INSIEMI ORDINATI, RETICOLI. N.B.: il simbolo contrassegna gli esercizi (relativamente) più complessi.

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1 ESERCIZI SU INSIEMI ORDINATI, RETICOLI N.B.: il simbolo contrassegna gli esercizi relativamente più complessi. Siano E ed E due insiemi non vuoti, nei quali siano date rispettivamente la relazione ω e la relazione ω. Nel prodotto cartesiano E E si consideri la relazione ω definita da e, e ω e, e e ω e, e ω e e, e, e, e E E a se ω e ω sono riflessive, allora anche ω è riflessiva; b se ω e ω sono simmetriche, allora anche ω è simmetrica; c se ω e ω sono antisimmetriche, allora anche ω è antisimmetrica; d se ω e ω sono transitive, allora anche ω è transitiva; e se ω e ω sono equivalenze, allora anche ω è un equivalenza; f se ω e ω sono ordini, allora anche ω è un ordine detto ordine prodotto su E E ; g se ω e ω sono entrambi ordini totali, allora ω è un ordine totale se e soltanto se si ha E = oppure E =. Sia E un insieme non vuoto, nel quale sia data la relazione ω, sia X un altro insieme non vuoto. Nell insieme E X di tutte le funzioni da X a E si consideri la relazione ω X definita da f ω X l fx ω lx x X f, l E X a se ω è riflessiva, allora anche ω X è riflessiva; b se ω è simmetrica, allora anche ω X è simmetrica; c se ω è antisimmetrica, allora anche ω X è antisimmetrica; d se ω è transitiva, allora anche ω X è transitiva; e se ω è un equivalenza, allora anche ω X è un equivalenza; f se ω è un ordine, allora anche ω X è un ordine; g se ω è un ordine totale, allora ω è un ordine totale se e soltanto se si ha E =.

2 INSIEMI ORDINATI, RETICOLI 3 Siano E ed E due insiemi ordinati, e si consideri in E E l ordine prodotto di cui all esercizio qui sopra. a se esistono mine e mine, allora esiste anche min E E che è dato da min E E = mine, mine ; b se esistono maxe e maxe, allora esiste anche max E E che è dato da max E E = maxe, maxe ; c se esiste min E E, dato dalla coppia min E E = m, m, allora esistono anche mine e mine, dati da mine = m e mine = m ; d se esiste max E E, dato dalla coppia max E E = M, M, allora esistono anche maxe e maxe, dati da maxe = M e maxe = M. 4 Sia E un insieme ordinato, sia X un altro insieme, e si consideri in E X l ordine standard di cui all esercizio qui sopra. a se esiste mine, allora esiste anche min E X che è dato dalla funzione costante f min E X tale che f min x := mine per ogni x X ; b se esiste maxe, allora esiste anche max E X che è dato dalla funzione costante f max E X tale che f max x := maxe per ogni x X ; c se esiste f min E X, allora tale minimo è una funzione costante, ed esiste anche mine, dato dal valore unico costante f min x di f min per ogni x X ; d se esiste f max E X, allora tale massimo è una funzione costante, ed esiste anche maxe, dato dal valore unico costante f max x di f max per ogni x X. 5 Prodotto diretto di reticoli : Siano L ed L insiemi ordinati con proprietà particolari, e si consideri in L L l ordine prodotto di cui all esercizio qui sopra. Dimostrare che se L ed L sono reticoli rispetto agli ordini considerati, allora anche L L è a sua volta un reticolo rispetto all ordine prodotto. 6 Siano E ed E due insiemi, ciascuno con una operazione, indicata rispettivamente con e. Nel prodotto cartesiano E E si consideri l operazione definita da e, e e, e := e e, e e e, e, e, e E E a se b se e e sono associative, allora anche è associativa; sono commutative, allora anche è commutativa.

3 INSIEMI ORDINATI, RETICOLI 3 7 Prodotto diretto di reticoli : Siano L ; ed L ; due insiemi dotati ciascuno di due operazioni, e si considerino in L L le operazioni e ottenute,, da e secondo la procedura di cui all esercizio 6 qui sopra. Dimostrare che se L ed L sono reticoli rispetto alle operazioni considerate, allora anche L L è a sua volta un reticolo rispetto alle operazioni considerate. 8 Dimostrare che le due costruzioni di un Prodotto diretto di reticoli considerate negli esercizi 5 e 7 qui sopra sono equivalenti, nel senso che la relazione d ordine considerata in L L nell esercizio 5 corrisponde esattamente alle due operazioni in L L considerate nell esercizio 7, e viceversa. 9 Sia L un insieme ordinato, sia X un altro insieme, e si consideri in L X l ordine standard di cui all esercizio qui sopra. Dimostrare che se L è un reticolo rispetto all ordine considerato allora anche L X è a sua volta un reticolo rispetto all ordine standard. 0 Sia E con una operazione, indicata con, e sia X un altro insieme non vuoto. Nell insieme E X di tutte le funzioni da X ad E si consideri l operazione definita da f l : X E, x f l x := fx lx x X, f, l E X a se è associativa, allora anche è associativa; b se è commutativa, allora anche è commutativa. Sia L ;, un insieme con due operazioni, sia X un altro insieme non vuoto, e si considerino in L X le due operazioni ottenute da e da utilizzando la procedura di cui all esercizio 0 qui sopra. Dimostrare che se L è un reticolo rispetto alle operazioni considerate allora anche L X è a sua volta un reticolo rispetto alle operazioni così costruite. Dato un reticolo L ed un insieme non vuoto X, dimostrare che le due costruzioni di una struttura di reticolo su L X considerate negli esercizi 9 e qui sopra sono equivalenti, nel senso che la relazione d ordine in L X considerata in nell esercizio 9 corrisponde esattamente alle due operazioni in L X considerate nell esercizio, e viceversa.

4 4 INSIEMI ORDINATI, RETICOLI 3 Siano L ed L due reticoli non vuoti, e sia L L il reticolo prodotto diretto di essi. a se L e L sono entrambi distributivi, allora anche L L è a sua volta distributivo; b se L e L sono entrambi limitati e complementati cioè ogni elemento ha complemento, allora anche L L è a sua volta limitato e complementato; c se L L è distributivo, allora anche L e L sono entrambi distributivi; d se L L è limitato e complementato, allora anche L e L sono entrambi limitati e complementati. 4 Sia L un reticolo non vuoto, sia X un insieme non vuoto, e sia L X l insieme di tutte le funzioni da X a L, con la sua struttura standard di reticolo. a se L è distributivo, allora anche L X è a sua volta distributivo; b se L è limitato e complementato, allora anche L X è a sua volta limitato e complementato; c d se L X è distributivo, allora anche L è distributivo; se L X è limitato e complementato, allora anche L è limitato e complementato. 5 Isomorfismi tra reticoli : Sia ϕ : L L una funzione biiettiva da un reticolo L ad un reticolo L. Dimostrare che le due seguenti proprietà per ϕ sono equivalenti: I x y ϕx ϕy, per ogni x, y L ; II ϕ x y = ϕx ϕy, ϕ x y = ϕx ϕy, per ogni x, y L. N.B.: una tale ϕ : L L si dice isomorfismo da L a L ; quando una tale ϕ esiste, si dice che L è isomorfo a L. 6 Sia L un reticolo, e si considerino sul prodotto L L e sull insieme L {,} di tutte le funzioni da {, } a L le rispettive strutture standard di reticolo. Dimostrare che la funzione ϕ : L {,} L L data da f ϕf := f, f per ogni f L {,} è un isomorfismo dal reticolo L {,} al reticolo L L. 7 Per ogni n N, sia D n il reticolo dei divisori in N di n con relazione d ordine la divisibilità in N e operazioni e date dal M.C.D. e dal m.c.m. e sia [ 0, n] l insieme [ 0, n] := {0,,,..., n, n} dei numeri naturali da 0 ad n, con la sua struttura naturale di reticolo indotta dall ordine naturale o standard in N. Dimostrare allora che, per ogni primo p ed ogni e N, il reticolo D p e è isomorfo al reticolo [ 0, n].

5 INSIEMI ORDINATI, RETICOLI 5 8 Per ogni n N, sia D n il reticolo dei divisori di n. a D 00 è isomorfo a D 4 D 5 ; b D 5400 è isomorfo a D 8 D 7 D 5 ; c più in generale, se n N + si fattorizza in n = p e pe pe s s con p, p,..., p s primi distinti, allora D n = D e p p e p e s è isomorfo a D e s p D e p D p es. s