Informatica teorica Lez. n 7 Macchine di Turing. Macchine di Turing. Prof. Giorgio Ausiello Università di Roma La Sapienza

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1 Macchine di Turing

2 Argomenti della lezione Definizione della macchina di Turing Riconoscimento e accettazione di linguaggi Macchine a più nastri

3 La macchina di Turing èun è automa che può leggere e scrivere su un nastro bidirezionale "potenzialmente" illimitato

4 Dato lo stato della macchina e il carattere letto sul nastro, la macchina passa in un nuovo stato, scrive un carattere sul nastro, sposta la testina a destra o a sinistra

5 Le macchine di Turing: forniscono una definizione formale del concetto di algoritmo accettano tutti (e soli) i linguaggi di tipo 0

6 Le macchine di Turing sono in grado di simulare ogni altro modello di calcolo ("tesi di Church-Turing")

7 Modello di calcolo non realistico ma adatto a formalizzare il riconoscimento dei linguaggi formali utile per definire concetti di complessità computazionale

8 M = <Σ, b, K, q 0, F, δ > Σ b K q 0 F δ alfabeto del nastro carattere speciale, spazio (blank) insieme finito di stati stato iniziale insieme di stati finali funzione di transizione

9 Funzione di transizione δ: K x Σ b K x Σ b x {destra, sinistra, immobile} dove Σ b = Σ {b} Può essere rappresentata con una matrice o con un grafo di transizione

10 (Disegno 7.1)

11 Varianti (tutte computazionalmente equivalenti) macchine a più nastri macchine non deterministiche macchine con alfabeto limitato macchine con nastro seminfinito

12 Configurazione di una macchina Stringa appartenente al linguaggio (Σ b )*. K. (Σ b ) + che rappresenta: porzione finita del nastro che contiene i caratteri diversi da b

13 Configurazione di una macchina posizione della testina stato corrente

14 disegno 7.2

15 La conoscenza di una configurazione e della funzione di transizione consente di determinare la configurazione successiva

16 Per convenzione all'inizio della computazione il nastro contiene l'input, il resto del nastro contiene b, la testina è posizionata sul primo carattere dell'input, la macchina è nello stato iniziale Configurazione iniziale: stringa del tipo: q 0 aabb

17 Il calcolo termina quando la macchina entra in uno stato finale. La testina può essere in un punto qualunque del nastro Configurazione finale: stringa del tipo: aab q F b Il calcolo termina anche se nessuna regola di transizione è applicabile

18 Se la funzione di transizione fa passare dalla configurazione c i alla configurazione c j scriviamo c i c j Una computazione èuna è sequenza eventualmente infinita di configurazioni <c 1,c 2,...,c i, c i+1,...> tali che: c 1 c 2... c i c i+1...

19 Una computazione finita c 1 c 2... c n è massimale se non esiste una configurazione c tale che c n c In tal caso c n è una configurazione finale o una configurazione in cui la funzione di transizione non è definita

20 Riconoscimento e accettazione di linguaggi

21 A differenza degli ASF e degli AP, che rispettivamente riconoscono i linguaggi di tipo 3 e di tipo 2, le macchine di Turing non sono sempre in grado di riconoscere un linguaggio di tipo 0 ma in alcuni casi possono solo accettarlo

22 Una macchina di Turing M riconosce un linguaggio L se per ogni x Σ* M è in grado di stabilire se x L o no

23 Una macchina di Turing M accetta un linguaggio L se per tutte e sole le x L M è in grado di stabilire tale appartenenza, ma se x L M non garantisce un comportamento prestabilito

24 Una computazione massimale <c 0, c 1,..., c n > è accettante (responso positivo) se c 0 è iniziale e c n èfinale

25 Una computazione massimale <c 0, c 1,..., c n > è rifiutante (responso negativo) se c 0 è iniziale e c n non è finale

26 Una computazione infinita non corrisponde ad alcun responso

27 M=<Σ,b,K,q 0,F,δ> riconosce (decide) un linguaggio L se per ogni x Σ* esiste q K tale che q 0 x * α q β con α (Σ b )* e β (Σ b ) + e q F se e soltanto se x L

28 Un linguaggio accettato da una macchina di Turing è detto decidibile (secondo Turing)

29 M=<Σ,b,K,q 0,F,δ> accetta un linguaggio L se per tutte e sole le x L esiste q F tale che q 0 x * α q β con α (Σ b )* e β (Σ b ) + Un linguaggio accettato da una macchina di Turing è detto semidecidibile (secondo Turing)

30 Nelle lezioni successive mostreremo che: I linguaggi semidecidibili sono tutti e soli i linguaggi di tipo 0 La classe dei linguaggi decidibili è strettamente contenuta in quella dei linguaggi semidecidibili

31 MT che accetta 0 n 1 n (n 1) M=<{0,1},b,K,q 0,{q 4 },δ> Configurazione iniziale: q

32 La MT marca via via con un X gli 0 e con un Y i corrispondenti 1 e accetta se gli 0 e gli 1 sono in numero uguale, rifiuta se sono in numero diverso

33 (Disegno 7.3)

34 Macchine di Turing a più nastri (o multinastro, MTM)

35 Macchina di Turing a k nastri Σ b Z 0 K q 0 F M k =<Σ,b,Z 0,K,q 0,F,δ (k) > alfabeto carattere speciale blank carattere speciale iniziale insieme finito di stati stato iniziale insieme di stati finali

36 Macchina di Turing a k nastri M k =<Σ,b,Z 0,K,q 0,F,δ (k) > δ (k) funzione di transizione δ (k) : K x (Σ b ) k K x (Σ b ) k x {d,s,i} k

37 Configurazione: q#α 1 β 1 #α 2 β 2 #...#α k β k q è lo stato; α i β i è il contenuto del nastro i-esimo; indica la posizione della testina su ciascun nastro

38 Configurazione iniziale: q 0 # β 1 # Z 0 #...# Z 0 Configurazione finale: q appartiene a F Transizioni e computazioni: analoghe alle normali MT

39 MTM ed MT hanno lo stesso potere computazionale: una MT può simulare una MTM e la simulazione ha un costo polinomiale

40 Data una MTM M=<Σ,b,K,q 0,F,δ (k) > >a a k nastri esiste una MT che simula t passi di M k in O(t 2 ) passi usando un alfabeto di cardinalità O((2 Σ ) k )

41 Costruiamo una MT M'=<Σ',b,K',q 0',F',δ'> con nastro suddiviso in 2k tracce che simula M; le k tracce di posto pari di M' rappresentano i k nastri di M; sulle k tracce di posto dispari di M' con il marcatore " " indichiamo la posizione della testina sul corrispondente nastro di M

42 Per ogni passo di M, M' deve eseguire un numero di passi proporzionale alla distanza (numero di caselle) tra i due marcatori più lontani quindi se M esegue t passi, M' ne può eseguire O(t 2 )

43 Per ciò che riguarda la cardinalità dell'alfabeto di M dobbiamo codificare con un simbolo un vettore di 2k simboli corrispondenti al contenuto delle 2k tracce, quindi Σ = 2 k ( Σ +1)( Σ +2) k-1 = O((2 Σ ) k )

44 MTM che riconosce xcx R con x {a,b} (disegno 7.4)

45 computazione con input bacab: q 0 # bacab # Z 0 q 0 #b acab #b b q 0 #ba cab #ba b q 1 #bac ab #b a q 1 #baca b # ba q 1 #bacab b # bba q 2 #bacab b # bba

46 computazione con input acb: q 0 # acb # Z 0 q 0 # a cb #a b q 1 #ac b # a