Fondamenti teorici e programmazione

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Bartolomeo Giannini
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1 Fondamenti teorici e programmazione FTP(A) - modb Lezione 6 Chiusure Relazioni di equivalenza F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 1

2 Chiusure Ogni relazione R su A, può essere estesa (aggiungendo delle coppie) in modo da avere una relazione riflessiva, o simmetrica, o transitiva Data R A A, R Id A è sicuramente riflessiva ed è detta la chiusura riflessiva di R. Esempio: Sia A = {a, b, c} e R = {(a, b), (b, c)}. La chiusura riflessiva di R è la relazione {(a, b), (b, c), (a, a), (b, b), (c, c)} Data R A A, R R op è sicuramente simmetrica ed è detta la chiusura simmetrica di R. Esempio: Sia A = {a, b, c} e R = {(a, b), (b, c)}. La chiusura simmetrica di R è la relazione {(a, b), (b, c), (b, a), (c, b)} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 2

3 Chiusure Per la transitività, si vorrebbe procedere in modo analogo, ma R R; R non è sempre transitiva. Esempio: Sia A = {a, b, c, d} e R = {(a, b), (b, c), (c, d)}. Si ha che R; R = {(a, c), (b, d)}, ma R R; R = {(a, b), (b, c), (c, d), (a, c), (b, d)} non è transitiva perchè (a, c) R e (c, d) R ma (a, d) / R. In questo caso, è necessario aggiungere ad R R; R anche (R; R); R = {(a, d)}. In generale, è necessario aggiungere ad R, tutte le possibili composizioni di R con se stessa: R; R, (R; R); R, ((R; R); R); R,... La chiusura transitiva di R è R (R; R) ((R; R); R) (((R; R); R); R)... Esempio, la chiusura riflessiva di R definita nell esempio precedente è {(a, b), (b, c), (c, d), (a, c), (b, d), (a, d)} Particolarmente importante è la chiusura riflessiva e transitiva, definita per ogni R su A, come R = Id A R (R; R) ((R; R); R) (((R; R); R); R)... F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 3

4 Algebra di relazioni su un insieme Fissati un insieme A, le relazioni su A hanno a disposizione degli operatori in più rispetto alle relazioni tra A e B Le operazioni sono: quelle dei sottoinsiemi:,,, composizione ; relazione opposta op chiusura riflessiva e transitiva Le costanti sono: relazione vuota relazione completa A A la relazione identità IdA. Esistono due frammenti degli di nota: Algebra di Kleene: Id A, ;,,, Allegorie: Id A, ;,, A A, op F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 4

5 Relazioni di equivalenza Classi di Equivalenze Definizione: Sia R una relazione su un insieme A. Sia a A un elemento di A. La classe di equivalenza di a, scritto [a], è l insieme di tutti i b A tali che (a, b) R. In simboli Esempio: si consideri la relazione [a] = {b A (a, b) R}. {(a, b) a, b N, a + b è un numero pari}. Questa divide l insieme dei numeri naturali in due classi di equivalenza: i numeri pari e i numeri dispari. Infatti: [0] = {0, 2, 4,... } [1] = {1, 3, 5,... } F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 5

6 Relazioni di equivalenza Relazioni di Equivalenze e Partizioni Teorema: Sia A un insieme. Esiste una bigiezione tra partizioni di A e relazioni di equivalenza su A. Non diamo la dimostrazione, ma l intuizione è che l insieme della classi di equivalenza forma una partizione. Esempio: Sia A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p} e R = {(a, b), (a, c), (d, f ), (e, g), (e, h), (i, l), (i, m), (n, o)}. La relazione (R R op ) è una relazione di equivalenza. L insieme delle sue classi di equivalenza induce una partizione dell insieme A. [a] = {a, b, c} [d] = {d, f } [e] = {e, g, h} [i] = {i, l, m} [n] = {n, o} [p] = {p} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 6

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