Teoria dei Grafi Parte I

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1 Teoria dei Grafi Parte I Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it Teoria dei Grafi Paradigma di rappresentazione di problemi Grafo G : coppia (V,E) V = insieme di vertici E = insieme di lati (o archi, A) Consente di modellare naturalmente problemi di scelta di percorsi problemi di connessione di punti mediante reti Grafi I.

2 Nodi: incroci Esempio: rete stradale Archi: tratti di strada (orientati e non orientati) Grafi I. Esempio : relazioni Grafi I.4

3 Esempio : Coloring Data una mappa, determinare il minimo numero di colori necessario affinchè regioni adiacenti abbiano colori diversi Grafi I.5 Grafi multipli e semplici Grafi multipli: più lati tra due vertici semplici: solo un lato tra due vertici Considereremo solo grafi semplici grafo semplice equiv. (1 lato ed 1 vertice in più) Grafi I.6

4 Grafi non orientati (simmetrici) G = (V,E) V = n E = m Vertici V = {v 1,, v n } Lati E = {e 1,, e m } e k = (v i, v j ) (v j, v i ) coppie di vertici e v 1 1 e 4 e 5 e v v e V = {v 1, v, v, } E = {e 1, e, e, e 4, e 5 } = {(v 1,v ), (v 1,v ),... } Grafi I. Grafi orientati (asimmetrici) G = (V,A) V = n A = m Vertici V = {v 1,, v n } Archi A = {a 1,, a m } a k = (v i, v j ) (v j, v i ) coppie ordinate v i coda (tail), v j testa (head) a v 1 1 a 4 a 6 a 5 v a V = {v 1, v, v, } A = {a 1, a, a, a 4, a 5, a 6 } = {... (v 1, ), (,v 1 ),... } a v Grafi I.8

5 Terminologia Autoanelli: lati o archi (v i, v i ) v i Grafo pesato (orientato e non): ad ogni lato (arco) è associato un peso (costo, ) v j 5 v k c(v j, v k ) = c(e i ) = c(a i ) = c i = c jk = 5 Grafi I. Terminologia () v i e v j sono adiacenti se (v i, v j ) E ( A ) v v due lati sono adiacenti (o consecutivi) se hanno un vertice comune due archi sono adiacenti (o consecutivi) se la testa del primo coincide con la coda del secondo v v v Grafi I.10

6 Grafi non orientati Star di v Γ(v) = {v j :(v, v j ) E } Grado di v d(v) = Γ(v) v 1 v Γ(v )= {v 1, v } d(v ) = v Γ(v )= {v 1, v, } d(v ) = Grafi I.11 Grafi orientati Forward star di v Γ + (v) = {v j :(v, v j ) A } Backward star di v Γ - (v) = {v j :(v j, v ) A } Semigrado esterno di v d + (v) = Γ + (v) Semigrado interno di v d - (v) = Γ - (v) v 1 v v Γ + (v )={ } Γ - (v )={v 1, v } d + (v ) = 1 d - (v ) = Grafi I.1

7 Terminologia () G è completo se v i, v j V, (v i, v j ) E ( A ) (con/senza autoanelli) Grafo parziale G = (V,E ) con E E Sottografo G = (V,E ) con V V, E E Grafi I.1 Grafi non orientati Dato S V, taglio (cut) associato ad S: δ(s) = {(v i, v j ) : S {v i, v j } = 1 } S v S = {v 1,, } δ(s) = {(v, ), (v, ), (v 1,v )} v 1 v Grafi I.14

8 Grafi orientati Dato S V, taglio orientato associato ad S δ + (S) = {(v i, v j ) : v i S, v j S } δ - (S) = {(v i, v j ) : v i S, v j S } δ + (S) δ - (V \ S) Archi interni σ(s) = {(v i, v j ) : v i S, v j S } v 1 v v S = {v 1, } σ(s) = {(v 1, )} δ + (S) = {(,v )} δ - (S) = {(v, ), (v,v 1 )} Grafi I.15 Terminologia (4) Cammino (path): sequenza di lati (archi) consecutivi v j1 v j v j v j4 v j5 {(v j1,v j ), (v j,v j ), (v j,v j4 ), (v j k,v jk+1 )} Ciclo o circuito (cycle): cammino con v jk+1 = v j1 semplice: senza ripetizione di vertici elementare: senza ripetizione di archi semplice elementare Grafi I.16

9 Terminologia (5) Grafo aciclico: non contiene cicli In un grafo orientato una catena è una sequenza di archi con in comune la testa e la coda (non necessariamente consecutivi) v j1 v j v j v j4 v j5 Grafo connesso: v i, v j V cammino da v i a v j G non orientato: G non connesso costituito da componenti connesse separate Grafi I.1 Cammini euleriani Un cammino o ciclo elementare è euleriano se visita tutti i lati Teorema di Eulero: G ammette un ciclo euleriano d(v) pari v V v 1 v v Grafi I.18

10 Cammini hamiltoniani Un cammino o ciclo semplice è hamiltoniano se visita tutti i vertici del grafo Condizioni necessarie per l esistenza di un c. hamiltoniano G connesso con d(v) v V e t.c. δ(s) S V v v 6 v v 8 Grafi I.1 Memorizzazione di grafi Grafi densi (m n ) Non pesati matrice di adiacenza [a ij ] (n n) Pesati matrice dei pesi [c ij ] (n n) a ij = 1 se (v i, v j ) A ( E) 0 altrimenti c ij = c (v i,v j ) se (v i,v j ) A ( E) altrimenti [a ij ], [c ij ] simmetriche per grafi non orientati Grafi I.0

11 Esempio v 1 10 v v a ij = c ij = Grafi I.1 Memorizzazione di grafi Grafi sparsi (m << n ) Meglio memorizzare solo gli archi esistenti 6 v v 1 f ' = u' = v c' = Grafi I.

12 Memorizzazione di grafi sparsi 6 v v 1 c' = u' = v p' = f ' = Grafi I. Memorizzazione di grafi sparsi Non pesati forward star vettore p(n+1) di puntatori: p 1 =1, p n+1 =m+1 Pesati forward star +vettore c(m) c k = peso dell arco individuato da u k vettore u(m): (u pi,.., u p(i+1) -1) indici vertici v : l arco (v i,v) Grafi I.4

13 Foreste ed alberi Dato un grafo non orientato G=(V,E) Albero (tree): sottografo connesso aciclico G =(V,E ) v i, v j V in G uno ed un solo cammino Foresta: grafo parziale aciclico G =(V,E ) v v 6 v v 8 Grafi I.5 Foreste ed alberi Forestamassimale: ogni arco in E \ E chiude un ciclo con E Albero ricoprente (Spanning Tree, ST ): foresta massimale connessa v v 6 v v 8 Grafi I.6

14 Foreste ed alberi Albero ricoprente (Spanning Tree, ST ): foresta massimale connessa Grafo parziale connesso aciclico G =(V,E ) v i, v j V in G uno ed un solo cammino è connesso e contiene V -1= n -1 lati v v 6 v v 8 Grafi I. Problema del più corto ST Shortest ST, SST Dato G=(V,E) pesato e connesso, trovare lo ST G =(V,E ) tale che il costo Σ e E c(e) sia minimo Applicazioni: combinare i terminali di un circuito elettrico con minima lunghezza di filo (per ridurre effetti parassiti) collegare città mediante condutture a costo minimo senza punti di giunzione esterni sottoproblema di altri problemi più complessi Grafi I.8

15 Modello di PLI di SST c j = peso del lato e j x j = 1 se e j è nell albero 0 altrimenti min Σ j=1,m c j x j v 6 Σ j=1,m x j = n 1 v x j {0,1} Σ j σ (S) x j S 1 S V, S Subtour elimination constraints: O( n ) Grafi I. Teorema di Prim (15) Dati G = (V,E) ed un albero parziale (W,E ), W V, E E, sia (u *,v * ) il più corto (u,v): u W, v V \W. Fra tutti gli ST di G che contengono E ne esiste uno ottimo che contiene anche (u *,v * ). W u * v * u v Se (W,E ) è ottimo, (W { v * }, E {(u *,v * )}) è ottimo Grafi I.0

16 Dimostrazione Teorema di Prim Sia ST * il più corto ST contenente E, si supponga, per assurdo, che non contenga (u *,v * ). In ST * deve esistere un cammino tra u * e v *, che conterrà un lato (u,v), con u W, v V \W. Rimuovo (u,v) due alberi parziali, aggiungo (u *,v * ) ST più corto di ST * u * v * W u v Grafi I.1 Algoritmo di Prim (I versione) parti con uno ST ottimo costituito dal vertice v 1 W := {v 1 }; E := ; finchè non si ha uno ST completo ( W = n ): determina (u *, v * ), lato a costo minimo che collega un vertice di W con un vertice non ancora raggiunto (in V\W) aggiungi il lato (u *, v * ) allo ST W := W { v * }; E := E { (u *, v * )} Grafi I.

17 Algoritmo di Prim (I versione) W := {v 1 }; E := ; while W < n do determina (u *, v * ) ; W := W { v * }; E := E { (u *, v * ) };. n-1 iterazioni iterazione numero operazioni a E tempo O(n ) Grafi I. Complessità di un algoritmo Tempo di calcolo numero di operazioni elementari (somme, assegnamenti, confronti ) necessarie per risolvere il problema nel caso peggiore Es. : for i := 1 to n-1 do a := i * ; b := b + a; n-1 iterazioni iterazione operazioni elementari tempo O(n) Grafi I.4

18 Analisi algoritmo di Prim O(1) O(??) O(1) O(1) W := {v 1 }; E := ; while W < n do determina (u *, v * ) ; W := W { v * }; E := E { (u *, v * ) };. n-1 iterazioni tempo: O( n * n. op. corpo) Grafi I.5 Determinazione di (u *,v * ) (u *,v * ) = arg min {c(u,v): (u,v) δ (W)} O(1) O(1) O(1) cmin := + ; for i := 1 to n do for j := 1 to n do if (v i, v j ) Ε and (v i, v j ) δ (W) then if c(v i, v j )< cmin then cmin := c(v i, v j ); u * := v i ; v * := v j ; O(n ) Grafi I.6

19 Analisi algoritmo di Prim () O(1) O(n ) O(1) O(1) W := {v 1 }; E := ; while W < n do determina (u *, v * ) ; W := W { v * }; E := E { (u *, v * ) };. n-1 iterazioni tempo: O( n * n ) = O(n ) per migliorare bisogna migliorare determina (u *, v * ) ; Grafi I. Miglioramento alg. di Prim v V \W definiamo b(v) = arg min {c(u,v): u W } 6 [v ] [v 1 ] 4 v [v ] W = {v 1, v } (u *,v * ) = arg min{c(b(v),v): v V \W } O(n)!!! Grafi I.8

20 Gestione di b(v) Inizializzazione: W := {v 1 } b(v) := v 1 v V \{v 1 } Aggiornamento: dati i b(v) relativi al W corrente come si aggiornano per il nuovo W := W { v * }? a) b(v) = arg min {c(u,v): u W } b) arg min {c(u,v): u W { v * } } = arg (min (min {c(u,v): u W }, c(v *,v) ) ) Grafi I. Aggiornamento di b(v) (u *,v * ) = arg min {c(u,v) : (u,v) δ (W)} 6 W = {v 1, v } v* = v 4 Basta verificare se v è più vicino a o v Grafi I.40

21 Algoritmo di Prim (II versione) b(v) vertice di W più vicino a v V \ W Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. n-1 iterazioni iterazione numero operaz. a V \ W tempo O(n ) Grafi I.41 Esempio Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v Grafi I.4

22 Inizializzazione insiemi v v 8 Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v W = {v 1 } E = Grafi I.4 Inizializzazione etichette [v 1 ] 8 6 [v 1 ] 8 4 [v 1 ] v [v 1 ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1 } E = Grafi I.44

23 Selezione del vertice (1) [v 1 ] 8 6 [v 1 ] 8 4 [v 1 ] v [v 1 ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1 } E = Grafi I.45 Aggiornamento insiemi (1) [v 1 ] 8 6 [v 1 ] 8 4 [v 1 ] v [v 1 ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1, } E = {(,v 1 )} Grafi I.46

24 Aggiornamento etichette (1) v 1 v [v 1 ] [ ] 8 6 [v 1 ] 8 4 [v 1 ] v [v 1 ] [v 5 ] [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1, } E = {(,v 1 )} Grafi I.4 Selezione del vertice () [ ] [ ] v [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1, } E = {(,v 1 )} Grafi I.48

25 Aggiornamento insiemi () [ ] [ ] v [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. W = {v 1,, } E = {(,v 1 ), (, )} Grafi I.4 Aggiornamento etichette () [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v [ ] W = {v 1,, } E = {(,v 1 ), (, )} Grafi I.50

26 Selezione del vertice () [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v [ ] W = {v 1,, } E = {(,v 1 ), (, )} Grafi I.51 Aggiornamento insiemi () [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v [ ] W = {v 1,,,v } E = {(,v 1 ), (, ), (v, )} Grafi I.5

27 Aggiornamento etichette () [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v W = {v 1,,,v } E = {(,v 1 ), (, ), (v, )} Grafi I.5 Selezione del vertice (4) v v 8 [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v W = {v 1,,,v } E = {(,v 1 ), (, ), (v, )} Grafi I.54

28 Aggiornamento insiemi (4) v v 8 [ ] Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. 4 v W = {v 1,,,v,v } E = {(,v 1 ), (, ), (v, ), (v, )} Grafi I.55 Soluzione v v Procedure SST_Prim W := {v 1 }; E := ; comment b(v) = vertice W: c(v,b(v))=min r W {c(v,r) }; for each v V \{v 1 } do b(v):= v 1 ; while W <n do v * V \W: c(v *,b(v * )) = min v V\W {c(v, b(v)) }; W := W { v * }; E := E { (v *,b(v * )) }; for each v V \W do if c(v, v * ) < c(v,b(v)) then b(v):= v * ;. v W = {v 1,,,v,v } E = {(,v 1 ), (, ), (v, ), (v, )} costo: 1 Grafi I.56

29 Esempio v 1 1 v b(v)..... c(v, b(v))..... Grafi I.5 Iterazione 1 5 v v v 1 1 W = { 1 } v b(v) c(v, b(v)) Grafi I.58

30 Iterazione W = { 1, } v v 1 1 b(v) c(v, b(v)) v b(v) c(v, b(v)) 5 10 Grafi I.5 Iterazione W = { 1,, } v v 1 1 b(v) c(v, b(v)) 5 10 v b(v) 1 1 c(v, b(v)) 5 1 Grafi I.60

31 Iterazione v 1 1 W = { 1,,, 5 } v b(v) 1 1 c(v, b(v)) 5 1 v b(v) c(v, b(v)) Grafi I.61 Iterazione 5 5 v W = { 1,,, 5, 4 } v b(v) c(v, b(v)) Costo = 10 Grafi I.6

32 Algoritmo di Kruskal (156) ordina E per costi non decrescenti; inizializza una soluzione vuota (E := ; ) finchè non si ha uno ST completo ( E = n - 1): considera il prossimo lato (e j ) nell ordine se e j assieme agli archi di E non chiude un circuito allora inseriscilo in soluzione (E := E { e j }) altrimenti scartalo Grafi I.6 Algoritmo di Kruskal (156) Algoritmo di tipo greedy (le scelte sono basate su un criterio locale e non sono riconsiderate successivamente) E := ; ordina E per costi non decrescenti; repeat individua il lato (e j ) di costo minimo; E := E \ { e j }; if E { e j } non ha circuiti then E := E { e j }; until E = n - 1;. Complessità: O(m log m) Grafi I.64

33 Esempio v 1 1 e j c(e j ) (v, ) 1 (, ) 1 (v 1,v ) (v 1,v ) 5 (v, ) (v, ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 Grafi I.65 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v, ) 1 (, ) 1 (v 1,v ) (v 1,v ) 5 (v, ) (v, ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) 1 Grafi I.66

34 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (, ) 1 (v 1,v ) (v 1,v ) 5 (v, ) (v, ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) (, ) Grafi I.6 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v 1,v ) (v 1,v ) 5 (v, ) (v, ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) (, ) (v 1,v ) Grafi I.68

35 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v 1,v ) 5 (v, ) (v, ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 Costo = 10 (v, ) (, ) (v 1,v ) (v 1,v ) n-1 Grafi I.6 Esempio: variante v 1 1 e j c(e j ) (v, ) 1 (, ) 1 (v 1,v ) (v, ) 5 (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 Grafi I.0

36 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v, ) 1 (, ) 1 (v 1,v ) (v, ) 5 (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) 1 Grafi I.1 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (, ) 1 (v 1,v ) (v, ) 5 (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) (, ) Grafi I.

37 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v 1,v ) (v, ) 5 (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) (, ) (v 1,v ) Grafi I. Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v, ) 5 (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 (v, ) (, ) (v 1,v ) (v, ) NO Grafi I.4

38 Iterazione v 1 1 e j c(e j ) (v, ) (v 1,v ) (v 1, ) 10 (v, ) 1 Costo = 1 (v, ) (, ) (v 1,v ) (v, ) n-1 Grafi I.5 Confronto Prim-Kruskal Complessità Prim : O(n ) Kruskal : O(m log m) Per grafi densi m n meglio Prim O(n ) < O(n log n) Per grafi sparsi m << n meglio Kruskal O(n log n) < O(n ) Grafi I.6

39 Cammini Ricerca di cammini su grafo: verifica esistenza di un percorso da un vertice ad un altro (uscita da un labirinto) ricerca del percorso (di costo minimo) tra due località in un grafo (pesato) rappresentante una rete stradale Considereremo grafi orientati: maggiore generalità (gli algoritmi presentati si adattano anche ai grafi non orientati) Grafi I. Esempio s t Grafi I.8

40 Esempio s t Grafi I. Raggiungibilità Dato un grafo orientato G=(V,A) determinare l insieme R dei vertici raggiungibili da un vertice s assegnato s dovremo provare ad espandere anche da R={v 1,v,, } v e v Grafi I.80

41 Strutture dati R insieme dei vertici raggiungibili da s pred( j) = 0 se vertice j non ancora raggiunto 1 se vertice j raggiunto si noti che R = { j : pred( j ) 0} (non è necessario memorizzare R) Q insieme dei vertici raggiungibili da s e non ancora elaborati Grafi I.81 Algoritmo CAMMINI parti dal vertice s e marca tutti i vertici come non raggiunti (pred( j ) := 0 (j=1,, n); R := ;) poni Q := { s } (insieme dei vertici raggiunti e non esaminati) per ogni vertice h di Q : marca come raggiunti tutti i vertici j collegati ad h ( j Γ + (h) ) e non raggiunti (pred( j) = 0) inserisci tali vertici in Q Grafi I.8

42 Algoritmo CAMMINI () O(n) O(1) for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := 1; Q := { s }; R := ; O(n) while Q do { vertice raggiungibile h Q } O(1) O( Γ + (h) ) scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := 1; Q := Q {j}; R := R {j};. Complessità: O(m) Grafi I.8 Modifica di pred() pred( j) = vertice che precede j nel cammino da s a j for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do { vertice raggiungibile h Q } scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q {j};. Grafi I.84

43 Esempio s procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. v Grafi I.85 Inizializzazione etichette [0] [0] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [0] [0] v [0] Grafi I.86

44 Inizializzazione insiemi [1] [0] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [0] [0] v [0] Q = { v 1 } (R = ) Grafi I.8 Selezione vertice (1) [1] [0] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [0] [0] v [0] Q = R = Γ + (v 1 ) = { v, } Grafi I.88

45 Aggiornamento (1) [1] [1] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [0] [1] v [0] Q = { v, } R = { v, } Γ + (v 1 ) = { v, } Grafi I.8 Selezione vertice () [1] [1] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [0] [1] v [0] Q = { } R = { v, } Γ + (v ) = { } Grafi I.0

46 Aggiornamento () [1] [1] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [] [1] v [0] Q = {, } R = { v,, } Γ + (v ) = { } Grafi I.1 Selezione vertice () [1] [1] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [] [1] v [0] Q = { } R = { v,, } Γ + ( ) = { v 1 } Grafi I.

47 Selezione vertice (4) [1] [1] procedure CAMMINI for j:=1 to n do pred( j) := 0; pred(s) := s; Q := { s }; while Q do scegli vertice h Q; Q := Q \ { h }; for each j Γ + (h) do if pred( j) = 0 then pred( j) := h; Q := Q { j };. [] [1] v [0] Q = R = { v,, } Γ + ( ) = { v 1, } Grafi I. Soluzione [1] [1] [] s = v 1 R = { v,, } v v 1 v non raggiunto v 1 v v 1 [1] v [0] Grafi I.4

48 Problema del cammino minimo Shortest Path Problem, SPP Dato un grafo orientato G=(V,A), pesato sugli archi con costi c ij, e due vertici s,t V, determinare il cammino semplice di costo minimo dal vertice s al vertice t v s t v Grafi I.5 Complessità SPP Th.: Se i costi degli archi sono qualsiasi, SPP è NP-hard Dim.: Un cammino semplice da un vertice a se stesso ha al più n archi e se ne ha esattamente n è un circuito hamiltoniano Determinare se G=(V,A) possiede un circuito hamiltoniano è NP-completo Dato un grafo G=(V,A) defino c ij = 1 per ogni (i,j) A, se il cammino semplice di costo minimo da un qualunque vertice v a se stesso ha costo -n, tale cammino è un circuito hamiltoniano Grafi I.6

49 Casi particolari Esistono casi in cui il problema è polinomiale c ij 0 per ogni (i, j) A Algoritmo di Dijkstra complessità O(n ) O(n log n) c ij qualsiasi per ogni (i, j) A, ma non esistono circuiti in G di costo negativo Algoritmo di Floyd-Warshall complessità O(n ) Grafi I. Proprietà SP (1) Se i costi possono essere negativi il cammino minimo non è necessariamente semplice ed elementare Se esiste un circuito a costo negativo il cammino minimo lo percorre infinite volte 1 v 6 v v Grafi I.8

50 Proprietà SP () Se i costi degli archi sono non negativi il cammino di costo minimo è semplice ed elementare s 1 v 6 t 1 v Grafi I. Concatenazione cammini Propr.: Se il cammino minimo da v i a v k passa per v j, allora esso è formato dal cammino minimo da v i a v j concatenato al cammino minimo da v j a v k Dim.: Se esistesse un cammino più breve da v i a v j (o da v j a v k ) esso verrebbe usato anche nel cammino minimo da v i a v k Grafi I.100

51 Modello PLI di SPP min Σ (i,j): Α c ij x ij Costo cammino N. archi uscenti N. archi entranti Σ (h,j): Γ + (h) x hj Σ (i,h): Γ - (h) x ih = 1 se h = s 1 se h = t 0 se h V \{s,t} N. archi in S Σ (i,j):i,j S x ij S 1 S V, S 0 x ij 1 intero (i, j) A Grafi I.101 Vincoli subtour elimination v v 8 v v v 6 Σ (i,j):i,j S x ij S 1 S V, S Se c ij 0 il cammino minimo è semplice ridondanti Grafi I.10

52 Algoritmo di Dijkstra (15) Strutture dati W = L(v) = insieme dei vertici raggiunti in modo permanente da s costo del cammino minimo da s a v passante solo per j W pred(v) = vertice che precede v nel cammino da s a v Grafi I.10 Procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. n-1 iterazioni iterazione numero operaz. a V \ W tempo O(n ) Grafi I.104

53 Teorema Se L(v * ) = min v V\W { L(v) } il cammino minimo da s a v * è lungo L(v * ) Dimostrazione Dimostriamo che qualunque cammino P da s a v * è lungo almeno L(v * ): Se P passa solo per vertici di W, vero per definizione di L( ); altrimenti sia h il primo vertice W che si incontra in P P cammino da s a h (lungo almeno L(h) L(v * ) ) + cammino da h a v * di lunghezza 0 Dimostrazione non valida se ci sono distanze negative Grafi I.105 Esempio s 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 v Grafi I.106

54 Inizializzazione [0,0] v 1 v 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = {v 1 } v Grafi I.10 Inizializzazione etichette [,v 1 ] 4 1 [,v 1 ] 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. W = {v 1 } [4,v 1 ] v [,v 1 ] Grafi I.108

55 Selezione vertice (1) [,v 1 ] 4 1 [,v 1 ] 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. W = {v 1, } [4,v 1 ] v [,v 1 ] Grafi I.10 Aggiornamento etichette (1) [5, ] [,v 1 ] 4 1 [,v 1 ] 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. W = {v 1, } [4,v 1 ] v [,v 1 ] [1, ] Grafi I.110

56 Selezione vertice () [5, ] 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = {v 1,, } [4,v 1 ] v [1, ] Grafi I.111 Aggiornamento etichette () [5, ] 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = { v 1,, } v [11, ] Grafi I.11

57 Selezione vertice () [5, ] 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = {v 1,,,v } v [11, ] Grafi I.11 Aggiornamento etichette () 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = {v 1,,,v } v [11, ] Grafi I.114

58 Selezione vertice (4) 4 1 procedure DIJKSTRA W := { s }; L(s) := 0; pred(s) := 0; for each v V \{ s } do L(v) := c(s,v); pred(v) := s; while W <n do trova v * V \W : L(v * ) = min v V\W { L(v) }; W := W {v * }; for each v V \W do if L(v * ) + c(v *, v) < L(v) then L(v) := L(v * ) + c(v *, v); pred(v) := v * ;. 1 W = {v 1,,,v,v 1 } v [11, ] Grafi I.115 Soluzione [0,0] v 1 [5, ] v 4 1 [,v 1 ] 1 v [4,v 1 ] [11,v4 ] v L(v) pred(v) v v 5 v 11 4 v 1 v 1 Grafi I.116

59 Esempio s 8 v 1 v W L(v) {1} (0, 8,, 5, 4) {1, 5} (0,, 10,5, 4) {1, 5, 4} (0,,, 5, 4) {1, 5, 4, } (0,, 8, 5, 4) {1, 5, 4,, } (0,, 8, 5, 4) 4 v Grafi I.11