Limiti della calcolabilità

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1 Limiti della calcolabilità

2 Argomenti della lezione Macchina di Turing universale Il problema della terminazione Altri problemi indecidibili

3 Macchine di Turing in forma ridotta

4 Per ogni MT M esiste una MT M' equivalente con nastro semi-infinito M' utilizza un unico nastro semi-infinito diviso in 3 tracce

5 Il nastro infinito viene piegato in due sulla 1 e 3 traccia Sulla 2 traccia un simbolo o indica se la testina della macchina M si trova sulla parte semi-infinita destra o sulla parte semi-infinita sinistra

6 Per ogni MT M con alfabeto Σ b esiste una MT M' equivalente con Σ' =1 I Σ + 1 caratteri di Σ b vengono codificati con i 2 caratteri di Σ' b

7 Macchina di Turing universale

8 È possibile descrivere una MT con una stringa di caratteri e fornire tale descrizione come input ad un'altra MT La descrizione di un MT può essere realizzata in vari modi

9 Possiamo fornire la sequenza ##d 1 ##d 2 ##... ##d n delle quintuple che costituiscono la funzione di transizione La quintupla d i =q i #s j #q h #s k #t l corrisponde alla regola di transizione d(q i,s j )=(q h,s k,t l )

10 Possiamo sfruttare il fatto che ogni MT può essere realizzata come composizione di alcune macchine elementari e descrivere una MT come sequenza di tali macchine

11 Possiamo utilizzare semplici istruzioni di un linguaggio di programmazione per specificare le regole di transizione e descrivere una MT come una sequenza di tali istruzioni

12 Sia D M la descrizione di una macchina M a nastro seminfinito Esiste una macchina di Turing U (macchina di Turing universale) a nastro seminfinito, con stato iniziale q 0U, che, data una qualunque descrizione D M,

13 realizza la computazione q 0U D M # x * αq fu β, con q fu stato finale, se e solo se la macchina M, con stato iniziale q 0, realizza la computazione q 0 x * αq f β, con q f stato finale

14 La macchina non fa che eseguire una per una le trasformazioni richieste dalle quintuple della macchina M contenute in D M Al termine cancella dal nastro la descrizione D M

15 Possiamo interpretare la MT universale come un calcolatore o come un interprete di un linguaggio di programmazione, D M come un programma ed x come i dati in input a D M

16 Il problema della terminazione (halting problem)

17 Mostriamo ora quali sono i limiti del potere computazionale delle MT facendo vedere che esiste un predicato (funzione con valore binario) che non è non T-calcolabile

18 Sia D M la descrizione di una MT M Per x Σ* la funzione h(d M,x) = 1 se M con input x termina, 0 altrimenti è chiamata predicato della terminazione. Il predicato della terminazione non è T-calcolabile.

19 Si noti che, al contrario, la funzione parziale: h(d M,x) = 1 se M con input x termina, indefinito, altrimenti è T-calcolabile A tal fine è sufficiente utilizzare una semplice variante della MT universale.

20 Supponiamo che il predicato della terminazione sia T-calcolabile, supponiamo cioè che esista una macchina di Turing H che calcola la funzione h Mostriamo che tale ipotesi conduce ad un assurdo e pertanto l ipotesi stessa è falsa

21 Se la macchina H esistesse potremmo realizzarne una semplice variante H' che consentirebbe di calcolare il predicato h'(d M ) = 1 se M con input D M termina, 0 altrimenti

22 H' non è altro che la composizione di due macchine: la prima, con input D M, fornisce in output D M b D M, la seconda è la macchina H che prende in input la stringa D M b D M e calcola il predicato della terminazione In altre parole H' è la macchina che verifica se una MT M termina quando le viene fornito in input la propria descrizione D M

23 Utilizzando la macchina H' possiamo ora costruire una nuova macchina H" che prende in input D M e dà in output 0 se h'(d M ) = 0 (cioè se H' con input D M dà in output 0), e se invece h'(d M ) = 0 (cioè H' con input D M dà in output 1), allora H" si mette a ciclare

24 Cosa accade ora se diamo in input ad H" la sua descrizione D H? H" cicla se H' con input D H dà in output 1, ma ciò accade se H" con input D H termina: abbiamo quindi una contraddizione

25 H" termina se H' con input D H dà in output 0, ma ciò accade se H" con input D H non termina: anche in questo caso abbiamo una contraddizione

26 In ogni caso abbiamo una contraddizione Quindi la macchina H non può esistere ed il predicato della terminazione non è T-calcolabile

27 Si noti che, data l equivalenza tra MT e linguaggi di programmazione, è chiaro che il problema della terminazione è indecidibile non solo per le MT ma anche per i programmi di un qualunque linguaggio di programmazione

28 Ad esempio non può esistere un programma C che prenda in input un altro programma C, π, e i suoi dati x 1, x 2,, x n e decida se π con input x 1, x 2,, x n termina o meno

29 Inoltre si può mostrare che molte altre funzioni non sono calcolabili e molti altri problemi non sono decidibili, come conseguenza dell indecidibilità del problema della terminazione

30 Problemi di programmazione: è indecidibile se un programma p con input x 1, x 2,, x n chiama una data procedura P è indecidibile se due MT sono equivalenti

31 Problemi di programmazione: è indecidibile se un programma p è corretto (cioè calcola la funzione f desiderata)

32 Problemi relativi a linguaggi formali: è indecidibile se una grammatica di Tipo 2 è ambigua è indecidibile se due grammatiche di Tipo 2 sono equivalenti

33 Problemi algebrici Un equazione diofantea è un equazione in più variabili a coefficienti interi. Ad esempio ax n y m +bx r y s cz t = 0 È indecidibile se un equazione diofantea ammette soluzioni intere