Introduzione alla Teoria dei Grafi

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1 Sapienza Uniersità di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Introduzione alla Teoria dei Grafi Docente: Renato Bruni [email protected] Corso di: Ottimizzazione Combinatoria Questa sezione è tratta dal materiale del prof. A. Sassano 1

2 La Teoria dei Grafi TEORIA DEI GRAFI: Studia le proprietà metriche e topologiche delle relazioni binarie Oggetti Nodi Relazioni tra coppie Archi Grafo con: N ={,..., n } Insieme dei Nodi di G A ={e 1,...,e m } Insieme degli Archi di G e 1 e 5 e 6 e 7 e 4 2 I Grafi possono modellare molti problemi del mondo reale e 9 e 8 e 2 e 3 IPOTESI: Grafo semplice Non esistono archi paralleli o loop archi paralleli loop Quindi: al più un arco per ogni coppia (eentualmente ordinata) di nodi: Coppia ordinata: Coppia non-ordinata: e h i k Arco orientato ( i, k ) i k e h i e h k Arco non-orientato i k k i e h 2

3 Archi orientati e non-orientati i e h i e h k Arco orientato ( i, k ) e h k Arco non-orientato ( i, k ) e h e 1 e 5 e 6 e 7 e 9 e 2 e 4 2 e 3 Per ogni arco orientato ( i, k ) e h diremo: e 8 i coda di e h k testa di e h i precede k k segue i e h esce da i e h entra in k ESEMPIO e 1 coda di e 1 Per ogni arco orientato o non orientato diremo: i adiacente a k e h incidente su k e i i e k estremi di e h testa di e 1 precede segue e 2 esce da e 3 entra in adiacente a e 3 incidente su 3

4 Grafi orientati e non-orientati Grafo orientato Ogni arco di A è orientato Grafo orientato Grafo non-orientato Ogni arco di A è non-orientato Grafo non-orientato Grafo misto Ogni arco di A può essere orientato o non-orientato Grafo misto 4

5 Stelle e Intorni STELLA DI IN G δ G () = {e : e =u } A Insieme degli archi di G incidenti su δ G () = d G (); GRADO di e 1 e 3 5 e 2 6 e 7 e 3 e 2 e 4 δ G ( ) = {e 5,e 6,e 7 } d G ( ) = 3 INTORNO DI IN G N G () = {u : u A } N Insieme dei nodi adiacenti a in G e 3 5 e 1 e 6 e 7 e 2 e 4 e 3 N G ( ) = {,, } 5

6 Stelle in Grafi Orientati e 1 e 2 STELLA USCENTE DA IN G + δ G () = {e : coda di e } A Insieme degli archi di G uscenti da + + δ G () = d G (); GRADO USCENTE e 5 e 6 e 9 e 8 e 7 + δ G ( ) = {e 6,e 9 } + d G ( ) = 2 e 4 2 e 3 STELLA ENTRANTE IN IN G - δ G () = {e : testa di e } A Insieme degli archi di G entranti in - - δ G () = d G (); GRADO ENTRANTE - e 1 e 2 e 5 e 6 e 9 e 8 e 7 δ G ( ) = {e 3,e 7,e 9 } - d G ( ) = 3 e 4 e 3 6

7 Intorni in Grafi Orientati INTORNO+ DI IN G + N G () = {u : u A } N Teste di archi di G con coda in e 1 e 5 e 7 e 6 e 9 e 8 e 4 2 e 2 e 3 N + G( ) = {, } INTORNO- DI IN G - N G () = {u : u A } N Code di archi di G con testa in e 6 e 9 e 1 e 2 e 3 5 e 4 2 e 7 e 3 e 8 N - G( ) = {,, } 7

8 Tagli TAGLIO IN DEFINITO DA S N δ G (S) = {u : u S e N-S } A Insieme degli archi di G con un estremo in S e l altro in N-S S e 6e9 e e 2 1 e 5 e 4 2 e 7 e 3 e 8 S= {,,, } δ G (S) = {e 2,e 7,e 8,e 9 } DATI S,T N con S T= : definiamo δ G (S,T) = δ G (S) δ G (T) Insieme degli archi di G con un estremo in S e l altro in T e 6 e 9 e 1 e 2 e 5 e 4 2 e 7 T e 3 e 8 S S = {, } T = {, } δ G (S,T) = {e 3,e 4,e 5 } 8

9 Tagli in Grafi Orientati e 1 e 2 TAGLIO USCENTE DA S N IN G + δ G (S) = {u : u S e N-S } A Insieme degli archi di G con coda in S e testa in N-S e 6 e 9 e 5 e 8 e 7 e 4 2 S= {,,, } + δ G (S) = {e 2,e 7,e 9 } e 3 TAGLIO ENTRANTE IN S N IN G - δ G (S) = {u : u N-S e S } A Insieme degli archi di G con coda in N-S e testa in S e 1 e 2 e 5 e 6 e 9 e 8 e 7 e 4 e 3 S= {, } - δ G (S) = {e 1,e 5,e 4 } 9

10 Sottografi 3 4 H(N,A ) SOTTOGRAFO DI N N A {u A: {u,} N } H(N,A ) SOTTOGRAFO RICOPRENTE DI N =N A {u A: {u,} N } H(N,A ) SOTTOGRAFO INDOTTO DI N N A = {u A: {u,} N } N DETERMINA H H=G[N ] Sottografo H(N,A ) Sottografo ricoprente Sottografo indotto H(N,A ) G[{,,, } ]

11 Strutture Speciali: Walk W WALK IN SEQUENZA ALTERNANTE DI NODI e ARCHI W=(V i1, (V i1,v i2 ), V i2, (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip ), V ip ) 3 4 V i1 V i2 V i3 V i4 V ip-1 V ip INSIEME DEI NODI DI W: V(W) = {V i1, V i2,.., V ip } INSIEME DEGLI ARCHI DI W: A(W) = {(V i1,v i2 ), (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip )} V i1 e V ip si dicono NODI ESTREMI DEL WALK {V i2,.., V ip-1 } si dicono NODI INTERNI DEL WALK Archi e nodi possono essere ripetuti Se V i1 V ip (nodi estremi coincidenti) il WALK si dice CHIUSO altrimenti di dice APERTO 11

12 Strutture Speciali: Trail, Cammini e Cicli TRAIL WALK in senza archi ripetuti CAMMINO TRAIL in senza nodi interni ripetuti CICLO CAMMINO CHIUSO (nodi estremi coincidenti) 12

13 Grafi Orientati: Cammini e Cicli Orientati CAMMINO ORIENTATO CAMMINO P=(V i1, (V i1,v i2 ), V i2, (V i2,v i3 ),, (V ip-1,v ip ), V ip ) con: V ik coda di ( V ik,v ik+1 ) per ogni k=1,,p-1 V i1 V i2 V i3 V i4 CICLO ORIENTATO CAMMINO ORIENTATO CHIUSO V i1 V i2 V i3 V i4 13

14 Relazione di Connessione u CONNESSO A Esiste un cammino con estremi u e Connesso a : Relazione di Equialenza R transitia: ur Rt urt riflessia: uru simmetrica: ur Ru u Nodi e Coppie di nodi partizionabili in Classi di Equialenza u u t ESEMPI connesso a connesso a connesso a RICORDO non connesso a Data una relazione di equialenza R N N e detto R(u)={ N: Ru } C N è una CLASSE DI EQUIVALENZA C R(u) u C N si partiziona in classi di equialenza: N=C 1... C t C h C k = k h R Relazione di Equialenza (ur C h : u, C h ) 14

15 Componenti Connesse u CONNESSO A Esiste un cammino con estremi u e R Connesso a : Relazione di Equialenza Nodi partizionabili in classi di equialenza:{c 1,...,C t } C 1 NO C h N =C 1 C 2... C t C h C k = 1 < h < k < t = c(g) Coppie di nodi connesse se e solo se appartengono alla stessa classe di equialenza. {u,} C h u connesso a u C h C k k h u non connesso a G[C h ] COMPONENTE CONNESSA DI Sottografo indotto da una classe di equialenza c(g) = 1 Grafo CONNESSO c(g) > 1 Grafo NON-CONNESSO C 2 G[C 1 ] G[C 2 ] 15

16 Cammini orientati e Connessione ur Esiste un CAMMINO ORIENTATO da u a R Non è una Relazione di Equialenza transitia: ur Rt urt riflessia: uru non simmetrica: u u u t Cosa fare? Rendiamo simmetrica la relazione richiedendo la contemporanea esistenza di un cammino orientato da u a e di uno da ad u DEFINIAMO Nuoa relazione di equialenza R F : ur F Ru ur ur F u FORTEMENTE CONNESSO a u 16

17 Connessione Forte ur F u FORTEMENTE CONNESSO a Esiste un CAMMINO ORIENTATO da u a e un CAMMINO ORIENTATO da a u R F è una Relazione di Equialenza transitia: ur F R F t ur F t riflessia: u R F u simmetrica: u u u t Nodi partizionabili in classi di equialenza di R F :{C 1,...,C t } G[C 1 ] G[C 2 ] G[C h ] COMPONENTE FORTEMENTE CONNESSA DI Sottografo indotto da una classe di equialenza di R F 17

18 Grafi Aciclici e Alberi GRAFO ACICLICO (FORESTA) Grafo senza cicli 8 7 GRAFO ACICLICO CONNESSO ALBERO GRAFO ACICLICO ORIENTATO (DAG) Grafo senza cicli orientati

19 Insiemi Stabili e matching Insieme STABILE Insieme di nodi a coppie non adiacenti nodi indipendenti 8 7 Matching Insieme di archi a coppie non adiacenti archi indipendenti

20 Grafi Bipartiti Grafo Bipartito Insieme dei nodi partizionato in due insiemi stabili 8 7 Grafo Bipartito Non contiene cicli con un numero dispari di nodi Proate a dimostrarlo 20

21 Autoalutazione Teoria dei Grafi 2.1 Vero o Falso? Rimuoendo un taglio da un grafo connesso si ottiene un grafo con almeno due componenti connesse. Il motio? 2.2 Quanti archi può possedere, al massimo, un grafo con 5 nodi. 2.3 COMPLETARE LA DEFINIZIONE SEGUENTE: Albero Ricoprente di : è un sottografo di Dimostrare che un DAG contiene un nodo con stella uscente uota. 2.5 Dimostrare che aggiungendo un arco di A ad un albero ricoprente di, si genera un sottografo di contenente un ciclo. 2.6 Dimostrare che in un grafo la somma dei gradi dei nodi è pari al doppio del numero degli archi u N d( u) = Dimostrare che una Componente Fortemente connessa G di un grafo orientato G contiene un Ciclo Orientato Ricoprente di G. A 21