Capitolo 9: Trattabilitá e intrattabilitá dei problemi

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1 Capitolo 9: Trattabilitá e intrattabilitá dei problemi 1

2 La classe P : é considerata tradizionalmente come una caratterizzazione formale dei problemi trattabili. n = 2 n = 5 n = 10 n = 100 n = 1000 n n n n n n Numero di passi eseguiti da algoritmi con diverse complessitá. 2

3 Usando una macchina che esegue un passo di computazione in 10 nanosecondi (10 8 secondi) si ha: n = 2 n = 5 n = 10 n = 100 n = 1000 n 20 ns 50 ns 100 ns 1 µs 10 µs n 2 40 ns 250 ns 1 µs 100 µs 10 ms n 3 80 ns 1.25 µs 10 µs 10 µs 10 sec n ns 150 µs 10 ms 3 ore 300 anni 2 n 40 ns 320 ns 10 µs anni anni 2 n2 160 ns 0.3 sec anni anni anni Tempi di calcolo di algoritmi con diverse complessitá. 3

4 Gli algoritmi con complessitá polinomiale sono gli unici che comportano, in caso di miglioramenti tecnologici, la possibilitá di trattare negli stessi tempi istanze di dimensioni significativamente maggiori. t t/10 t/1000 t/10 6 t/10 9 n N 10 N 1000 N 10 6 N 10 9 N n 2 N 3.16 N 31.6 N 1000 N N n 3 N 2.15 N 10 N 100 N 1000 N n 6 N 1.46 N 3.16 N 10 N 31.6 N 2 n N N N N N n2 N N N N N Aumento della dimensione delle istanze trattabili in uno stesso limite di tempo ottenuto da incrementi di velocitá di calcolo 4

5 Tipici problemi di complessitá polinomiale (risolti efficientemente dai calcolatori) sono i problemi di ordinamento, di interrogazione di basi di dati, di ricerca di percorsi minimi in grafi, di programmazione lineare. Ad oggi, non si sa se tutti i problemi in P hanno complessitá equivalente. Ad esempio, alcuni problemi in P possono essere risolti in spazio logaritmico; ma tale fatto vale per tutti i problemi in P?. Le riducibilitá polinomiali non ci aiutano a caratterizzare la complessitá di problemi in P (infatti, se P 1 e P 2 P, allora P 1 p m P 2 e P 2 p m P 1 ). 5

6 Definizione 1 Dati due problemi P 1 e P 2, si dice che P 1 é logspace Karp-riducibile a P 2 (P 1 logsp m P 2 ) se e solo se P 1 e Karpriducibile a P 2 e la riduzione é un algoritmo calcolabile in spazio logaritmico. Se un algoritmo termina utilizzando spazio logaritmico, allora richiede tempo al piú polinomiale (dimostrarlo); quindi una riduzione log-space é anche polinomiale (ma non vale il contrario). Esistono problemi piú difficili (P -completi) rispetto alla riducibilitá log-space? Esistono cioé problemi che rappresentano tutti i problemi in P?? 6

7 Corollari immediati: 1. se un problema P -completo é risolubile in spazio logaritmico, allora P = LOGSP ACE. 2. un problema si dice efficientemente parallelizzabile se ogni istanza di dimensione n é risolubile da n k processori con tempo (parallelo) O(log h k). Se P 1 é efficientemente parallelizzabile, e P 2 logsp m P 1, allora anche P 2 é efficientemente parallelizzabile. Quindi, se trovo un problema P -completo che é anche efficientemente parallelizzabile, allora tutti i problemi in P lo sono. 7

8 P -completezza La P -completezza di un problema di decisione P P é mostrata individuando una riduzione log-space da qualche altro problema P -completo P 1. Infatti, si ha: P 2 logsp m P 1, per ogni P 2, essendo P 1 P -completo; P 1 logsp m P (lo dimostriamo); allora, per transitivitá, P 2 logsp m P, per ogni P 2, e quindi P é P -completo; Cerchiamo un problema P -completo iniziale. 8

9 Definizione 2 Un circuito booleano é un grafo orientato aciclico in cui ogni nodo ha d in 2 archi entranti. In particolare: 1. i nodi con d in = 0 sono detti nodi di input; 2. i nodi con d in = 1 sono detti porte NOT; 3. i nodi con d in = 0 sono detti porte AND o porte OR. Tutti i nodi hanno d out > 0, eccetto un solo nodo di output. dimensione del circuito = numero di nodi; profonditá = lunghezza massima fra input e output. 9

10 Sia I(C) l insieme di n nodi di input del circuito C; data una assegnazione di n valori booleani, il circuito calcola i valori booleani in uscita da ogni nodo, applicando su ogni porta l operatore ad essa associato. Il circuito calcola la funzione f C : {0, 1} n {0, 1} tale che f C (b 0,..., b n 1 ) = 1 sse il circuito restituisce il valore 1 per input b 0,..., b n 1. Definizione 3 Dato C, con I(C) = n, il linguaggio deciso da C é l insieme delle stringhe w {0, 1} n tale che f C (w) = 1 10

11 VALORE CALCOLATO DA UN CIRCUITO (problema P -completo) ISTANZA: circuito booleano C con nodi di input I(C) ; stringa w {0, 1} n. PREDICATO: si ha f C (w) = 1? Teorema 4 Sia L {0, 1} n un linguaggio tale che L P ; allora esiste un circuito C con n nodi di input e con dimensione e profonditá polinomiali in n che decide L. Teorema 5 Il problema VALORE CALCOLATO DA UN CIR- CUITO é P -completo rispetto ad una riduzione log-space 11

12 La classe NP Molti problemi di decisione non hanno algoritmi polinomiali per la loro soluzione, ma non si sa se sono esponenziali. Sono peró decidibili in tempo polinomiale da macchine di Turing non deterministiche (ad esempio, SODDISFACIBILITÁ). Ad ogni problema di decisione P che chiede se l istanza x Y P o no, possiamo associare un problema di verifica il quale, data una possibile soluzione s, chiede se s é soluzione per x. In generale, verificare una soluzione é piú facile che risolvere il problema di decisione nella sua forma originaria?? 12

13 In particolare, verificare le soluzioni di un problema vuol dire risolvere il problema in modo non deterministico, nel modo seguente: una macchina non deterministica genera inizialmente tutte le stringhe che possono essere soluzione del problema, e verifica deterministicamente se ogni stringa é soluzione. Se le soluzioni hanno dimensione polinomiale allora la fase di generazione non deterministica richiede tempo polinomiale; se la verifica é polinomiale, allora tutta la macchina opera in tempo polinomiale. Un algoritmo non deterministico é tale che, oltre a tutte le istruzioni usuali del modello scelto, ha un comando di guess, eseguito in un solo passo di computazione. 13

14 Quindi, puó indovinare come continuare la computazione nell insieme finito delle possibili continuazioni della computazione svolta. Definizione 6 Dato un problema di decisione P, un algoritmo non deterministico A risolve P se per ogni istanza x Y P, esiste almeno una sequenza di guess tale che A restituisce il valore VERO, e per ogni x / Y P, non esiste alcuna sequenza di guess tale che A restituisce il valore VERO. La classe NP é ridefinita come la classe di tutti i problemi risolti da algoritmi deterministici che operano in tempo polinomiale a partire da guess di lunghezza polinomiale. P = N P? vuol dire chiedersi se verificare efficientemente un problema di decisione é equivalente a risolvere efficientemente lo stesso problema. 14

15 NP -completezza Un problema P NP é NP -completo se ogni P 1 NP é Karpriducibile polinomialmente a P. La NP -completezza di un problema di decisione P P é mostrata individuando una riduzione polinomiale da qualche altro problema P -completo P 1. Infatti, si ha: P 2 p m P 1, per ogni P 2, essendo P 1 NP -completo; P 1 p m P (lo dimostriamo); allora, per transitivitá, P 2 p m P, per ogni P 2, e quindi P é NP -completo; (Cosa accade se posso risolvere in tempo polinomiale un problema NP -completo?) 15

16 Teorema 7 (di Cook) Il problema SODDISFACIBILITÁ é N P - completo rispetto ad una riduzione polinomiale. 16

17 La classe co-np Definizione 8 Dato un problema di decisione P, il problema complementare co P é un problema di decisione tale che I co P = I P, Y co P = N P e N co P = Y P. Definizione 9 Data una classe di complessitá C, la corrispondente classe complementare co C é la classe contenente tutti e soli i problemi complementari a problemi in C: co C = {P : co P C}. Indichiamo con co P e co N P le classi complementari di P e NP. 17

18 (i) P = co P (immediato); (ii) se NP co NP allora P NP ; (iii) se NP = co NP, non necessariamente P = NP ; (iv) se un problema P é N P -completo, allora il suo complementare co P é co NP -completo. Teorema 10 Se un problema P é co N P -completo, P P implica P = NP. Teorema 11 Se un problema P é co N P -completo, P N P implica NP = co NP. Teorema 12 Se un problema P é N P -completo, P co N P implica NP = co NP. 18

19 La classe P SP ACE: é l insieme dei problemi risolubili in spazio polinomiale nella dimensione dell istanza. (i) P = NP non implica P SP ACE = P. (ii) Per il teorema di Savitch, NSP ACE = DSP ACE. FORMULA BOOLEANA QUANTIFICATA (problema P SP ACE-completo) ISTANZA: formula booleana F su una sequenza X = {x 1,..., x n } di variabili booleane. PREDICATO: la formula booleana quantificata Φ = Q 1 x 1 Q 2 x 2... Q n x n F (x 1, x 2,..., x n ), con Q i = Q i+1 =, e Q i = Q i+1 =, é vera? 19

20 Teorema 13 Il problema FORMULA BOOLEANA QUANTIFI- CATA é P SP ACE-completo rispetto alla riducibilitá log-space. 20