Capitolo 5: Macchine di Turing e calcolabilitá secondo Turing

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1 Capitolo 5: Macchine di Turing e calcolabilitá secondo Turing 1

2 Macchina di Turing (MDT ) Un dispositivo che accede a un nastro (potenzialmente) illimitato diviso in celle contenenti ciascuna un simbolo di un alfabeto fissato, piú il carattere b (cella vuota). La MDT opera sul nastro con una testina: puó leggere o scrivere un carattere in una cella, spostarsi a destra o sinistra. In ogni istante la macchina si trova in uno stato, e la computazione evolve attraverso la funzione di transizione δ: stato corrente + contenuto della cella su cui é la testina = nuovo stato + carattere da scrivere + spostamento. 2

3 Definizione 1 Una macchina di Turing deterministica (M DT ) é una sestupla M = Γ, b, Q, q 0, F, δ, dove: Γ é l alfabeto dei simboli di nastro b / Γ é il carattere speciale di cella vuota Q é un insieme non vuoto e finito di stati q 0 Q é lo stato iniziale F Q é l insieme degli stati finali δ é la funzione di transizione, definita come δ : (Q F ) (Γ { b}) Q (Γ { b}) {d, s, i} 3

4 Configurazioni e transizioni di una M DT Una configurazione istantanea di una M DT é l insieme del contenuto del nastro, della posizione della testina, e dello stato corrente. Definizione 2 Una configurazione istantanea di una M DT M = Γ, b, Q, q 0, F, δ é una stringa c = xqy, dove: 1. x ΓΓ {ε} (da ora in poi, L Γ ) 2. q Q 3. x Γ Γ { b} (da ora in poi, R Γ ) In xqy, xy rappresenta il contenuto della sezione non vuota del nastro; q é lo stato attuale; la testina é sul primo carattere di y. 4

5 La configurazione iniziale di una M DT prevede che: lo stato iniziale sia q 0 il nastro contenga l input x su x celle contigue (le altre vuote) la testina sia posizionata sul primo carattere di x. La configurazione finale di una MDT prevede che lo stato della macchina sia uno stato finale. Definizione 3 Una configurazione c = xqy si dice iniziale se x = ε, q = q 0, y Γ + { b} Definizione 4 Una configurazione c = xqy si dice finale se q F. 5

6 Funzione di transizione: data una configurazione c, un applicazione di δ produce una configurazione c (c M c ) come segue: 1. c = xqay, con x L Γ, y Γ Γ, a Γ, e δ(q, a) = (q, a, d) = c = xa q y; 2. c = xqy, con x L Γ, a Γ, e δ(q, a) = (q, a, d) = c = xa q b; 3. c = xaqby, con xa ΓΓ, y Γ Γ {ε}, b Γ e δ(q, b) = (q, b, s) = c = xq ab y; 4. c = qby, con y Γ Γ {ε}, b Γ, e δ(q, b) = (q, b, s) = c = q bb y; 5. c = xqay, con x L Γ, β Γ Γ {ε}, a Γ, e δ(q, a) = (q, b, i) = c = xq a y; 6

7 Computazione di una macchina di Turing Definizione 5 Data una macchina di Turing M = Γ, b, Q, q 0, F, δ, e dato un alfabeto di input Σ Γ, una stringa x Σ é accettata ( rifiutata) da M se esiste una computazione di accettazione (di rifiuto) con c 0 = q 0 x. Questa definizione implica che la macchina puó anche non terminare. Si puó sapere se una computazione termina? In altri termini, esiste una macchina M che puó dire se M termina per input x (problema dell halt)? 7

8 Definizione 6 Sia M = Γ, b, Q, q 0, F, δ una macchina di Turing deterministica. M riconosce ( decide) un linguaggio L Σ (con Σ Γ) sse per ogni x Σ esiste una computazione massimale q 0 x M wqz, con w ΓΓ {ε}, z Γ Γ { b}, e dove q F sse x L. Definizione 7 Sia M = Γ, b, Q, q 0, F, δ una macchina di Turing deterministica. M accetta un linguaggio L Σ (con Σ Γ) sse L = {x Σ q 0 x M wqz}, con w ΓΓ {ε}, z Γ Γ { b}, e q F. 8

9 Calcolo di funzioni Definizione 8 Sia M = Γ, b, Q, q 0, F, δ una MDT deterministica (un trasduttore) e f : Σ Σ, (Σ Γ); M calcola la funzione f sse per ogni x Γ : 1. se x Σ e f(x) = y allora q 0 x M x bqy, con q F ; 2. se x / Σ, oppure se x Σ e f(x) non definita, allora non esistono computazioni massimali, oppure esistono computazioni massimali che non terminano in uno stato finale. Codifica dei dati. 9

10 Calcolabilitá secondo turing Formalizziamo il concetto di calcolo secondo Turing (avendo a disposizione una definizione formale di algoritmo). Definizione 9 Un linguaggio é decidibile secondo Turing (Tdecidibile) se esiste una macchina di Turing che lo riconosce. Definizione 10 Un linguaggio é semidecidibile secondo Turing (T-semidecidibile) se esiste una macchina di Turing che lo accetta. Problema: Esistono linguaggi T-semidecidibili non T-decidibili? Definizione 11 Una funzione é detta calcolabile secondo Turing (T-calcolabile) se esiste una macchina di Turing che la calcola. 10

11 Macchine di Turing multinastro Definizione 12 Una macchina di Turing a k 2 nastri (MT M) é una sestupla M (k) = Γ, b, Q, q 0, F, δ k, con Γ = k i=1 Γ i é l unione dei k alfabeti di nastro Γ 1... Γ k. La funzione di transizione é definita come δ (k) : (Q F ) Γ 1... Γ k Q Γ 1... Γ k {d, s, i} (k). La macchina esegue una transizione a partire da uno stato interno q i e con le k testine (una per nastro) posizionate sui caratteri a i1,..., a ik, e con δ (k) (q i, a i1,..., a ik ) = (q j, a j1,..., a jk, z j1,..., z jk ), con z jl {d, s, i}. 11

12 Configurazioni e transizioni di MTM La configurazione di una MT M deve descrivere lo stato, i nastri e i caratteri osservati. Definizione 13 Una configurazione istantanea di una macchina di Turing multinastro é una stringa del tipo q α 1 β 1 α 2 β 2... α k β k dove α i Γ i Γ i {ε} e β i Γ i Γ i { b}, con il simbolo che indica la posizione di ogni testina e un separatore. 12

13 Definizione 14 Una configurazione q α 1 β 1... α k β k si dice iniziale se α i = ε, β 1 Γ 1, β i = Z 0 (i = 2,..., k), e q = q 0. Definizione 15 Una configurazione q α 1 β 1... α k β k finale se q F. si dice Definizione 16 L applicazione della funzione di transizione δ (k) ad una configurazione si dice transizione o mossa o passo computazionale di una MT M. Estensione delle definizioni per M DT. In particolare: Definizione 17 Una MT M M calcola la funzione f(x) se q 0 x Z 0... Z 0 M q x f(x)... b, con q F. 13

14 Equivalenza fra MDT e MT M Macchine di Turing e macchine di Turing multinastro hanno differente potere computazionale? In altri termini, i linguaggi accettati (risp., le funzioni calcolate) da una MDT sono gli stessi accettati (calcolate) da un MT M?? Teorema 18 Data una macchina di Turing M (k) = Γ, b, Q, q 0, F, δ k, esiste una macchina a un nastro che simula t passi di M in O(t 2 ) transizioni usando un alfabeto di dimensione O((2 Γ ) k ). Come conseguenza del teorema, MDT e MT M hanno lo stesso potere computazionale. 14

15 Macchine di Turing non deterministiche (MT ND) Le macchine di Turing non deterministiche hanno un potere computazionale maggiore di quelle deterministiche? Definizione 19 Una macchina di Turing non deterministica (MT ND) é una sestupla M = Γ, b, Q, q 0, F, δ, dove: Γ é l alfabeto dei simboli di nastro b / Γ é il carattere speciale di cella vuota Q é un insieme non vuoto e finito di stati q 0 Q é lo stato iniziale F Q é l insieme degli stati finali δ é la funzione di transizione (parziale), definita come δ : Q Γ P(Q Γ {d, s, i}). 15

16 Definizione 20 Dato una alfabeto Σ Γ, una stringa x Σ é accettata dalla macchina M se esiste una computazione accettante c 0,..., c n di M, con {c 0 = q 0 x}. Definizione 21 Dato una alfabeto Σ Γ, una stringa x Σ é rifiutata dalla macchina M se tutte le computazioni di M sono rifiutanti. Una MT ND rifiuta il suo input se perviene a configurazioni non finali sulle quali non si puó applicare la δ. Cosa succede al calcolo di una funzione tramite una macchina non deterministica? 16

17 Equivalenza fra MDT e MT ND Teorema 22 Per ogni macchina di Turing non deterministica M esiste una macchina di Turing deterministica M D a 3 nastri equivalente. Riduzione di MDT Teorema 23 Per ogni macchina di Turing M = Γ, b, Q, q 0, F, δ esiste una macchina di Turing a M equivalente, con nastro semiinfinito. 17

18 M DT linearizzate 18

19 La Macchina di Turing universale Qual é il potere computazionale della macchina di Turing? Esistono funzioni non calcolabili secondo Turing?? Definizione 24 Sia m : (Σ ) n Σ una funzione a piú argomenti. Una macchina di Turing M calcola m se realizza la computazione q 0 x 1 b... bx n M x 1 b... bx n bqy, con q stato finale sse m(x 1... x n ) = y. 19

20 Definizione 25 Una macchina di Turing U = Γ, b, Q, q 0, F, δ si dice macchina universale se calcola una funzione u : (Γ ) n+1 Γ con la seguente proprietá: data una qualunque macchina di Turing M = Γ, b, Q, q 0, F, δ che calcola la funzione m : (Γ ) n Γ, esiste una stringa c M Γ (una codifica di M) tale che u(c M x 1... x n ) = m(x 1... x n ). La macchina universale é quindi in grado di simulare il comportamento di ogni altra macchina di Turing. Esiste una tale macchina? 20

21 Il problema della terminazione (halting problem): data una macchina di Turing M ed una stringa x, stabilire se M termina la computazione avendo x come input. Teorema 26 Dati un alfabeto Γ ed una codifica che associa ad ogni macchina M = Γ, b, Q, q 0, F, δ una stringa c M Γ. La funzione h(c M, x) = non é T-calcolabile. 1 se M termina su input x, 0 se M non termina su input x. 21