Parte I.5 Cenni alla computazione

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1 Parte I.5 Cenni alla computazione Elisabetta Ronchieri Università di Ferrara Dipartimento di Economia e Management Insegnamento di Informatica Dicembre 14, 2015 Elisabetta Elisabetta Ronchieri I Concetti Base Base

2 Argomenti Cosa è in grado di fare l elaboratore e come può sfruttare appieno le proprie abilità Concetto di funzione Quali sono i problemi risolvibili Classificazione dei problemi

3 Funzioni e loro calcolo

4 Funzione Dal punto di vista matematico una funzione è la corrispondenza tra un insieme di valori di ingresso e un insieme di valori di uscita. Ciascun valore in ingresso ha assegnato un valore di uscita univoco. Il calcolo della funzione è il processo di determinazione del valore di uscita dato il valore di ingresso. Calcolare le funzioni permette di risolvere i problemi. L informatica si prefigge di trovare tecniche per calcolare le funzioni che risolvono i problemi.

5 Tecnica: uso di tabelle Supponiamo che un programma usi una tabella per memorizzare tutte le corrispondenze tra valori di ingresso e quelli di uscita. Si ricerca nella tabella il valore di uscita della funzione a partire dal valore di ingresso. Calcolare la funzione significa ricercare un valore nella tabella. Questa soluzione presenta dei limiti: Non è possibile rappresentare in forma tabellare tutte le funzioni. Ne sono esempio la funzione di conversione delle unità di misura o di ordinamento.

6 Funzione di conversione Funzione che converte in Celsius le temperature espresse in Fahrenheit. Ad ogni misura della temperatura in Fahrenheit la funzione fa corrispondere il valore in Celsius. La tabella visualizza la funzione: E destinata a rimanere sempre incompleta non essendoci limite alle coppie di valori di ingresso e uscita. Fahrenheit (ingresso) Celsius (uscita) 1-17, , , , , ,

7 Funzione di ordinamento Funzione che ordina secondo una regola prestabilita i valori di ingresso di una lista. Ad ogni lista in ingresso fa corrispondere una lista in uscita i cui valori sono gli stessi dell ingresso ma ordinati. La tabella visualizza la funzione. E destinata a rimanere sempre incompleta non essendoci limite alle coppie di liste di valori di ingresso e uscita. Lista di valori (ingresso) Lista di valori (uscita)

8 Tecnica: uso di formule algebriche Supponiamo che un programma usi una formula algebrica. Calcolare la funzione significa seguire le istruzioni fornite dalla formula algebrica. Questa soluzione presenta dei limiti: Non è possibile usare le formule algebriche quando le relazioni tra ingresso e uscita sono troppo complesse. Ne sono esempio le funzioni trigonometriche, la funzione radice, la funzione che effetua la divisione tra interi.

9 Tecnica: uso di soluzioni sofisticate Per risolvere funzioni sempre più complesse si possono usare tecniche sofisticate. Di fatto per funzioni molto complesse non è possibile trovare una tecnica di risoluzione (un algoritmo) che associ ai valori di ingresso quelli di uscita. Il calcolo va oltre quello messo a disposizione dagli algoritmi. Queste sono le funzioni non computabili. Tutte le funzioni i cui valori di uscita possono essere determinate da algoritmi che usano valori di ingresso sono dette computabili.

10 Caratteristiche del computer Dallo studio delle funzioni computabili è possibile studiare i limiti delle capacità dell elaboratore. Se un calcolatore è stato costruito sulle basi della elaborazione delle funzioni computabili, sarà possibile sfruttarne la massima capacità di calcolo. Se un problema richiede il calcolo di una funzione non computabile, la sua elaborazione va oltre le capacità della macchina.

11 Macchina di Turing

12 Macchina di Turing E stata presentata da A. M. Turing nel E usata per individuare le capacità e i limiti delle macchine. E ancora usata per analizzare la potenza dei processi algoritmici (di calcolo).

13 Componenti della macchina di Turing Un nastro che si estende in modo indefinito alle due estremità, suddiviso in celle. Ogni cella può contenere un simbolo appartenente all insieme di simboli, detto alfabeto della macchina. Testina di lettura e scrittura. Unità di controllo che legge e scrive simboli su un nastro tramite la testina di lettura e scrittura.

14 Stati della macchina Durante il calcolo, la macchina si trova in ogni istante in uno stato che appartiene ad un insieme finito di stati. Gli stati speciali sono quello di inizio e fine del calcolo. All inizio del calcolo la macchina si trova nello stato iniziale. Alla fine del calcolo la macchina si trova nello stato finale.

15 Calcolo Il calcolo si compone di una sequenza di passi eseguita dall unità di controllo. Ogni passo consiste: nell osservare il simbolo presente nella cella corrente del nastro dove si trova la testina; scrivere un simbolo in quella cella; spostare la testina di una cella a sinistra o a destra; cambiare stato. L operazione da eseguire è determinata da un programma, il quale lo comunica all unità di controllo in base ai contenuti della cella su cui si trova la testina.

16 Macchina di Turing per incrementare un valore L alfabeto è dato dai simboli 0, 1 e *. * è usato per delimitare le stringhe di simboli che rappresentano numeri binari. * è la posizione iniziale che evidenzia l estremità destra di una stringa composta da 0 e 1. Gli stati della macchina sono INIZIO, SOMMA, RIPORTO, OVERFLOW, RITORNO e FINE. La macchina parte sempre dallo stato INIZIO.

17 Macchina di Turing per incrementare un valore Ingresso Uscita STATO direzione Valore INIZIO * * sx 5 SOMMA * * sx RIPORTO * * dx RITORNO * * dx RITORNO * * dx FINE * * 6 Questa macchina calcola la funzione successore. Tale funzione fa corrispondere ad ogni valore di ingresso n, intero non negativo, il valore di uscita n + 1. Il valore di ingresso è inserito sul nastro nella forma binaria. La macchina deve essere attivata per eseguire la funzione e leggere il valore di uscita dal nastro. Tale funzione è detta computabile secondo Turing o Turing computabile.

18 Tesi di Church-Turing Le funzioni Turing computabili sono tutte le funzioni computabili, secondo la tesi di Turing. La macchina di Turing può esprimere tutte le funzioni computabili. Questa ultima considerazione è detta tesi di Church-Turing. Le capacità di calcolo delle macchine di Turing sono prese come riferimento per paragonare le capacità di calcolo degli elaboratori ed evidenziare i loro limiti.

19 Linguaggi di programmazione universali

20 Linguaggi di programmazione universali Un linguaggio di programmazione universale è tale da scrivere programmi in grado di calcolare tutte le funzioni computabili. Se un problema non può essere risolto tramite un linguaggio di programmazione significa che non esiste un algoritmo in grado di risolverlo. Questo tipo di linguaggio è in genere non complesso. Sia rappresentato dal linguaggio essenziale.

21 Sintassi del linguaggio essenziale Le variabili sono configurazioni di bit che rappresentano interi non negativi. La variabile con la configurazione di bit 10 contiene il valore 2 Non è necessario dichiarare le variabili. Il linguaggio deve distinguere i nomi di variabili dagli altri termini. I nomi di variabili iniziano con una lettera dell alfabeto seguite da combinazioni di lettere e numeri. Esempi: ABC, A2. Ci sono tre istruzioni di assegnamento e una struttura di controllo (ciclo while). Ogni istruzione termina con ; Le istruzioni di assegnamento modificano i contenuti della variabile.

22 Esempio di programma per calcolare X x Y clear associa alla variabile il valore 0 incr incrementa di 1 il valore della variabile decr decrementa di 1 il valore della variabile while end è la struttura di controllo: Se la variabile è pari a 0, la struttura di controllo viene ignorata e si passa alla istruzione successiva; Se la variabile non è 0, viene eseguita la sequenza di istruzione all interno della struttura e il controllo ritorna all istruzione while. copia var1 in var2

23 Caratteristiche del linguaggio essenziale Tutti i programmi scritti nel linguaggio essenziale possono essere di riferimento per il calcolo delle funzioni computabili. Per calcolare la funzione basta eseguire il programma. Lo stesso linguaggio permette di calcolare le funzioni Turing computabili. Quindi può calcolare qualsiasi funzione computabile.

24 Funzione non computabile

25 Problema della terminazione E il problema di prevedere se un programma partito con certi valori di ingresso è in grado di terminare. Data la seguente porzione di programma: while X not 0 do; incr X; end; Se X vale 0, il ciclo non viene eseguito; Se X vale un qualsiasi altro valore, il ciclo sarà sempre eseguito e l esecuzione del programma non terminerà mai.

26 Tecnica di auto-riferimento Il programma può terminare o meno a seconda dei valori di ingresso delle variabili. E importante usare i valori giusti di ingresso per valutare la terminabilità o meno del programma. La tecnica di auto-riferimento prevede di assegnare alle variabili di un programma il programma stesso.

27 Controllo del fatto che un programma sia auto-terminante. Ogni programma essenziale è codificato come una sequenza di bit nel formato ASCII, a sua volta rappresentato nella forma binaria di un intero non negativo. Inizializzando la variabile X con il valore intero, si ottiene un ciclo infinito e la sua esecuzione non termina. Specificando la istruzione clear X prima della porzione di codice con while, il valore di X viene azzerato per cui non si entra nella struttura while-end. Programma essenziale while X not 0 do; incr X; end

28 Programma essenziale autoterminante Un programma essenziale è auto-terminante: se la sua esecuzione arriva a termine con tutte le variabili inizializzate alla rappresentazione codificata del programma; se la sua esecuzione termina quando inizia con se stesso come valore di ingresso.

29 Insolubilità del problema della terminazione Risolvere il problema della terminazione supera le capacità delle macchine. Supponiamo esista una funzione di terminazione che assuma: 1 per i programmi auto-terminanti; 0 per i programmi non auto-terminanti. Tale funzione non è computabile e si dimostra per assurdo. Una istruzione è falsa se non è vera. Dire La funzione di terminazione è computabile non è vero. Rientra nel problema non decidibile.

30 Prova della indecidibilità del problema della terminazione Dimostriamo che la funzione della terminazione non è computabile. Si procede per assurdo. Si suppone l esistenza di un programma che terminerà con: la variabile X uguale a 1, se il valore di ingresso rappresenta un programma auto-terminante o la variabile X uguale a 0 in caso contrario Se esiste un programma di questo tipo, lo si modifica con una struttura while-end per crearne uno nuovo. while X not 0 do;... end

31 Prova della indecidibilità del problema della terminazione Se il nuovo programma fosse auto-terminante e usando la codifica di se stesso come ingresso: se la variabile X fosse pari a 1, l esecuzione sarebbe intrappolata nel ciclo infinito, quindi se il nuovo programma è auto-terminante, allora non lo è. se la variabile X fosse pari a 0, l esecuzione della struttura while-end non sarebbe eseguita e terminerebbe, quindi se il nuovo programma non è auto-terminante, allora lo è. Quindi il programma iniziale modificato con una struttura while-end diventa un programma che non è auto-terminante e non è terminante. Quini è impossibile l esistenza del programma iniziale.

32 Complessità dei problemi

33 Complessità di un problema Riguarda il tempo che una macchina impiega a calcolare una soluzione. Non riguarda la dimensione del programma della soluzione. Un problema è complesso se tutte le sue soluzioni richiedono molto tempo. Questa complessità è detta temporale o time complexity. L efficienza di un algoritmo è inversa alla complessità: Più efficiente equivale a meno complesso

34 Complessità di un problema La complessità temporale di un problema è la complessità della sua soluzione migliore. Si esprime come (f(n)) theta grande n è la dimensione dei dati di ingresso f(n) è una espressione matematica in n Se un problema può essere risolto da un algoritmo in un tempo (f(n)), il problema è in (f(n)). Un problema (f(n)) se ha almeno una soluzione con una complessità in (f(n)).

35 Problemi trattabili (polinomiali) Sono i problemi la cui soluzione è eseguibile in un tempo polinomiale. In questo caso la funzione f(n) è un polinomio o è limitato superiormente da un polinomio. Esempi: Conteggio di valori in una tabella (database) con n record tempo lineare K x n Ordinare una serie di valori con n valori tempo K x n x log2(n)

36 Grafici delle espressioni matematiche n, lg n, n lg n, n 2 n 2 lg n e n lg n sono limitate superiormente da n 2 Un problema è polinomiale se è limitato superiormente da un polinomio. I problemi polinomiali rientrano nell insieme P. I problemi non in P sono problemi non trattabili o intrattabili.

37 Problemi non trattabili (non polinomiali) Sono i problemi la cui soluzione è eseguibile in un tempo più che polinomiale. Il problema è detto non trattabile. Esempio Permutazioni di caratteri con n caratteri tempo K x n!

38 Problemi non eseguibili Sono i problemi la cui soluzione richiede una esecuzione eccessivamente lunga richiederebbe anni o secoli Un esempio è il problema Non Calcolabile (NP) È indipendente dalla tecnologia Esempio: il problema del commesso viaggiatore Il commesso viaggiatore deve visitare vari clienti in città diverse senza superare il budget di spesa Il problema è trovare il percorso che non superi i chilometri consentiti Non si conosce un metodo risolutivo p.e.: intelligenza artificiale

39 Classificazione dei problemi NPcompleto polinomiale Difficoltà esponenziale non computabili terminazione

40 Referenza Glenn Brookshear, Informatica una panoramica generale, 11-esima versione, Pearson, Paragrafp 5.3, Cap 10.