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1 Relazioni su un insieme Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica 19 novembre 2003 Marina Cazzola Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Dato un insieme A, ricordiamo che una relazione su A (o in A ) è una corrispondenza di A in A, in altre parole Definizione Una relazione R su A è un qualsiasi sottoinsieme di A A. Esempio Dato l insieme A = {1,2,3,4,5,6}, le seguenti sono relazioni su A: R 1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}; R 2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}; R 3 = {(1,6), (2,1), (3,4), (4,4), (5,1), (5,2), (6,3)}. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 3 Avvertenze Relazioni su un insieme Queste fotocopie sono distribuite solo come indicazione degli argomenti svolti a lezione e NON sostituiscono in alcun modo il libro di testo: A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli Al libro di testo si rimanda per l effettivo svolgimento degli argomenti (e per la rettifica di eventuali errori contenuti in queste pagine). Dato un insieme A e una relazione R su A, se per due elementi a,b A la coppia (a,b) R allora diremo che a è in relazione con b e scriveremo arb. Tornando all esempio R 1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)} possiamo dire che 1 è in relazione con 1 1R non è in relazione con 2 1 R 1 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 4

2 Relazioni su un insieme Relazioni e predicati Relativamente al terzo esempio R 3 = {(1,6), (2,1), (3,4), (4,4), (5,1), (5,2), (6,3)} osserviamo che (2,1) R 3 ovvero 2 è in relazione con 1 ma (1,2) R 3 cioè 1 non è in relazione con 2. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 5 Le relazioni, essendo insiemi, possono essere definite tramite predicati Dato un predicato P(x,y) di due variabili (che abbia senso in A), è possibile definire una relazione in A R = {(x,y) P(x,y)} A A Assegnati due elementi di A, diciamo x e y, possiamo dire che x è in relazione con y se e solo se P(x,y) è vera e scrivere semplicemente x Ry se e solo se P(x,y) dimenticandoci di scrivere esplicitamente il sottoinsieme R. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 7 Sia A = N. Consideriamo Si ha δ = {(x,y) (x,y N) (y = 2x)} (2,4) δ, ovvero 2 δ4 (1,7) δ, ovvero 1 δ7 in generale la coppia (x,y) δ se e solo se la seconda componente y è il doppio della prima componente x Quest ultima osservazione ci permette di definire δ in maniera alternativa ponendo x δy se e solo se y = 2x Matematica Discreta (elementi) E-O p. 6 Si consideri l insieme N e la relazione definita ponendo x y se e solo se t N (x +t = y) allora 2 3 t = t = t Sia X un qualunque insieme, allora in P(X) possiamo definire la relazione A B se e solo se A è un sottoinsieme di B [notazione che abbiamo già utilizzato]. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 8

3 Esempi di relazione Nell insieme della popolazione di una città è possibile considerare le seguenti relazioni x µy se e solo se x è marito di y x φy se e solo se x è fratello di y x σy se e solo se x è sorella di y Dati A = {1,2,3,4,5,6} e R 1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)} Matematica Discreta (elementi) E-O p. 9 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 11 Diagramma di una relazione Se l insieme A è un insieme finito, è possibile rappresentare graficamente una relazione nel modo seguente disegniamo il diagramma di Eulero-Venn dell insieme A per ogni coppia di elementi x e y di A, disegniamo una freccia da x a y se e soltanto se x è in relazione con y nel caso in cui x sia in relazione con se stesso, disegniamo una freccia che parte e torna su x (tale freccia è detta cappio) Dati invece A = {1,2,3,4,5,6} e R 2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Matematica Discreta (elementi) E-O p. 10 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 12

4 Esempi Infine dati A = {1,2,3,4,5,6} e R 3 = {(1,6), (2,1), (3,4), (4,4), (5,1), (5,2), (6,3)} Matematica Discreta (elementi) E-O p. 13 Dato A = {1,2,3,4,5,6} R 1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)} R 1 non è riflessiva, in quanto 6 A, ma (6,6) R 1 R 1 è simmetrica R 1 non è antisimmetrica, in quanto 4 R 1 5 e 5 R 1 4, con 4 = 5 R 1 è transitiva Si noti che queste proprietà sono proprietà della relazione, non hanno senso affermazioni del tipo Matematica Discreta (elementi) E-O p. 15 R 1 è riflessiva per a = 1 Proprietà delle relazioni R 1 è simmetrica? Dato un insieme A e una relazione R su A, diremo che R è riflessiva se R è simmetrica se R è antisimmetrica se a A a Ra a,b A a Rb b Ra a,b A (a Rb bra) (a = b) R è transitiva se a,b,c A (a Rb brc) (a Rc) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 14 Avendo a che fare con un quantificatore, per mostrare che R 1 è simmetrica dobbiamo fare una verifica per ogni scelta possibile di a e b in A 1 R R 1 1 V V 1 R R 1 1 F F 1 R R 1 1 F F... 4 R R 1 4 V V... Esercizio Quante verifiche dobbiamo fare se A è un insieme con n elementi? In modo del tutto analogo (quante verifiche?) si mostra che R 1 è transitiva. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 16

5 Esempi Dato A = {1,2,3,4,5,6} R 2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} R 2 è riflessiva R 2 è simmetrica R 2 è antisimmetrica R 2 è transitiva Si noti che antisimmetrica non significa non simmetrica. Infatti la negazione di è a,b A a Rb b Ra Dato A = {1,2,3,4,5,6} R 3 = {(1,6), (2,1), (3,4), (4,4), (5,1), (5,2), (6,3)} R 3 non è riflessiva, in quanto ad esempio (1,1) R 3 R 3 non è simmetrica, in quanto ad esempio (1,6) R 3 ma (6,1) R 3 R 3 è antisimmetrica R 3 non è transitiva, in quanto ad esempio (2,1) R 3 e (1,6) R 3, ma (2,6) R 3 a b (a Rb b Ra) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 17 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 19 Antisimmetrica e non simmetrica Proprietà delle relazioni e frecce La R 2 è un esempio di relazione che è sia simmetrica che antisimmetrica Questo è invece il diagramma di una relazione che non è né simmetrica né antisimmetrica (e non è neppure riflessiva, né transitiva). Matematica Discreta (elementi) E-O p. 18 Quando A è un insieme finito, ovvero quando è possibile disegnare il diagramma della relazione, le proprietà delle relazioni su A si possono tradurre nel linguaggio delle frecce. Più precisamente R è riflessiva, se su ogni elemento di A è disegnato un cappio R è simmetrica, se ogni coppia di elementi a e b di A è collegata da una doppia freccia a nessuna freccia!) b (o da R è antisimmetrica, se non compare mai la doppia freccia Matematica Discreta (elementi) E-O p. 20

6 Proprietà delle relazioni e frecce R è transitiva, se per ogni terna di elementi a, b e c di A, ogni volta che ci sono due frecce consecutive a b c allora deve esserci anche la freccia che congiunge direttamente a con c a b c è transitiva, in quanto se t 1 tale che x +t 1 = y e t 2 tale che y +t 2 = z, allora z = y +t 2 = (x +t 1 ) +t 2 = x + (t 1 +t 2 ) ovvero x z. Osserviamo che nella definizione non è richiesto a = c, le due frecce consecutive potrebbero essere a = c b e quindi perché la relazione sia transitiva è necessario che su a = c sia disegnato un cappio. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 21 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 23 E senza disegno? Equivalenze e ordinamenti Consideriamo in N la relazione x y se e solo se t N (x +t = y) è riflessiva, in quanto 0 N e, qualunque sia x N si ha x +0 = x, ovvero x x non è simmetrica, in quanto 2 3, ma 3 2 è antisimmetrica, in quanto se t 1 tale che x +t 1 = y e t 2 tale che y +t 2 = x, allora possiamo scrivere da cui y = x +t 1 = (y +t 2 ) +t 1 t 1 +t 2 = 0 Dato un insieme A e una relazione ρ su A Definizione ρ è una relazione di equivalenza se è riflessiva simmetrica transitiva Definizione ρ è una relazione di ordine se è riflessiva antisimmetrica transitiva ovvero t 1 = t 2 = 0, ovvero x = y. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 22 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 24

7 Equivalenze Congruenza modulo n Dato un qualsiasi insieme A la più ovvia relazione di equivalenza definibile su A è l eguaglianza a ρb se e solo se a = b ρ è una relazione di equivalenza in quanto ρ è riflessiva, qualunque sia a A si ha a = a ρ è simmetrica, se a = b (cioè se a e b sono lo stesso elemento), allora b = a ρ è transitiva, se a = b e b = c, allora tutti e tre gli elementi sono uguali, in particolare a = c In realtà le relazioni di equivalenza sono proprio una generalizzazione della relazione di eguaglianza =. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 25 Proposizione Qualunque sia l intero n fissato, la congruenza modulo n è una relazione di equivalenza in Z. Dimostrazione la congruenza modulo n è riflessiva, infatti qualunque sia z Z si ha che z = z +0n, ovvero z z (mod n) la congruenza modulo n è simmetrica, infatti se z w (mod n), allora k Z tale che z = w +kn. Ma questo significa che w = z + ( k)n, cioè w z (mod n) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 27 Congruenza modulo n Congruenza modulo n Fissiamo ora un intero n > 1. Nell insieme Z possiamo definire la seguente relazione a b (mod n) se e solo se n a b in altre parole a b (mod n) se e solo se k Z (a b = k n) o ancora a b (mod n) se e solo se k Z (a = b +kn) Definizione La relazione a b (mod n) è detta congruenza modulo n. Se a è in relazione con b, diciamo che a è congruo a b modulo n la congruenza modulo n è transitiva. Infatti supponiamo che x y (mod n), cioè k 1 tale che x = y +k 1 n y z (mod n), cioè k 2 tale che y = z +k 2 n possiamo dedurre che x = y +k 1 n = (z +k 2 n) +k 1 n = z + (k 2 n +k 1 n) da cui ovvero x = z + (k 2 +k 1 )n x z (mod n) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 26 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 28

8 Equivalenze e partizioni Insieme quoziente Definizione Sia A un insieme non vuoto. Una partizione F di A è una famiglia F di sottoinsiemi di A tali che X F si ha X = A = X F X X,Y F si ha che X = Y X Y = Osserviamo che se F è una partizione su A, allora ogni elemento di A appartiene ad uno ed un solo X di F, infatti dato a 0 A essendo A = X F X, si ha X in F con a 0 X se a 0 X Y, allora X = Y Dato un insieme A in cui è definita una relazione di equivalenza ρ Definizione L insieme quoziente di A modulo ρ è l insieme i cui oggetti sono le classi di equivalenza di ρ. Denotando l insieme quoziente con il simbolo si ha allora A /ρ A /ρ = { [a] ρ a A } Matematica Discreta (elementi) E-O p. 29 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 31 Classi di equivalenza Esempi Dato un insieme A in cui è definita una relazione di equivalenza ρ Definizione Se a A è un elemento di A, allora la classe di equivalenza di a modulo ρ è l insieme [a] ρ = {x x A x ρa} Se dal contesto è chiaro di quale relazione si sta parlando, possiamo indicare la classe di equivalenza di a semplicemente con [a]. Sia A un insieme, si consideri su A la relazione di eguaglianza a ρb se e solo se a = b qualunque sia a A si ha A /ρ = {{a} a A} [a] ρ = {a} a {a} è una corrispondenza biunivoca di A in A /ρ, in altre parole A e A /ρ si assomigliano molto Nota Una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 30 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 32