Macchine di Turing. Francesco Paoli. Istituzioni di logica, Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 1 / 29

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1 Macchine di Turing Francesco Paoli Istituzioni di logica, Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 1 / 29

2 Alan M. Turing ( ) Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 2 / 29

3 Cos è un algoritmo? Un algoritmo è una procedura P effettiva o meccanica: 1 P dev essere formulata mediante un numero finito di istruzioni esatte, ognuna delle quali deve contenere un numero finito di simboli. 2 P deve produrre il risultato in un numero finito di passi. 3 P deve poter essere eseguita in linea di principio! da un essere umano, con carta e matita, senza l aiuto di una macchina. 4 P, per poter essere eseguita, non deve presupporre alcun ricorso all intuizione o all ingegno. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 3 / 29

4 L algoritmo euclideo per il MCD Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 4 / 29

5 La subroutine resto Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 5 / 29

6 L algoritmo euclideo esteso Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 6 / 29

7 Turing: l attività di calcolo Il calcolo, per Turing, ha tre caratteristiche essenziali: 1 Ci si serve di un numero finito di simboli disposti su un supporto; tali simboli possono essere scritti o cancellati un numero finito di volte. 2 Si può modificare il proprio campo visivo un numero finito di volte. 3 Ricordando un numero finito di istruzioni e atti già compiuti, si passa da una combinazione iniziale di simboli (gli argomenti della funzione da calcolare) a una combinazione finale (il valore della funzione per quegli argomenti). Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 7 / 29

8 Componenti di una macchina di Turing 1 Alfabeto 2 Nastro 3 Lettore 4 Memoria Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 8 / 29

9 Funzionamento di una macchina di Turing La macchina funziona per passi elementari successivi. In ciascun passo del calcolo, la macchina può: stampare o cancellare un certo simbolo, eventualmente passando da un certo stato interno a un altro stato interno; spostare il nastro di una cella a sinistra o a destra rispetto al lettore, eventualmente passando da un certo stato interno a un altro stato interno; fermarsi. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 9 / 29

10 Alcune convenzioni L alfabeto contiene due soli simboli, 0 e 1. Le celle contenente il simbolo 0 si considerano vuote. Prima dell avvio del calcolo, il lettore si trova sulla prima cella vuota a destra dell ultimo simbolo 1 presente sul nastro. Alla fine del calcolo (se la macchina si ferma), il lettore si trova sull ultima cella vuota a sinistra del primo simbolo 1 presente sul nastro. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 10 / 29

11 Macchina di Turing (definizione formale) Una macchina di Turing sull alfabeto {0, 1} a stati in S = {1,..., n} è un insieme M di quintuple ordinate (dette istruzioni) della forma I = S, R, W, M, N tale che: 1 S, N S; 2 R, W {0, 1}; 3 M è uno dei simboli L, R, H. La coppia S, R si dice testa dell istruzione S, R, W, M, N. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 11 / 29

12 Macchina di Turing deterministica Una macchina di Turing M sull alfabeto {0, 1} a stati in S = {1,..., n} si dice deterministica se per ogni stato m S esiste una e una sola istruzione I M con testa m, 0 ed una e una sola istruzione J con testa m, 1. Tutte le macchine di Turing che considereremo sono deterministiche. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 12 / 29

13 Esempi stupidi Macchina cancellatrice H H 1 Macchina cerca cella vuota a sinistra e macchina cerca 1 a destra R R H R L L L H 2 Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 13 / 29

14 La macchina per l addizione R R R R L R H H 4 Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 14 / 29

15 Struttura di una computazione Supponiamo che la macchina M a stati in S = {1,..., n} debba calcolare la funzione numerica k-aria F k per gli input n 1,..., n k. All inizio del calcolo: la macchina si trova nello stato 1; sul nastro sono stampati gli input n 1,..., n k, in notazione romana semplificata; il lettore si trova sulla cella vuota immediatamente a dx dell ultimo simbolo 1 nella rappresentazione di n k. Alla fine del calcolo (se la macchina si ferma!): la macchina si trova nello stato n; sul nastro è stampato l output F k (n 1,..., n k ), in notazione romana semplificata; il lettore si trova sulla cella vuota immediatamente a sx del primo simbolo 1 nella rappresentazione di F k (n 1,..., n k ). Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 15 / 29

16 Verso il concetto di configurazione Come si presenta una macchina di Turing M a un determinato passo t di un calcolo? Tutte le informazioni pertinenti sono racchiuse in tre parametri: 1 la cella su cui è posizionato il lettore al passo t; 2 ciò che è scritto sul nastro al passo t; 3 lo stato in cui si trova M al passo t. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 16 / 29

17 Configurazione Sia M una macchina di Turing a stati in S = {1,..., n}. Una configurazione di M è una tripla ordinata K = p, C, s, dove: 1 p è un numero intero, detto posizione di K; 2 C è una funzione da Z (insieme dei numeri interi) a {0, 1}, detta condizione di K (C (x) = 1 per almeno un x Z e per al più un numero finito di x Z); 3 s {1,..., n} ed è detto stato di K. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 17 / 29

18 Come si calcola la configurazione successiva Sia K = p, C, s una configurazione di M. La configurazione successiva di K è la configurazione K = p, C, s determinata come segue: 1 Si prende l istruzione I M con testa s, C (p) (si noti che esiste ed è unica!); siano W, M, N le rimanenti componenti di I. p + 1 se M = L; 2 p = p 1 se M = R; p se M = H. 3 s = N. ; C (x) = 0 se x = p e W = 0; 1 se x = p e W = 1; C (x) se x = p. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 18 / 29

19 Computazione Sia M una macchina di Turing a stati in S = {1,..., n}. Una computazione di M a partire dalla posizione p 1, dalla condizione iniziale C 1 e dallo stato iniziale 1 è una successione finita di configurazioni K 1,..., K m tale che: K 1 = p 1, C 1, 1 ; per ogni i < m, K i+1 = (K i ) ; lo stato di K m occorre come prima e quinta componente di un istruzione I M che contiene il simbolo H. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 19 / 29

20 Funzione Turing-computabile Una funzione numerica k-aria F k si dice Turing-computabile se esiste una macchina di Turing M tale che per ogni possibile input n 1,..., n k esiste una computazione K 1,..., K m con le seguenti caratteristiche: la condizione di K 1 è la funzione (da numeri di celle a simboli) che corrisponde alla rappresentazione romana semplificata dell input n 1,..., n k ; la condizione di K m è la funzione (da numeri di celle a simboli) che corrisponde alla rappresentazione romana semplificata dell output F k (n 1,..., n k ). Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 20 / 29

21 Macchina di Turing universale Sia M una macchina di Turing in grado di calcolare il valore della funzione k-aria F k per ogni possibile input n 1,..., n k. Una macchina di Turing M simula M se, ricevendo come input gli argomenti n 1,..., n k e una codifica nell alfabeto {0, 1} delle istruzioni di M, restituisce come output F k (n 1,..., n k ). Una macchina di Turing U si dice universale se può simulare ogni altra macchina di Turing M. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 21 / 29

22 Esistenza delle macchine universali Theorem Esiste una macchina di Turing universale. Dimostrazione. (schema) Si mostra che è possibile enumerare in modo sistematico tutte le macchine di Turing e codificarne la tavola delle istruzioni nell alfabeto {0, 1}. Ogni macchina di Turing è identificata dal suo indice n, ossia dal posto che occupa in questa enumerazione. Si mostra che esiste una macchina U, la quale, ricevuti in input i numeri n 1,..., n k, j, inizia a computare e calcola dapprima la codifica della tavola delle istruzioni di M j, poi il risultato della funzione F k (n 1,..., n k ), dove F k è la funzione calcolata da M j. rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 22 / 29

23 Problemi Turing-decidibili Un problema P che ammette risposte sì-no è Turing-decidibile se esiste una macchina di Turing M la quale, ricevuta in input la codifica di una qualsiasi istanza I di P, si ferma dopo un numero finito di passi stampando l output 1 se la risposta ad I è affermativa, 0 se la risposta ad I è negativa. Per esempio, il problema P di stabilire se un numero naturale è pari è Turing-decidibile. Ogni istanza I di P è costituita da un numero naturale. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 23 / 29

24 Problema della fermata: enunciazione Consideriamo il problema P che consiste nello stabilire se una generica macchina di Turing si fermerà o no quando riceve un certo input. Le istanze di P saranno coppie ordinate n, m, dove n è l indice della macchina di Turing M n e m la codifica del suo input. Ci chiediamo se P è un problema Turing-decidibile. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 24 / 29

25 Problema della fermata: conseguenze NB Se lo fosse, avremmo una procedura di decisione per il problema Q che consiste nello stabilire se una generica formula α del primo ordine è un teorema del calcolo della deduzione naturale. Non è diffi cile costruire una macchina di Turing M che esamina tutte le possibili dimostrazioni di α e si ferma stampando l output 1 quando ne ha trovata una. Se P fosse un problema Turing-decidibile, basterebbe avviare la macchina H che lo decide e chiederle se M si fermerà o no se applicata alla codifica di α. In questo modo Q risulterebbe Turing-decidibile. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 25 / 29

26 Indecidibilità del problema della fermata (1) L idea intuitiva è porre alla macchina la domanda: Ti fermerai se ti viene chiesto se non ti fermerai?. Se la macchina fosse in grado di rispondere a questa domanda si determinerebbe una contraddizione. Theorem Non esiste nessuna macchina di Turing H che, ricevuto l input n, m, stampa l output 1 se la macchina di Turing M n si ferma quando riceve l output m, e stampa l output 0 altrimenti. Dimostrazione. (Cenni!) Supponiamo per assurdo che H esista. Essendo una macchina di Turing, H avrà un certo indice i. rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 26 / 29

27 Indecidibilità del problema della fermata (2) Dimostrazione. Si può definire una nuova macchina di Turing K che, se applicata all input n, produce l output 1 se H produce l output 0 se applicata all input n, n, mentre non si ferma se H produce l output 1 se applicata all input n, n. Essendo una macchina di Turing, K avrà un certo indice j. Cosa succede se a K viene fornito l input j? Darà l output 1 se H produce l output 0 se applicata all input j, j, non si ferma se H produce l output 1 se applicata all input j, j. Contraddizione! rancesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 27 / 29

28 Il teorema di Church-Turing (1) Sia Σ = {σ 1,..., σ 7 } l insieme finito di enunciati corrispondente all aritmetica di Robinson. Consideriamo la relazione su N { m, h : la macchina dituring di indice m, applicata R = all input m, si ferma entro h passi. } Il problema di decidere se una coppia ordinata m, h appartiene a R è Turing-decidibile (si costruisce una macchina che stabilisce se m è indice di una macchina di Turing e, in caso affermativo, ne spacchetta la tavola delle istruzioni, esegue h passi di calcolo e vede se la macchina si ferma). Per il teorema di rappresentabilità, esiste una formula del primo ordine β (x, y) tale che β (x/ m, y/ h ) è derivabile da Σ quando m, h R. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 28 / 29

29 Il teorema di Church-Turing (2) Consideriamo la formula y β ( m, y) e supponiamo di poter decidere se è derivabile da Σ. Allora saremmo in grado di decidere il problema della fermata! Contraddizione. Se adesso per ogni formula α del primo ordine esistesse una macchina di Turing che decide se è un teorema del calcolo della deduzione naturale, ciò varrebbe in particolare per σ 1... σ 7 y β ( m, y). Ma allora saremmo in grado di decidere se y β ( m, y) è derivabile da Σ. Contraddizione. Francesco Paoli (Istituzioni di logica, ) Macchine di Turing 29 / 29