Ottimizzazione Combinatoria Proprietà dei Grafi. Ottimizzazione Combinatoria

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1 Ottimizzazione Combinatoria Ottimizzazione Combinatoria Proprietà dei Grafi ANTONIO SASSANO Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Roma, 6 Maggio2003 1

2 Grafi TEORIA DEI GRAFI: Studia le proprietà metriche e topologiche delle relazioni binarie Oggetti Nodi Relazioni tra coppie Archi Grafo con: N ={,...,v n } Insieme dei Nodi di G A ={e 1,...,e m } Insieme degli Archi di G e 1 e 5 e 7 e 9 e 8 v e 4 2 e 2 e 3 IPOTESI: Grafo semplice Non esistono archi paralleli o loop archi paralleli loop Quindi: al più un arco per ogni coppia (ordinata) di nodi: Coppia ordinata: Coppia non-ordinata: e h v i v k Arco orientato (v i,v k ) v i v k e h v i e h v k Arco non-orientato v i v k v k v i e h 2

3 Grafi: Archi orientati e non-orientati e h v i v k Arco orientato (v i,v k ) e h v i e h v k Arco non-orientato (v i,v k ) e h e 1 e 5 e 7 e 9 e 2 v e 4 2 e 3 Per ogni arco orientato (v i,v k ) e h diremo: e 8 v i coda di e h v i precede v k e h esce da v i ESEMPIO v k testa di e h v k segue v i e h entra in v k e 1 coda di e 1 Per ogni arco orientato o non orientato diremo: v adiacente a v i k e h incidente su v k e v i v e v i k estremi di e h testa di e 1 precede segue e 2 esce da e 3 entra in adiacente a e 3 incidente su 3

4 Grafi orientati e non-orientati Grafo orientato Ogni arco di A è orientato Grafo orientato Grafo non-orientato Ogni arco di A è non-orientato Grafo non-orientato Grafo misto Ogni arco di A può essere orientato o non-orientato Grafo misto 4

5 Stelle e Intorni STELLA DI v IN G δ G (v) = {e : e =uv } A Insieme degli archi di G incidenti su v δ G (v) = d G (v); GRADO di v e 1 e v3 5 e 3 e 7 e 2 e 4 δ G ( ) = {e 5,, e 7 } d G ( ) = 3 INTORNO DI v IN G N G (v) = {u : vu A } N Insieme dei nodi adiacenti a v in G e v3 5 e 1 e 7 e 2 e 4 e 3 N G ( ) = {,, } 5

6 Stelle in Grafi Orientati STELLA USCENTE DA v IN G + δ G (v) = {e : v coda di e } A Insieme degli archi di G uscenti da v + + δ G (v) = d G (v); GRADO USCENTE e 1 e 5 e 7 + δ G ( ) = {, e 9 } + d G ( ) = 2 v e 4 2 e 2 e 3 e 9 e 8 STELLA ENTRANTE IN v IN G - δ G (v) = {e : v testa di e } A Insieme degli archi di G entranti in v - - δ G (v) = d G (v); GRADO ENTRANTE - e 1 e 2 e 5 e 7 δ G ( ) = {e 3, e 7, e 9 } - d G ( ) = 3 e 4 e 3 e 9 e 8 6

7 Intorni in Grafi Orientati INTORNO+ DI v IN G + N G (v) = {u : vu A } N Teste di archi di G con coda in v e 1 e 5 e 7 e 9 e 8 v e 4 2 e 2 e 3 N + G ( ) = {, } INTORNO- DI v IN G - N G (v) = {u : uv A } N Code di archi di G con testa in v e 9 e 1 e 2 v e 3 5 v e 4 2 e 7 e 3 e 8 N - G ( ) = {,, } 7

8 Tagli e 1 e 2 TAGLIO IN DEFINITO DA S N δ G (S) = {uv : u S e v N-S } A Insieme degli archi di G con un estremo in S e l altro in N-S S e 5 v e 4 2 e 7 e 3 e9 e 8 S= {,,, } δ G (S) = {e 2,e 7,e 8,e 9 } DATI S,T N con S T= : definiamo δ G (S,T) = δ G (S) δ G (T) Insieme degli archi di G con un estremo in S e l altro in T e 1 e 2 e 5 v e 4 2 e 7 T e 3 e 9 e 8 S S = {, } T = {, } δ G (S,T) = {e 3, e 4, e 5 } 8

9 Tagli in Grafi Orientati e 1 e 2 TAGLIO USCENTE DA S N IN G + δ G (S) = {uv : u S e v N-S } A Insieme degli archi di G con coda in S e testa in N-S e 5 e 8 e 7 v e 4 2 e 3 e 9 S= {,,, } + δ G (S) = {e 2, e 7, e 9 } TAGLIO ENTRANTE IN S N IN G - δ G (S) = {uv : u N-S e v S } A Insieme degli archi di G con coda in N-S e testa in S e 1 e 2 e 5 e 8 e 7 e 4 e 3 e 9 S= {, } - δ G (S) = {e 1, e 5, e 4 } 9

10 Sottografi v v3 4 H(N,A ) SOTTOGRAFO DI N N A {uv A: {u,v} N } H(N,A ) SOTTOGRAFO RICOPRENTE DI N =N A {uv A: {u,v} N } Sottografo H(N,A ) v v3 4 Sottografo ricoprente H(N,A ) H(N,A ) SOTTOGRAFO INDOTTO DI N N A = {uv A: {u,v} N } G[{,,, }] N DETERMINA H H=G[N ] Sottografo indotto 10

11 Strutture Speciali: Walk W WALK IN SEQUENZA ALTERNANTE DI NODI e ARCHI W=(V i1, (V i1,v i2 ), V i2, (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip ), V ip ) v v3 4 V i1 V i2 V i3 V i4 V ip-1 V ip INSIEME DEI NODI DI W: V(W) = {V i1, V i2,.., V ip } INSIEME DEGLI ARCHI DI W: A(W) = {(V i1,v i2 ), (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip )} V i1 e V ip si dicono NODI ESTREMI DEL WALK {V i2,.., V ip-1 } si dicono NODI INTERNI DEL WALK Archi e nodi possono essere ripetuti Se V i1 V ip (nodi estremi coincidenti) il WALK si dice CHIUSO altrimenti di dice APERTO 11

12 Strutture Speciali: Trail, Cammini e Cicli TRAIL WALK in senza archi ripetuti CAMMINO TRAIL in senza nodi interni ripetuti v v v CICLO CAMMINO CHIUSO (nodi estremi coincidenti) 12

13 Grafi Orientati: Cammini e Cicli Orientati CAMMINO ORIENTATO CAMMINO P=(V i1, (V i1,v i2 ), V i2, (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip ), V ip ) con: V ik coda di ( V ik,v ik+1 ) per ogni k=1,,p-1 V i1 V i2 V i3 V i4 CICLO ORIENTATO CAMMINO ORIENTATO CHIUSO V i1 V i2 V i3 V i4 13

14 Connessione u CONNESSO A v Esiste un cammino con estremi u e v Connesso a : Relazione di Equivalenza R transitiva: urv vrt urt riflessiva: uru simmetrica: urv vru u Nodi e Coppie di nodi partizionabili in Classi di Equivalenza u u v v t ESEMPI connesso a connesso a connesso a RICORDO non connesso a Data una relazione di equivalenza R N N e detto R(u)={v N: vru } C N è una CLASSE DI EQUIVALENZA C R(u) u C N si partiziona in classi di equivalenza: N=C 1... C C t h C k R Relazione di Equivalenza (urv C h : u,v C h ) = k h 14

15 Componenti Connesse u CONNESSO A v Esiste un cammino con estremi u e v R Connesso a : Relazione di Equivalenza Nodi partizionabili in classi di equivalenza:{c 1,...,C t } C 1 NO C h N =C 1 C 2... C t C h C k = 1 < h < k < t = c(g) Coppie di nodi connesse se e solo se appartengono alla stessa classe di equivalenza. {u,v} C h u connesso a v u C h v C k k h u non connesso a v G[C h ] COMPONENTE CONNESSA DI Sottografo indotto da una classe di equivalenza c(g) = 1 Grafo CONNESSO c(g) > 1 Grafo NON-CONNESSO C 2 G[C 1 ] G[C 2 ] 15

16 Cammini orientati e Connessione urv Esiste un CAMMINO ORIENTATO da u a v R Non è una Relazione di Equivalenza transitiva: urv vrt urt riflessiva: uru non simmetrica: u u u v v t Cosa fare? Rendiamo simmetrica la relazione richiedendo la contemporanea esistenza di un cammino orientato da u a v e di uno da v ad u DEFINIAMO Nuova relazione di equivalenza R F : ur F v vru urv ur F v u FORTEMENTE CONNESSO a v u v 16

17 Connessione Forte ur F v u FORTEMENTE CONNESSO a v Esiste un CAMMINO ORIENTATO da u a v e un CAMMINO ORIENTATO da v a u R F è una Relazione di Equivalenza transitiva: ur F v vr F t ur F t riflessiva: u R F u simmetrica: u u v u v t Nodi partizionabili in classi di equivalenza di R F :{C 1,...,C t } G[C 1 ] G[C 2 ] G[C h ] COMPONENTE FORTEMENTE CONNESSA DI Sottografo indotto da una classe di equivalenza di R F 17

18 Grafi Aciclici e Alberi GRAFO ACICLICO (FORESTA) Grafo senza cicli v 8 v 7 GRAFO ACICLICO CONNESSO ALBERO GRAFO ACICLICO ORIENTATO (DAG) Grafo senza cicli orientati v 7 v 8 18

19 Insiemi Stabili e matching Insieme STABILE Insieme di nodi a coppie non adiacenti nodi indipendenti v 8 v 7 Matching Insieme di archi a coppie non adiacenti archi indipendenti v 8 v 7 19

20 Grafi Bipartiti Grafo Bipartito Insieme dei nodi partizionato in due insiemi stabili v 8 v 7 Grafo Bipartito Non contiene cicli con un numero dispari di nodi Provate a dimostrarlo 20

21 Autovalutazione Teoria dei Grafi 2.1 Vero o Falso? Rimuovendo un taglio da un grafo connesso si ottiene un grafo con due componenti connesse. Il motivo? 2.2 Quanti archi può possedere, al massimo, un grafo con 5 nodi. 2.3 COMPLETARE LA DEFINIZIONE SEGUENTE: Albero Ricoprente di : è un sottografo di Dimostrare che un DAG contiene un nodo con stella uscente vuota. 2.5 Dimostrare che aggiungendo un arco di A ad un albero ricoprente di, si genera un sottografo di contenente un ciclo. 2.6 Dimostrare che in un grafo la somma dei gradi dei nodi è pari al doppio del numero degli archi u N d ( u) = Dimostrare che una Componente Fortemente connessa G di un grafo orientato G contiene un Ciclo Orientato Ricoprente di G. A 21