Proposizione 1 Sia (G, ) un gruppo, g G. delle seguenti possibilità: Allora si ha una. 1. h, k Z g h g k < g > è infinito

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1 Proposizione 1 Sia (G, ) un gruppo, g G. delle seguenti possibilità: Allora si ha una 1. h, k Z g h g k < g > è infinito 2. h, k Z g h = g k < g > è finito. Definizione 2 Sia (G, ) un gruppo, g G. Si dice che g ha ordine infinito, e si scrive g = +, se < g > = + ; si dice che g ha ordine o periodo k N, e si scrive g = k, se < g > = k. Si noti che in ogni caso g = < g >. Definizione 3 Si dice che un gruppo (G, ) è ciclico se esiste g G tale che < g >= G. In tal caso g si dice generatore di G.

2 Esempi Sono gruppi ciclici: 1. (Z, +), in quanto 1 e 1 ne sono generatori 2. (Z n, +), in quanto [1] n ne è generatore. Teorema 4 Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è esso stesso ciclico.

3 Proposizione 5 Sia (G, ) un gruppo, a un elemento di G di periodo finito k. Allora k = min{h N a h = 1 G }. Proposizione 6 Sia (G, ) un gruppo ciclico finito di ordine n, g un suo generatore, g h G. Allora vale l identità: g h = n M.C.D.(n, h) (1) Corollario I generatori di (Z n, +) sono tutti e soli gli elementi di Z n primi con n. In particolare tutti gli elementi non nulli di Z p, p primo, sono generatori di (Z p, +).

4 Teorema 7 (inverso del Teorema di Lagrange per i gruppi ciclici) Sia (G, ) un gruppo ciclico finito di ordine n. Allora per ogni divisore h di n esiste un unico sottogruppo H di G avente ordine h. Quindi ogni gruppo ciclico finito di ordine n ha tanti sottogruppi quanti sono i divisori di n.

5 Sia S n l insieme delle permutazioni su n oggetti e non è lesivo della generalità considerare i primi numeri naturali non nulli {1, 2,..., n}. Si è visto che S n = n!. La composizione di applicazioni fornisce una legge di composizione interna su S n : : S n S n S n. (S n, ) è un gruppo, (è un caso particolare di (S(A), )) e per n > 2 è non abeliano.

6 Definizione 8 Si sice che una permutazione f muove un elemento a se f(a) a; si dice che fissa a se f(a) = a. Definizione 9 Si dice ciclo di lunghezza r, e si indica con il simbolo (c 1 c 2... c r ), r n la permutazione f S n tale che f(c 1 ) = c 2, f(c 2 ) = c 3,..., f(c r 1 ) = c r, f(c r ) = c 1 e tutti gli altri elementi vengono fissati da f. Un ciclo di lunghezza 2 si chiama scambio. Si osservi che si ha (c 1 c 2... c r ) = (c 2... c r c 1 ) = (c 3... c r c 1 c 2 ) =... (c r c 1... c r 1 ). Definizione 10 Si dice che due permutazioni f e g sono disgiunte se gli elementi mossi da f sono fissati da g.

7 Osservazione 11 Se due permutazioni f e g sono disgiunte, allora f g = g f. Teorema 12 Ogni permutazione può essere scritta, in modo unico a meno dell ordine, come prodotto di cicli disgiunti. Osservazione 13 Si può scrivere il ciclo (c 1 c 2... c r ) come (c 1 c 2... c r ) = (c 1 c r ) (c 1 c 3 ) (c 1 c 2 ). Quindi ogni ciclo può essere scritto come prodotto di scambi e dunque ogni permutazione può essere scritta prima come prodotto di cicli e poi come prodotto di scambi. La scomposizione in

8 scambi non è unica. Per esempio: ( ) = (1 3 2) (4 5) = (1 2) (1 3) (4 5) = (1 2) (3 4) (3 4) (1 3) (4 5). Teorema 14 Due scomposizioni in scambi di una stessa permutazione hanno la stessa parità. Definizione 15 Si dice che una permutazione è di classe pari (rispettivamente dispari) se una sua qualunque scomposizione è costituita da un numero pari (rispettivamente dispari) di scambi.

9 Si può definire, quindi, l applicazione : S n {±1} tale che (f) = 1 se f è di classe pari 1 se f è di classe dispari. Proposizione 16 Il sottoinsieme formato dalle permutazioni di classe pari costituisce un sottogruppo di S n, che si chiama gruppo alterno. (Dimostrata a lezione)

10 Osservazione Sia σ un ciclo di lunghezza r. Allora l ordine di σ nel gruppo (S n, ) è r. Proposizione 17 Sia f S n, e sia f = σ 1 σ h la sua scomposizione in cicli disgiunti. Allora f = m.c.m.( σ 1,..., σ h ). Osservazione Il gruppo (S n, ) non è ciclico.

11 Siano (A, ), (B, ) due strutture algebriche. Si può allora considerare sul prodotto cartesiano A B la legge di composizione interna definita come segue: (a, b), (a, b ) A B, (a, b) (a, b ) = (a a, b b ). Si può verificare facilmente che se le due strutture (A, ) e (B, ) sono entrambe associative, allora (A B, ) è associativa se la struttura (A, ) ammette elemento neutro e e la struttura (B, ) ammette elemento neutro ɛ allora (A B, ) ammette elemento neutro (e, ɛ)

12 se a è un elemento invertibile di A avente a 1 come inverso e b è un elemento invertibile di B avente b 1 come inverso, allora la coppia (a, b) ha inverso in A B ed ha come inverso (a 1, b 1 ), ovvero (a, b) 1 = (a 1, b 1 ) se le due strutture (A, ) e (B, ) sono commutative, allora (A B, ) è commutativa quindi, se (A, ) e (B, ) sono monoidi (commutativi), allora (A B, ) è un monoide (commutativo) e se (A, ) e (B, ) sono gruppi (abeliani), allora (A B, ) è un gruppo (abeliano), che si dice gruppo somma diretta dei gruppi (A, ) e (B, ), che si indica con G G.

13 Esempio Fissati n, m N, n 1, si può considerare il gruppo somma diretta Z n Z m di (Z n, +) e (Z m, +), che è un gruppo abeliano finito di ordine n m. Osservazione Si può verificare che se (A, ) e (B, ) sono gruppi, a A, b B, entrambi di ordine finito, allora si ha la seguente formula nel gruppo somma diretta A B (a, b) = m.c.m( a, b ). Esempio Fissati n, m N, n 1, m 1, si può considerare il gruppo somma diretta Z n Z m di (Z n, +) e (Z m, +), che è un gruppo abeliano finito di ordine n m. Esercizi 1. In quali ipotesi su n ed m, Z n Z m è ciclico? 2. Studiare il gruppo Z 2 Z 2 (gruppo di Klein).