ALBERI ORIENTATI. Definizione: Albero orientato = rooted tree = grafo orientato con le seguenti proprietà: - ha un nodo fissato, detto radice (r);

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1 ALBERI ORIENTATI Pagina 1 ALBERI ORIENTATI 15:05 Definizione: Albero orientato = rooted tree = grafo orientato con le seguenti proprietà: - ha un nodo fissato, detto radice (r); - per ogni nodo v, esiste un unico cammino orientato dalla radice al nodo v. Esempio radice = unico nodo con in-degree uguale a 0 foglia = nodo con out-degree uguale a 0 nodo interno = nodo che non è foglia Notazione: n = numero dei nodi l = numero delle foglie i = numero dei nodi interni

2 ALBERI ORIENTATI Pagina 2 ALBERI m-ari 15:23 Definizione: albero m-ario = albero orientato in cui ogni vertice interno ha m figli (m 1). Se m = 2 è un albero binario. Teorema: Sia T un albero m-ario con n vertici e con i nodi interni. Allora n = mi+1. Dimostrazione

3 ALBERI ORIENTATI Pagina 3 ESEMPIO: TORNEO DI TENNIS 10:03 Rappresentare un torneo di tennis con 64 giocatori con un albero orientato. Oss: In ogni albero orientato binario, vale

4 ALBERI ORIENTATI Pagina 4 ESEMPIO: CATENA DI TELEFONATE 10:10 Rappresentare con un albero orientato una catena di telefonate tra 100 persone.

5 ALBERI ORIENTATI Pagina 5 ALBERI BILANCIATI 10:13 h = altezza di un albero orientato = lunghezza del cammino di lunghezza massima che parte dalla radice. albero bilanciato = albero orientato in cui tutte le foglie sono nei livelli h e h-1.

6 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 6 ESERCIZIO 1 11:54 a. b. c. Dire perché il seguente grafo G non è euleriano. Trasformare il grafo dato G in un multigrafo euleriano G' aggiungendo due spigoli. Individuare un ciclo euleriano nel multigrafo G'.

7 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 7 ESERCIZIO 2 10:38 Un postino vuole consegnare la posta partendo da A e arrivando in B; riuscirà a percorrere tutte le strade esattamente una volta, rispettando il verso di percorrenza?

8 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 8 ESERCIZIO 3 10:44 Dire se esiste un ciclo euleriano per i seguenti grafi, e in caso affermativo trovarlo.

9 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 9 ESERCIZIO 4 10:56 Un grafo orientato è detto fortemente connesso se, per ogni coppia di vertici u e v, esiste un cammino orientato da u a v. Dimostrare che, se un grafo orientato possiede un ciclo euleriano orientato, allora deve essere fortemente connesso.

10 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 10 ESERCIZIO 5 11:00 Trovare un cammino hamiltoniano (cammino che passa per tutti i vertici una sola volta) nel seguente grafo e dimostrare che non c'è nessun circuito hamiltoniano.

11 ESERCIZI SU CICLI EULERIANI E CIRCUITI HAM. Pagina 11 ESERCIZIO 6 11:07 a. Dimostrare che, se un grafo connesso e bipartito G(V1, V2; E) ha un circuito hamiltoniano, allora le cardinalità di V1 e di V2 devono essere uguali. Inoltre, se un grafo bipartito ha un numero dispari di vertici, allora non può avere circuiti hamiltoniani. Dimostrare che, se un grafo connesso e bipartito ha un cammino hamiltoniano, allora la differenza tra il numero di vertici in V1 e il numero di vertici in V2 è compresa tra -1 e 1. Dimostrare che il seguente grafo non ha un circuito hamiltoniano.

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