Teoria della Complessità Computazionale Parte II: Classi di Complessità

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1 Teoria della Complessità Computazionale arte II: Classi di Complessità Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev Ottobre 2003 Classi di complessità: ed N classe dei problemi in RV per cui si conosce un algoritmo polinomiale (Es. Ricerca, SST ) N classe dei problemi in RV per cui si può verificare che la soluzione è SI in un numero polinomiale di passi (certificato polinomiale) (Es. HC N, un circuito è Hamiltoniano se visita n vertici) Compl-II.2

2 Classe N Un problema in N: certificato polinomiale risolubile con un albero decisionale di altezza µ (I) Risolubile in tempo polinomiale da un calcolatore non deterministico (N = Non-deterministic olynomial) Compl-II.3 Classe N (2) Se un problema N c è la speranza di risolverlo in tempo polinomiale Quasi tutti i problemi di Ott. Comb. in RV N N N er la maggior parte dei problemi di Ott. Comb. non si conosce un algoritmo polinomiale = N? (MOLTO IMROBABILE) Compl-II.4

3 Classi di complessità: co-n co-n classe dei problemi in RV per cui si può verificare che la soluzione è NO in un numero polinomiale di passi (Es. verifica se G non contiene HC co-n, dato un HC la risposta è NO) N co-n Compl-II.5 Confronto tra OV e RV Th. Un problema in OV ed il suo equivalente in RV hanno la stessa difficoltà DIM. a) RV non è più difficile di OV: risolvendo il problema in OV si può stabilire se la risposta per RV è SI o NO Es. K01 in RV ( p,w,w,k ) algoritmo per K01 in OV ( p,w,w ) z * se z * K la risposta è SI, altrimenti è NO Compl-II.6

4 Confronto tra OV e RV (2) b) sotto l ipotesi (realistica) che il valore massimo U della f. obiettivo sia codificabile con un n. di bit polinomiale nella dimensione del problema, OV non è più difficile di RV: si usa più volte un algoritmo per RV con valori di tentativo per z * (risposta SI/NO) usando la ricerca binaria si trova z * in al più log 2 U (n. polinomiale) di esecuzioni di RV Compl-II.7 Ricerca binaria per K01 (OV) 1. oni U = Σ i=1, n p i, L = 0, K = (U-L)/2 2. Risolvi K01 in RV 3. Se la risposta è SI poni L=K altrimenti U=K 4. Se U L vai al passo 2 L=K SI L = 0 K=50 K=75 U=100 Compl-II.8

5 Trasformazioni polinomiali A N è trasformabile polinomialmente in B N (A B) se algoritmo polinomiale che istanza di A definisce un istanza di B che ha soluzione SI se e solo se l istanza di A ha soluzione SI A non è più difficile di B Es. Cammino più lungo in RV (L): Istanza : grafo G pesato, vertici s e t, un intero Κ Domanda : cammino elem. da s a t, avente costo K? Compl-II.9 Trasf. olinomiali: HC L 1) istanza di HC: G =(V, A) 2) istanza di L: (V, A, c, σ, ρ, K ) v 1 v 1 v 1 V =V {v 1 }; A = (A\{(v j,v 1 ) A}) {(v j,v 1 ):(v j,v 1 ) A} c ij = 1 (v i,v j ) A L(V, A, c, v 1, v 1, V ) HC è SI L è SI (il cammino più lungo vale V ) Compl-II.10

6 Trasformazioni polinomiali Se A B: algoritmo polinomiale per B algoritmo polinomiale per A Se A B e B C A C Dim. La somma di polinomi è un polinomio Compl-II.11 roblemi N-completi A N è N completo se B N, B A Se algoritmo polinomiale per A, allora algoritmo polinomiale per tutti i problemi N. A non è più facile di ogni problema N ogni problema N è un caso particolare di A Compl-II.12

7 roblemi N-completi (2) N-c N Difficoltà crescente Compl-II.13 roblemi N-completi (3) fino al 1970 Non si conoscono problemi Nc Soddisfacibilità SAT Istanza : un espressione booleana (and,or,not) in forma congiuntiva normale in n variabili x 1,,x n Domanda : un assegnamento dei valori VERO e FALSO alle variabili che rende vera l espressione? Es. n = 5 (x 1 x 2 x 3 ) (x 4 ) (x 5 x 6 ) Compl-II.14

8 roblemi N-completi (4) 1971 Cook dimostra che SAT è N-c N N-c Compl-II.15 roblemi N-completi (5) 1972 Karp dimostra che SAT HC, SAT K01, SAT altri 4 problemi N-c N Compl-II.16

9 roblemi N-completi (6) 1973-oggi Viene dimostrato che moltissimi problemi sono N-c. Restano alcuni problemi aperti. N N-c? Compl-II.17 Dimostrazioni di N-c (1) er dimostrare che un problema A è N-c: 1) dimostrare che A N certificato olinomiale del SI o risolubile con albero decisionale di altezza µ (I) 2) B N, B A, OURE 2 ) B N c : B A Compl-II.18

10 Dimostrazioni di N-c (2) Es. L N-c infatti HC N-c e L HC (già visto) Es. L01 N-c L01 N (triviale), trasf da SAT ( N-c) SAT L01 n variabili booleane x j k clausole C i ; poni { + 1 se x j C i a ij = 1 se x j C i b 0 altrimenti i = 1 - {j : x j C i } Compl-II.19 Dimostrazioni di N-c (3) Es. SAT L01 (x 1 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 3 ) x 1 1 x 1 + x 2 x 3 1 x 3 1 Compl-II.20

11 Dimostrazioni di N-c (4) Cammino semplice da v a se stesso con costi degli archi qualsiasi N-c Un cammino semplice da un vertice a se stesso ha al più n archi: se ne ha esattamente n è un HC HC N-c Dato un grafo G=(V, A) definendo c ij = 1 per ogni (i,j) A, se il cammino semplice di costo minimo da un qualunque vertice v a se stesso ha costo n, tale cammino è un HC Compl-II.21