un nastro di carta prolungabile a piacere e suddiviso in celle vuote o contenenti al più un unico carattere;

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1 Algoritmi Capacità di calcolo Il matematico inglese Alan Turing ( ) descrisse nel 1936 un tipo di automi, oggi detti macchine di Turing, e fornì una della prime definizioni rigorose di esecuzione automatica di un algoritmo. Quello proposto da Turing è un modello che soddisfa le caratteristiche di algoritmo così come le abbiamo enunciate precedentemente. L obiettivo che si poneva Turing era di individuare le caratteristiche minime che deve possedere un automa per eseguire un algoritmo. Egli considerò un Esecutore che effettua dei calcoli descritti da una lista di istruzioni utilizzando un nastro di carta diviso in celle. Dedusse che il comportamento dell Esecutore è determinato dai caratteri che osserva e dallo stato della sua mente. Inoltre l Esecutore si aiuta scrivendo dei caratteri sul nastro, uno per ogni cella. Il ragionamento lo portò a definire degli automi molto semplici, oggi conosciuti come macchine di Turing o MdT (Figura 3W.1), costituiti da: un nastro di carta prolungabile a piacere e suddiviso in celle vuote o contenenti al più un unico carattere; Macchine di Touring Figura 3W.1 Una rappresentazione grafica di una macchina di Turing. Spostamento verso sinistra stato interno: SO elenco delle istruzioni interprete delle istruzioni (Esecutore) Unità di controllo Spostamento verso destra Testina di lettura scrittura U S U S S Nastro Cella corrente

2 C3w2 / Capitolo 3 un Unità o Organo di Controllo costituita da uno stato interno, da un insieme di regole e dall interprete delle regole stesse; una Testina di Lettura/Scrittura (TLS) per leggere e scrivere i caratteri presenti nelle celle. Stato interno Alfabeto Regole A ogni istante l Organo di Controllo si trova in un particolare stato interno. Tanto l insieme degli stati interni quanto l insieme delle regole dell Organo di Controllo e l alfabeto nel quale variano i caratteri presenti nelle celle sono insiemi finiti. In particolare l alfabeto comprende sempre almeno lo spazio vuoto. La cella su cui è posizionata la TLS si dice cella corrente; quanto poi alle operazioni che in ogni istante può compiere una MdT sono semplicissime: modificare lo stato interno dell Organo di Controllo; cambiare o semplicemente riscrivere il carattere posto sulla cella corrente; spostare la TLS verso sinistra (indicata con il simbolo <) o verso destra (indicata con il simbolo >). Ogni regola è rappresentata da soli cinque elementi (una quintupla): StatoInternoCorrente, carattereletto, nuovostatointerno, caratterescritto, direzione. Così la quintupla: (S,A,S,B,>) specifica per esempio che quando la MdT si trova nello stato interno S e legge sulla cella corrente il carattere A deve restare nello stato interno S, scrivere B e infine spostare la TLS verso destra. Per evitare ambiguità, a ogni coppia iniziale di stato interno e carattere letto corrisponde un unica terna con il nuovo stato interno, il carattere scritto e la direzione in cui si sposta la TLS. All inizio dell elaborazione abbiamo poi: sul nastro una stringa di caratteri detta sequenza di input; lo stato interno in ; la TLS posta sulla cella contenente il primo carattere significativo (ovvero diverso dallo spazio bianco) da sinistra. L elaborazione si interrompe non appena l organo di controllo e la TLS si trovano rispettivamente in uno stato interno e su una cella corrente a cui, nell insieme delle regole, non corrisponde alcuna terna finale. La sequenza presente sul nastro al momento dell interruzione viene quindi detta sequenza di output. Volendo completare il paragone con l Esecutore umano da cui Turing prese spunto per le sue ricerche, possiamo dire che: il nastro corrisponde al quaderno a quadretti dell Esecutore; lo stato interno corrisponde allo stato mentale dell Esecutore; l insieme delle regole corrisponde all algoritmo seguito; la sequenza di input ai dati del problema da risolvere; la sequenza di output la soluzione del problema. Si noti in basso in Figura 3W.1 il nastro formato da celle contenenti simboli dell alfabeto della macchina, poco sopra posizionata sulla cella corrente la testina

3 Algoritmi / C3w3 dell unità di controllo attualmente nello stato interno S. Al centro le due frecce grandi evidenziano rispettivamente i possibili spostamenti della testina verso sinistra o verso destra. Costruiamo per esercizio la MdT a cui se è data in ingresso una sequenza composta dai soli caratteri U e S restituisce in uscita la stessa sequenza ma a caratteri invertiti. Se diamo in pasto alla macchina USUSS è restituito SUSUU. Per risolvere il problema si ha necessità di un unico stato interno e dei soli caratteri caratteri U e S oltre allo spazio vuoto. La nostra prima MdT Stati interni: { } Alfabeto: { U, S, } Inoltre si devono scrivere due sole regole: (,U,,S,>) (,S,,U,>) È ora facile vedere nell esempio di Figura 3W.2 come, cominciando da sinistra, la TLS proceda verso destra cambiando progressivamente le lettere contenute nelle Figura 3W.2 Il comportamento della MdT che inverte le U con le S nella sequenza di input U S U S S S S U S S S U U S S S U S S S S U S U S S U S U U La TLS è posizionata sulla prima cella; lo stato interno è. Sul nastro si nota la sequenza di input composta da cinque caratteri (USUSS). In base alla prima delle due regole (,U,,S,>), dopo avere scritto S sulla prima cella la TLS si sposta verso destra restando nello stato. In base alla seconda regola (,S,,U,>), stavolta dopo avere scritto U sulla cella corrente la TLS si sposta verso destra restando nello stato. Ancora un applicazione della prima regola. Un applicazione della seconda regola. E un ultima applicazione della seconda regola. L elaborazione viene interrotta in quanto non vi sono regole relative alle celle vuote. Sul nastro resta la sequenza di output (SUSUU) S U S U U

4 C3w4 / Capitolo 3 Un altra MdT Tesi di Church singole celle. Arrivata in fondo, alla prima cella vuota, l elaborazione si interrompe in quanto non vi è alcuna quintupla che abbia come elementi iniziali lo stato e lo spazio vuoto. Proviamo qualcosa di più interessante: realizzare la MdT che accetta in ingresso un numero decimale e restituisce zero se è pari e uno se è dispari. Per risolvere il problema basta ricordare che un numero è pari se la sua ultima cifra è pari, altrimenti è dispari. La macchina dovrà quindi cancellare tutte le cifre ponendosi via via nello stato interno se la cifra appena cancellata è pari, nello stato 1 se questa è invece dispari. Alla fine, non appena trova una cella vuota, la macchina scrive se è nello stato, cioè se l ultima cifra cancellata era pari, 1 se è nello stato 1, cioè se l ultima cifra cancellata era dispari. Con lo stato finale F, a cui non corrisponde alcuna istruzione, viene terminata l elaborazione. Stati interni: {, 1, F } Alfabeto: {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } Regole: (,,, --, >) (1,,, --, >) (, 1, 1, --, >) (1, 1, 1, --, >) (, 2,, --, >) (1, 2,, --, >) (, 3, 1, --, >) (1, 3, 1, --, >) (, 4,, --, >) (1, 4,, --, >) (, 5, 1, --, >) (1, 5, 1, --, >) (, 6,, --, >) (1, 6,, --, >) (, 7, 1, --, >) (1, 7, 1, --, >) (, 8,, --, >) (1, 8,, --, >) (, 9, 1, --, >) (1, 9, 1, --, >) (, -, F,, >) (1, -, F, 1, >) Nella prima colonna di regole abbiamo le quintuple che determinano il comportamento della MdT nello stato, ovvero quando la precedente cella conteneva una cifra pari; la seconda colonna determina invece il comportamento nello stato 1. Si noti infine che non esistono quintuple che abbiano lo stato F come loro primo valore. Seguiamo un esempio di elaborazione in Figura 3W.3. È importante osservare che non necessariamente tutte le MdT terminano regolarmente: esistono infatti macchine la cui elaborazione non termina mai per determinate sequenze di input. Consideriamo al proposito la MdT che opera sull alfabeto composto dai caratteri A e B e con due stati interni, e 1: (, A, 1, A, >) ( 1, B,, B, <) Con la sequenza di input AB, la macchina non termina mai di oscillare fra la prima e la seconda cella senza mai modificare il contenuto del nastro. Nella seconda metà degli anni Trenta il logico americano Alonzo Church ( ) formulò un ipotesi, oggi nota come tesi di Church o di Church-Turing, secondo la quale ciò che è calcolabile è esattamente ciò che può essere

5 Algoritmi / C3w5 Figura 3W.3 Il comportamento della MdT che verifica se un numero è pari o dispari F La TLS è posizionata sulla prima cella; lo stato interno è. Sul nastro si nota la sequenza di input che rappresenta il numero Per la regola (,2,,--,>), dopo avere cancellato la prima cifra (un 2) la TLS si sposta verso destra mentre lo stato interno rimane. Per la regola (,4,,--,>), dopo avere cancellato la cella corrente (conteneva un 4) la TLS si sposta verso destra restando nello stato interno. Per la regola (,3,1,--,>), dopo avere cancellato la cella corrente la TLS si sposta verso destra passando nello stato interno 1. Per la regola (1,7,1,--,>), dopo avere cancellato la cella corrente la TLS si sposta verso destra restando nello stato interno 1. Per la regola (1,--,F,1,>), dopo avere scritto 1 sulla cella corrente la TLS si sposta ancora verso destra mentre lo stato interno diventa F. L elaborazione viene interrotta poiché non vi sono regole relative alle stato F. Sul nastro resta la sequenza di output 1 in quanto il numero iniziale (2477) era dispari calcolato da una macchina di Turing. La tesi è oggi universalmente accettata, e le moltissime tecniche immaginate da allora per calcolare le funzioni il calculus di Church, gli automi a stati finiti, le funzioni ricorsive e molte altre si sono in effetti rivelate tutte equivalenti alle macchine di Turing. Inoltre, ed è forse questo l aspetto più sorprendente, è anche possibile costruire una macchina di Turing che simuli tutte le macchine, cioè una macchina di Turing universale che calcoli tutte le funzioni computabili. È uno dei più importanti risultati della teoria della computabilità: equivale a dire che le capacità di calcolo di un formalismo così semplice come la macchina di Turing non sono inferiori a quelle del computer più sofisticato.

6 C3w6 / Capitolo 3 PERSONAGGI Alan Turing Alan Turing, nato a Paddington vicino Londra nel 1912, riuscì a diplomarsi con difficoltà, ma a partire dagli studi universitari si distinse per la sua intelligenza ottenendo risultati eccellenti. Subito dopo la laurea frequentò un corso in cui fra l altro veniva illustrato il problema della decidibilità portato alla ribalta anni prima da David Hilbert ( ): data una proposizione matematica si può sempre trovare un algoritmo che decida se è vera o falsa oppure, in alcuni casi, ciò non è possibile? Per molte proposizioni è facile trovare l algoritmo, il problema è quando l algoritmo non si riesce a trovare, come si fa ad affermare che tale algoritmo non esiste. Turing comprese che non si aveva a disposizione una definizione abbastanza rigorosa di algoritmo da permettere di provare la non esistenza, iniziò dunque a lavorare su questa idea progettando quella che oggi è chiamata la macchina di Turing. Arrivò a dimostrare che non esiste una MdT che stabilisca se una qualsiasi MdT terminerà le sue elaborazioni o proseguirà all infinito (problema della terminazione). Dunque esistono dei casi in cui per un problema non si trova l algoritmo che lo risolva. In realtà tali casi sono infiniti. Lavorò con grande successo per il Dipartimento delle Comunicazioni Inglese e i servizi segreti alla decifrazione dei codici criptati dalle macchine Enigma dei nazisti e dopo la seconda guerra mondiale progettò un computer per il Dipartimento Nazionale di Fisica che non fu mai realizzato a causa degli alti costi previsti. Riteneva che entro l anno duemila sarebbero esistiti computer in grado di replicare la mente umana. È suo il famoso test del quale sono state prodotte numerose varianti, la cui essenza sta nella comunicazione fra due individui attraverso messaggi dattiloscritti e nella domanda: il primo saprà distinguere se l individuo con cui sta interagendo è un uomo o una macchina? Morì nel 1954, forse suicida, dando un morso a una mela avvelenata con cianuro di potassio.