Fondamenti dell informatica

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1 Fondamenti dell informatica Funzioni ricorsive e linguaggi funzionali Rosario Culmone rosario.culmone@unicam.it 16/4/2008 UNICAM - p. 1/21

2 Funzioni ricorsive Metodo di definizione di algoritmi introdotto negli anni 30 dal logico tedesco Kleene Si basano su un approccio matematico (funzioni e operatori). A differenza dei modelli di calcolo basate su macchine (Turing o RAM), questo modello di calcolo si basa sulla definizioni di funzioni base e operatori. Come nel caso della MdT si cerca il numero minimo di funzioni e operatori che permettono di definire qualsiasi funzione calcolabile. 16/4/2008 UNICAM - p. 2/21

3 Funzioni ricorsive Hanno ispirato i linguaggi di programmazione funzionali (LISP, ML, ecc). Mentre il modello di calcolo basato su macchine ha ispirato i linguaggi imperativi (stato e memoria), le funzioni ricorsive hanno ispirati la classe dei linguaggi funzionali. Entrambe le categorie sono Turing-equivalenti (con qualche differenza) ovvero hanno la stessa espressività Nel seguito faremo sempre riferimento a funzioni con argomenti sui naturali. Useremo la notazione f (n) per indicare la arietà di una funzione ovvero il numero dei suoi argomenti. Se n = 0 la funzione f corrisponde ad una costante. Una funzione che non richiede argomenti può produrre solo e sempre un solo valore. 16/4/2008 UNICAM - p. 3/21

4 Funzione base Le funzioni primitive sono: Le funzioni zero: le funzioni O (n) (x 1,...,x n ) = 0. Per n = 0 la funzione O() corrisponde alla costante 0 Il successore: ovvero la funzione S(x) = x + 1 Le funzioni selettive (o identità): ovvero U (n) i (x 1,...,x n ) = x i (n i 1) 16/4/2008 UNICAM - p. 4/21

5 Operatori Gli operatori sono: Composizione: date le funzioni g (n) 1,...,g m (n) e la funzione h (m) definiamo la funzione f (n) : f(x 1,...,x n ) = h (m) (g (n) 1 (x 1,...,x n ),...,g m (n) (x 1,...,x n )). La composizione è la forma più semplice per ottenere nuove funzioni. Ad esempio f(x) = x + 2 può essere ottenuta ponendo h(x) = S(x) e g 1 (x) = S(x) ovvero f(x) = S(S(x)) = x + 2 Ricursione primitiva: date le funzioni g (n) e h (n+2) definiamo la funzione f (n+1) : f (n+1) (x 1,...,x n, 0) = g (n) (x 1,...,x n ) f (n+1) (x 1,...,x n, y + 1) = h (n+2) (x 1,...,x n, y, f (n+1) (x 1,...,x n, y)) Ad esempio la funzione somma può essere definita per ricursione primitiva a partire dalle funzioni U (1) 1 identità ed S successore: somma(x, 0) = x somma(x, y + 1) = S(somma(x, y)) 16/4/2008 UNICAM - p. 5/21

6 La classe più semplice La classe delle funzioni ricorsive primitive è la più piccola classe di funzioni che contiene le funzioni base ed è chiusa rispetto alle operazioni di composizione e ricursione primitiva. 16/4/2008 UNICAM - p. 6/21

7 Esempi di funzioni ricorsive primitive Somma prodotto(x, 0) = 0 prodotto(x, y + 1) = somma(x, prodotto(x, y)) Esponenziale exp(x, 0) = 1 exp(x, y + 1) = prodotto(x, exp(x, y)) 16/4/2008 UNICAM - p. 7/21

8 Le funzioni ricorsive primitive non bastano Le funzioni ricorsive primitive non coprono l insieme delle funzioni calcolabili: le funzioni base e la composizione e la ricursione primitiva sono totali e quindi comunque possono definire solo funzioni totali quindi: non contengono le funzioni parziali non permettono di definire meccanismi di ricursione più complessi (ad esempio ricursione doppia) 16/4/2008 UNICAM - p. 8/21

9 La funzione di Ackermann La funzione di Ackermann è un esempio di funzione calcolabile ma non ricorsiva primitiva (ricorsione doppia). Consideriamo le seguenti funzioni ricorsive primitive di due argomenti: f 0 (x, y) = x + y f 1 (x, y) = xy { 1 se y = 0 per n 2 f n (x, y) = f n 1 (x, f n (x, y 1)) altrimenti Ad esempio: f 2 (x, 0) = 1 f 2 (x, y + 1) = f 1 (x, f 2 (x, y)) esponenziale f 3 (x, y + 1) = x xxx} y torre o esponenziale generalizzato 16/4/2008 UNICAM - p. 9/21

10 Esponenziale generalizzato La funzione di Ackermann cresce velocissima, ad esempio f(3, 4) = 3 333} 4 ovvero f(3, 4) = Se consideriamo come un unica funzione di tre argomenti: f(n, x, y) = f n (x, y) otteniamo una funzione che non è ricorsiva primitiva. Chiamiamo funzione di Ackermann la funzione A(n) = f(n, n, n) = f n (n, n). Questa funzione si può dimostrare che non può essere espressa come funzione primitiva ricorsiva 16/4/2008 UNICAM - p. 10/21

11 Operazione di minimalizzazione Data una funzione g (n+1) possiamo definire f (n) come il minimo valore di t che soddisfa il predicato g(x 1,...,x n, t) = 0 ovvero f (n) (x 1,...,x n ) = µt tale che (g (n+1) (x 1,...,x n, t) = 0) Il valore t può non esistere (ovvero non esiste un valore che soddisfa il predicato) e quindi la funzione diventa parziale (valore indefinito) Ad esempio P redecessore(x) = µt(s(t) = x) notare che Predecessore(0) è indefinito Int(x) = µt((t + 1)(t + 1) > x) ovvero la parte intera della radice quadrata di x x In questi ultimi casi non abbiamo considerato l annullamento del predicato (in un caso l uguaglianza ad un valore e nell altro caso il >) per semplicità. 16/4/2008 UNICAM - p. 11/21

12 Proprietà delle funzioni ricorsive La classe delle funzioni ricorsive è la più piccola classe di funzioni che contiene le funzioni base ed è chiusa rispetto alle operazioni di composizione, ricursione primitiva e minimalizzazione. Che relazione vi è tra le le MdT e le funzioni ricorsive. Ogni funzione calcolabile secondo Turing può essere formulata come: f(x 1,...,x n ) = U(µt(T(x 1,...,x n, t) = 0)) Ovvero qualsiasi funzione calcolabile secondo Turing può essere espressa utilizzando una funzione primitiva ricorsiva U, un predicato T e una sola volta l operatore di minimizzazione. Vale a dire che una computazione qualsiasi può essere espressa cercando il verificarsi di una proprietà (l uguaglianza a 0). Quindi il valore finale può essere calcolato estraendolo (mediante ricursione primitiva) dal valore minimale t. 16/4/2008 UNICAM - p. 12/21

13 Formalismo di Mc Carthy I linguaggi di programmazione funzionali devono la loro origine a vari filoni e in paricolare: funzioni ricorsive lambda-calcolo. Altro modello di calcolo inventato da Church per dimostrare che l aritmetica è indecidibile (tutte le formule non possono essere dimostrate vere) Anello di congiunzione di tutti questi filoni e i veri e propri linguaggi funzionali è il formalismo di Mc Carthy, collegato al più famoso dei linguaggi funzionali ovvero il LISP 16/4/2008 UNICAM - p. 13/21

14 Schemi di programmi [1] Il formalismo di Mc Carthy consente di definire la struttura sintattica dei programmi, appunto schemi di programmi. Le diverse interpretazioni dei simboli utilizzati nel formalismo conducono a diversi possibili linguaggi di programmazione. Simboli disponibili V insieme contenente infiniti simboli di variabile x 0, x 1,...,y, z... B insieme contenente infiniti simboli di funzione base b 0, b 1,...,a, b,... F insieme contenente infiniti simboli di funzione variabile F 0, F 1,...,G, H,... Sia le funzione base che le funzioni variabile hanno una loro arietà 16/4/2008 UNICAM - p. 14/21

15 Schemi di programmi [2] Si indica con Termine su V, B, F un simbolo di variabile è un termine un simbolo di funzione base con arietà 0 (costante) è un temine se t 1,...,t n sono termini e la arietà di b i è n allora b i (t 1,...,t n ) è un termine se t 1,...,t n sono termini e la arietà di F i è n allora F i (t 1,...,t n ) è un termine Null altro è un termine Se un termine non contiene variabili è chiamato termine chiuso (o di base) Dato V, B, F : T(V, B, F) denota l insieme dei termini T 0 (V, B, F) denota l insieme dei termini chiusi 16/4/2008 UNICAM - p. 15/21

16 Esempi Se b 0, b 1, b 2 hanno rispettivamente arietà 0, 2, 1 ed F 0 ha arietà 2 allora b 1 (b 0, b 0 ) T 0 (V, B, T) F 0 (F 0 (b 0, b 2 (b 0 )), b 1 (b 2 (b 0 ), b 0 )) T 0 (V, B, F) F 0 (F 0 (x, y), b 1 (b 2 (x), b 0 )) T(V, B, F) 16/4/2008 UNICAM - p. 16/21

17 Schemi di programmi [3] Dichiarazioni di schemi di programmi su V, B, F Uno schema di programma su V, B, F è una sequenza di dichiarazioni F i = t i dove F i F e t i T(V, B, F) seguita da un termine chiuso t 0 T 0 (V, B, F) Ad esempio: F(x) = b 2 (x, b 0 (x, F(b 1 (y)))) F(b 1 (b 0 )) La prima parte è una dichiarazione di una funzione di una variabile. Bisogna tenere presente che si tratta si schemi di programmi ovvero solo una rappresentazione sintattica. L interpretazione associa una semantica alla struttura sintattica. 16/4/2008 UNICAM - p. 17/21

18 Il linguaggio SLF Per passare da schemi di programmi a programmi (cioè per passare dal formalismo di Mc Carthy ad un vero e proprio linguaggio di programmazione) dobbiamo interpretare i simboli di V e B. L interpretazione di F si otterrà di conseguenza Consideriamo la seguente interpretazione: i simboli di variabile in V si interpreteranno come variabili intere i simboli di funzione base in B si interpreteranno come le seguenti funzioni sui naturali: per ogni numero naturale c, infinite funzioni costanti C c (n) (x 1,...,x n ) = c di arietà n 0 che producono il valore intero costante c; per ogni c, anziché scrivere la funzione C c (0) utilizzeremo il corrispondente naturale c S(x) = x + 1 successore di arietà 1 P(x) = x 1 predecessore di arietà 1 if then else(x, y, z) = se x = 0 allora y, altrimenti z condizionale di arietà 3 16/4/2008 UNICAM - p. 18/21

19 Semplice Linguaggio Funzinale Il linguaggio SLF è un linguaggio di programmazione che si ottiene interpretando nel modo descritto precedentemente gli schemi di programmi del formalismo di Mc Carthy. Esempio di programma che calcola il fattoriale di 4 FACT(y) = if then else(y, 1, PROD(y, FACT(P(y)))) FACT(4) dove PROD è la funzione prodotto che si assume già definita (è stata definita nello stesso modo). La sintassi è quella di Mc Carthy l interpretazione quella definita precedentemente. 16/4/2008 UNICAM - p. 19/21

20 Calcolabilità in SLF [1] Vediamo se le funzioni ricorsive sono calcolabili con questo linguaggio di programmazione. Per dimostrare ciò utilizzeremo la struttura induttiva. Le funzioni base sero e successore sono disponibili come funzioni base nel repertorio del linguaggio SLF. Le funzioni selettive si possono calcolare con il programma U (n) i (x 1,...,x n ) = x i La composizione ovvero F definita per composizione della funzione h con le funzioni g 1,...,g m si può definire come segue: F(x 1,...,x n ) = h(g 1 (x 1,...,x n ),...,g m (x 1,...,x n )) La ricursione primitiva ovvero F definita per ricursione primitiva a partire dalle funzioni g e h si può definire come segue: F(x 1,...,x n, y) = if then else(y, g(x 1,...,x n ), h(x 1,...,x n, P(y), F(x 1,...,x n, P(y)))) 16/4/2008 UNICAM - p. 20/21

21 Calcolabilità in SLF [2] La minimalizzazione ovvero F definita per minimalizzazione a partire dalla funzione g e può definire come segue: F(x 1,...,x n ) = G(x 1,...,x n, 0) G(x 1,...,x n, t) = if the else(g(x 1,...,x n, t), t, G(x 1,...,x n, S(t))) Se una funzione è definita per minimalizzazione vuol dire che bisogna calcolare il minimo valore di t che annulla un determinato predicato. Allora a partire da 0 si calcolano i predicati sino ad avere l annullamento del predicato, in questo caso è prodotto g(x 1,...,x n ). Si tratta di una applicazione della ricorsione ma in questo caso la sentinella t non viene decrementata ma incrementata a partire da 0. In questo modo non è certo che il predicato si annullerà è quindi il calcolo procede all infinito realizzando l indecidibilità (Turing equivalenza). 16/4/2008 UNICAM - p. 21/21