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1 Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Elementi di logica formale 8 ottobre 2003 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Matematica Discreta (elementi) E-O p. 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 3 Avvertenze Operatore di negazione Queste fotocopie sono distribuite solo come indicazione degli argomenti svolti a lezione e NON sostituiscono in alcun modo il libro di testo: A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli Definizione Si dice operatore di negazione l operatore, indicato con il simbolo, che, anteposto alla proposizione p, ne inverte i valori di verità: se p è vera, allora p è falsa; analogamente se p è falsa, allora p è vera. Al libro di testo si rimanda per l effettivo svolgimento degli argomenti (e per la rettifica di eventuali errori contenuti in queste pagine). p p V F F V Matematica Discreta (elementi) E-O p. 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 4

2 Congiunzione Definizione La proposizione composta p q (che scriviamo anche come p e q oppure come p et q ) è vera se e soltanto se sono vere entrambe le proposizioni componenti p e q. p q p q F V F V F F F F F Consideriamo le due proposizioni (p q) qual è la scrittura giusta? Analizziamo le tavole di verità ( p) q p q (p q) ( p) q Matematica Discreta (elementi) E-O p. 5 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 7 Abbiamo visto vari esempi, in particolare i valori di verità di p e di ( p) coincidono, qualunque sia il valore di verità di p i valori di verità di (p q) r e di p (q r) coincidono, qualunque siano i valori di verità di p, q e r Occorre ancora una volta considerare alcune proposizioni intermedie p q p q p (p q) ( p) q F F F F V F V F F F V F F F F V V F Osserviamo quindi che (p q) e ( p) q sono due proposizioni diverse. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 6 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 8

3 Differenze dal linguaggio comune Operatori e connettivi La congiunzione e è utilizzata anche nel linguaggio comune. Si considerino ad esempio le due proposizioni Gianni investì un pedone e accelerò Gianni accelerò e investì un pedone Nel linguaggio comune le due proposizioni sono differenti: si attribuisce infatti alla congiunzione e una connotazione temporale. Fino a qui abbiamo introdotto l operatore il connettivo Effettivamente e hanno un diverso comportamento: prende come input una proposizione e produce una nuova proposizione; prende come input due proposizioni e produce una nuova proposizione. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 9 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 11 Differenze dal linguaggio comune Operazioni n-arie Secondo la nostra definizione, a differenza del linguaggio comune, il connettivo e non ha alcuna valenza temporale. Osserviamo infatti la tavola di verità p q p q q p V F V F F V F F F F F F F Possiamo evidenziare il diverso comportamento con i due schemi Impareremo ad usare il termine operazione: è una operazione unaria è una operazione binaria Esercizio: confrontare con l utilizzo di Ò in programmazione. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 10 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 12

4 Disgiunzione Definizione La proposizione composta p q (che scriviamo anche come p o q oppure come p vel q, oppure come p or q ) è vera se e soltanto se è vera almeno una delle proposizioni componenti p e q. In altre parole la proposizione composta p q è falsa se e soltanto se sono false entrambe le proposizioni componenti p e q. Ad esempio la proposizione 4 +5 = 9 o 7 +3 = 8 che possiamo anche scrivere (4 +5 = 9) (7 +3 = 8) è una proposizione vera se e soltanto se è vera almeno una delle due proposizioni 4 +5 = 9 e 7 +3 = 8. p q p q F V V V F V F F F Matematica Discreta (elementi) E-O p. 13 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 15 Disgiunzione Differenze dal linguaggio comune Possiamo sintetizzare questa definizione in una tavola di verità p q p q F V V V F V F F F Nel linguaggio comune alla congiunzione o è spesso dato un significato diverso o il motorino, o i soldi per le vacanze! in altre parole con il significato o questo, o quello, ma non entrambe le cose Questo significato corrisponde ad un altro connettivo: xor. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 14 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 16

5 o esclusivo Implicazione materiale Si indica con p q la proposizione che è vera quando una sola tra le proposizioni p e q è vera, ma non entrambe. A corrisponde la tavola di verità p q p q V V F F V V V F V F F F Definizione La proposizione composta p q (che leggiamo se p allora q ) è falsa se e soltanto se la proposizione p è vera e (contemporaneamente) la proposizione q è falsa. Possiamo sintetizzare questa definizione in una tavola di verità p q p q F V V V F F F F V Matematica Discreta (elementi) E-O p. 17 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 19 Implicazione materiale Implicazione materiale Molti enunciati di risultati matematici utilizzano la costruzione se... allora... Questa stessa costruzione è utilizzata nel linguaggio comune con un nesso di causalità. L espressione se A allora B intuitivamente ci fa pensare che il verificarsi di B è reso immediatamente possibile dal previo verificarsi di A. In questa fase vogliamo analizzare la costruzione semantica, senza entrare nell analisi dei significati. La proposizione p q si legge in molti modi p implica q se p allora q p solo se q p è sufficiente per q q se p q ogniqualvolta p q è necessaria per p Matematica Discreta (elementi) E-O p. 18 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 20

6 Precedenze (Parigi è in Francia) (4 +4 = 8) (Parigi è in Belgio) (4 +4 = 8) (Parigi è in Germania) (4 +4 = 6) (Parigi è in Francia) (4 +4 = 6) Quando si scrivono proposizioni complesse, utilizzando le varie costruzioni introdotte fin qui, si cerca di ridurre il più possibile la scrittura (omettendo i simboli inutili ). Occorre allora stabilire a priori alcune precedenze, esattamente come si fa per le operazioni tra i numeri corrisponde ad una (e una sola) delle due scritture 2 (3 +5) (2 3) +5 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 21 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 23 Inversa e contronominale Precedenze Accanto all implicazione p q possiamo considerarne altre due correlate q p, detta inversa di p q ( q) ( p), detta contronominale di p q Esattamente come si è stabilito che ha la precedenza su +, si stabilisce che le operazioni logiche siano eseguite in quest ordine l operatore di negazione i connettivi e l implicazione materiale (per tutti i casi dubbi è necessario scrivere esplicitamente le parentesi). La contronominale ( q) ( p) si può quindi scrivere semplicemente q p. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 22 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 24

7 Doppia implicazione Esercizi Definizione La proposizione composta p q è vera se e soltanto se le proposizioni componenti p e q hanno lo stesso valore di verità. Possiamo sintetizzare questa definizione in una tavola di verità p q p q F V F V F F F F V Scrivere le tavole di verità delle seguenti proposizioni (p q) r p (q r) (p q) p q (p q) ( ( q) ( p) ) (p q) (q p) (p q) ( p q) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 25 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 27 Doppia implicazione Equivalenza di proposizioni La proposizione p q si legge in vari modi p se e solo se q p è necessaria e sufficiente per q se p allora q, e viceversa p è equivalente a q Il ragionamento matematico consiste nell operare su proposizioni, sostituendo proposizioni date con proposizioni con lo stesso valore di verità. Per costruire una dimostrazione matematica sono perciò necessarie tecniche che ci permettano, data una proposizione composta (e complicata) di costruirne una più semplice con lo stesso valore di verità. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 26 Definizione Una proposizione composta P che assume valore di verità V qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti (p, q, r,... ) è detta tautologia. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 28

8 Equivalenza di proposizioni Equivalenze logiche fondamentali Definizione Le proposizioni p e q sono equivalenti se p q è una tautologia. Scriveremo in tal caso p q. (p q) (q p) ( p) p p (q r) (p q) r p V V e p F F [dominanza] p p p e ( p) p p q q p e p p p [idempotenza] [doppia negazione] p q q p [commutatività] (p q) r p (q r) e (p q) r p (q r) [associatività] p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) e [distributività] Matematica Discreta (elementi) E-O p. 29 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 31 Equivalenze logiche fondamentali Equivalenze logiche fondamentali Ci sono alcune equivalenze che risultano più utili di altre: [In quanto segue usiamo la convenzione di indicare con la lettera V una qualsiasi proposizione vera e con F una qualsiasi proposizione falsa] (p p) V (p p) F (p q) ( q p) (p q) ( p q) p V p e p F p [cancellazione] Matematica Discreta (elementi) E-O p. 30 (p q) p q e (p q) p q [De Morgan] [p (p q)] p e [p (p q)] p [assorbimento] Tutte queste equivalenze possono essere verificate costruendo le rispettive tavole di verità. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 32

9 Catene di equivalenze Catene di equivalenze Tramite le equivalenze logiche fondamentali possiamo procedere alla dimostrazione di equivalenza di proposizioni senza doverne costruire ogni volta la tavola di verità. Esercizio Mostrare tramite una catena di equivalenze logiche che la proposizione (p ( p q)) è equivalente alla proposizione p q. (p ( p q)) p ( p q) [De Morgan] ( ) p ( p q) p ( p) q Matematica Discreta (elementi) E-O p. 33 [De Morgan] (p ( p q)) p ( p q) De Morgan p [ ( p) q] De Morgan p (p q) doppia neg. ( p p) ( p q) distributività F ( p q) p p F ( p q) F commutatività p q cancellazione Matematica Discreta (elementi) E-O p. 35 Catene di equivalenze Credits p ( ) ( p) q p (p q) [doppia negazione] p (p q) ( p p) ( p q) [distributività] ( p p) ( p q) F ( p q) F ( p q) ( p q) F [commutatività] ( p q) F p q [cancellazione] Testi di riferimento per questa parte: il già citato A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli (capitolo 5); K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill (capitoli 1 e 3); Abbiamo così scritto una successione di proposizioni equivalenti che possiamo schematizzare nel modo Matematica Discreta (elementi) E-O p. 34 seguente: Matematica Discreta (elementi) E-O p. 36