Le classi P, NP, PSPACE

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1 Le classi P, NP, PSPACE

2 Argomenti della lezione Classi di complessità notevoli I teoremi di gerarchia Il teorema di Savitch Problemi aperti

3 Classi di complessità notevoli LOGSPACE = DSPACE(log n) P P= = k DTIME(n k ) NP = k NTIME(n k ) PSPACE = k DSPACE(n k ) NSPACE = k NSPACE(n k ) EXPTIME = k DTIME (2n k ) NEXPTIME = k NTIME (2n k )

4 La classe EXPTIME contiene già problemi di elevatissima complessità Per n = 10, 2 n2 = 2 100, se fossero nanosecondi il tempo di calcolo sarebbe maggiore di anni, superiore alla vita dell Universo

5 Problemi interessanti hanno livelli di complessità ancora più elevati Classi doppiamente esponenziali (es: Aritmetica di Presburger) (per n = 10, 2 2 n = )

6 Linguaggi elementari: tutti i linguaggi che, su input di taglia n, vengono riconosciuti in tempo: n con una catasta di k esponenziali, per k qualsiasi

7 Linguaggi non elementari Linguaggi che, su input di taglia n, vengono riconosciuti in tempo: con una catasta di n esponenziali (es. equivalenza di espressioni regolari con complementazione)

8 La complessità del problema di decidere se due espressioni regolari sono equivalenti è: esponenziale, per le usuali espressioni doppiamente esponenziale, per le espressioni con il quadrato

9 La complessità del problema di decidere se due espressioni regolari sono equivalenti è: non elementare, per le espressioni con la complementazione

10 La complessità del problema di decidere se una formula è un teorema è: esponenziale, per formule booleane quantificate

11 doppiamente esponenziale, per formule della teoria dell addizione (Aritmetica di Presburger); es. x y z(x+z=y w(w+w=y)) non elementare, per formule della teoria dell addizione del secondo ordine (WS1S); es. B ( y B z (z=0 y+z B))

12 LA CLASSE P La classe P è la classe dei problemi risolubili efficientemente con macchine deterministiche In prima approssimazione i problemi in P sono considerati computazionalmente trattabili.

13 Motivazioni: un aumento della potenza di calcolo degli elaboratori incide in modo significativo nella soluzione di problemi di costo polinomiale; non per problemi di costo esponenziale

14 Motivazioni: la classe P è una classe stabile, cioé invariante per diversi modelli di calcolo

15 LA CLASSE NP La classe NP è la classe dei problemi risolubili efficientemente con macchine non deterministiche Per moltissimi problemi di interesse pratico non conosciamo algoritmi polinomiali. Sappiamo però che essi sono risolubili in tempo polinomiale con MTND

16 Esempi: decidere se un grafo è hamiltoniano, decidere se un sistema di disequazioni lineari con variabili in {0, 1} è soddisfacibile.

17 Finora, la mancanza di risultati sulla relazione tra NP e P non ci consente di stabilire se essi siano o non siano problemi trattabili

18 LA CLASSE PSPACE La classe PSPACE è la classe dei problemi risolubili efficientemente in termini di spazio Per molti problemi di interesse pratico non conosciamo algoritmi in tempo polinomiale. Sappiamo però che essi sono risolubili in spazio polinomiale

19 Esempi: decidere se una formula booleana quantificata è un teorema

20 Finora, la mancanza di risultati sulla relazione tra PSPACE e P non ci consente di stabilire se anche essi siano o non siano trattabili

21 Le relazioni tra classi spaziali e classi temporali implicano: NEXPTIME NPSPACE EXPTIME PSPACE PSPACE P NPSPACE NP P LOGSPACE

22 Le relazioni tra MT deterministiche ed MT non deterministiche implicano NP P

23 Nessun contenimento è stretto NEXPTIME EXPTIME NPSPACE PSPACE P NP LOGSPACE

24 I teoremi di gerarchia Chiamiamo spazio-costruibile (tempo-costruibile) una funzione totale f tale che f(n) log n (f(n) n+1) esiste una MTM M che per ogni n opera in spazio (tempo) f(n)

25 Teorema di gerarchia spaziale Siano s1, s2: N N due funzioni spazio costruibili tali che lim(n ) s1(n)/s2(n) = 0 allora esiste un linguaggio L tale che L DSPACE(s1(n)) e L DSPACE(s2(n))

26 Teorema di gerarchia temporale Siano s1, s2: N N due funzioni tempo costruibili tali che lim(n ) t1(n)(log t1(n))/t2(n) = 0 allora esiste un linguaggio L tale che L DTIME(t1(n)) e L DTIME(t2(n))

27 Conseguenze: PSPACE LOGSPACE EXPTIME P

28 Il teorema di Savitch Teorema di Savitch Sia s(n) log n: DSPACE (s(n) 2 ) NSPACE (s(n))

29 Assumiamo per semplicità che la macchina di Turing non deterministica sia ad un solo nastro. Se essa usa spazio s(n) per decidere se una data stringa x ( x =n) appartiene ad un linguaggio L abbiamo che il numero di configurazioni possibili è c s(n)

30 Definiamo la funzione REACH(c1,c2,t): REACH (c1,c2,t) = if (c1=c2) (c1 c2) then TRUE else if c3 such that REACH(c1,c3,t/2) REACH(c3,c2,t/2) then TRUE else FALSE in cui c1, c2, c3 s(n)

31 Per decidere se x L la macchina deterministica può semplicemente calcolare REACH (c0,cf,2 s(n) ). Per far ciò è necessario utilizzare spazio s(n), pari alla dimensione di una configurazione, per il numero di configurazoni che possono essere inserite nella pila durante le chiamate ricorsive (log 2 s(n) = s(n)). In totale s(n) 2

32 Conseguenze: PSPACE = NPSPACE PSPACE NP

33 Problemi aperti più significativi LOGSPACE vs P P vs NP (il problema da $!) NP vs PSPACE PSPACE vs EXPTIME

34 Come possiamo caratterizzare la complessità di problemi in presenza di tante questioni irrisolte riguardanti la relazione tra le classi?

35 Utilizzando trasformazioni tra problemi (riduzioni) possiamo stabilire risultati di complessità relativa