n e se [b 1 ] n = [b 2 ] n [ +b 1 ] n = [ +b 2 ] n Matematica Discreta (elementi) E-O p. 30 L insieme Z n dotato dell operazione di somma [a] n + [b] n = [a +b] n è una struttura algebrica che denotiamo con (Z n, +). In maniera analoga si mostra che in Z n è definibile un prodotto [a] n [b] n = [a b] n ed è così definibile la struttura algebrica (Z n, )... come pure la struttura algebrica (Z n, +, ). Esercizio In maniera analoga a quanto fatto per la somma, mostrare che il prodotto in Z n è ben definito. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 32

9 Proprietà delle strutture algebriche Semigruppi Dato un insieme A dotato di una operazione : A A A l operazione è associativa se a,b,c A a (b c) = (a b) c è commutativa se ammette unità in A se a,b A a b = b a u A a A a u = u a = a se si ha u, diremo che a A è invertibile in A se b A a b = b a = u Matematica Discreta (elementi) E-O p. 33 Definizione La struttura algebrica (A, ) dotata di una operazione è detta semigruppo se è associativa. is0 Esempi - le usuali somma e prodotto di numeri sono associative (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ) sono semigruppi (Z n, +), (Z n, ) sono semigruppi unione e intersezione di insiemi sono associative se X è un qualsiasi insieme, allora (P(X), ) e (P(X), ) sono semigruppi (N, ), (Z, )? Matematica Discreta (elementi) E-O p. 35 Proprietà delle strutture algebriche Semigruppi Osserviamo che is03/ u è detta unità, o identità di u è spesso indicata con il simbolo 1 (se è un prodotto ), o con il simbolo 0 (se è una somma ) dato un elemento a invertibile, l elemento b tale che a b = b a = u è detto inverso di a. L algebra studia quelle proprietà delle strutture algebriche che possono essere dedotte dalle proprietà descritte. Ad esempio il seguente è un risultato algebrico data una operazione associativa, allora l unità di (se esiste) è unica o l unità di è invertibile rispetto a Matematica Discreta (elementi) E-O p. 34 is0 (N, ), (Z, )? non è una operazione in N è una operazione in Z, ma non è associativa È sufficiente osservare che (5 3) 4 = 5 (3 4) Un semigruppo (A, ) è detto commutativo (o abeliano) se è commutativa. Tutti gli esempi di semigruppo visti fin qui sono commutativi. Vedremo ora un esempio non commutativo. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 36

10 Applicazioni Monoidi Sia A un insieme e sia A A l insieme di tutte le applicazioni di A in A. La composizione di applicazioni è una operazione in A A. Si può dimostrare che è associativa (A A, ) è un semigruppo non abeliano Ad esempio A A A ρ σ Un semigruppo dotato di unità è detto monoide In altre parole Definizione La struttura algebrica (A, ) dotata di una operazione è detta monoide se è una operazione in A è associativa u A a A Esempi a u = u a = a (N, +) è un monoide con unità il numero 0 analogamente lo sono (Z, +), (Q, +), (R, +) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 37 (Z n, +) è un monoide con unità [0] nmatematica Discreta (elementi) E-O p. 39 Composizione di applicazioni Esempi A A A A σ ρ σ A A ρ ρ σ A is0 (N, ) è un monoide con unità il numero 1 analogamente lo sono (Z, ), (Q, ), (R, ) (Z n, ) è un monoide con unità [1] n (P(X), ) è un monoide con unità (P(X), ) è un monoide con unità X (A A, ) è un monoide si tratta di determinare una applicazione id : A A tale che per ogni σ A A si abbia id σ = σ id = σ Matematica Discreta (elementi) E-O p. 38 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 40

11 Applicazione identica Gruppi A A A σ L applicazione identica id : A A definita ponendo per ogni a A id : a a funge da unità per il monomio (A A, ) id Matematica Discreta (elementi) E-O p. 41 Un monoide in cui ogni elemento è invertibile è detto gruppo In altre parole Definizione La struttura algebrica (A, ) dotata di una operazione è detta gruppo se è una operazione in A è associativa u A a A a A b A a u = u a = a a b = b a = u Matematica Discreta (elementi) E-O p. 43 Monoide delle parole Esercizi Sia A un insieme. Una parola nell alfabeto A è una qualunque sequenza...a n di n elementi di A. La parola vuota è l unica parola di lunghezza zero Nell insieme delle parole è definibile una operazione. Se w 1 = a n e w 2 = b 1 b 2...b m allora si pone is0 Determinare gli elementi invertibili negli esempi di monoidi visti Stabilire quali di quei monoidi sono anche gruppi w 1 w 2 =...a n b 1 b 2...b m L insieme delle parole nell alfabeto A rispetto all operazione ha struttura di monoide. La parola vuota funge da unità per. Tale monoide è detto monoide delle parole nell alfabeto A o monoide libero su A. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 42 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 44