Prove d esame di Algebra I

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1 Prove d esame di Algebra I aa 2015/2016 Prova scritta 15 gennaio 2016 Esercizio 1 Dimostrare che, per ogni z Z, vale mcd(z 2 + 3, z 2) {1, 7} Determinare gli interi z tali che mcd(z 2 + 3, z 2) = 7 Esercizio 2 Definiamo sull insieme M := R R la seguente operazione ponendo, per ogni r, s, u, v R, (r, u) (s, v) := (rs + uv, rv + us) (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide commutativo (2) Determinare gli elementi invertibili di (M, ) Esercizio 3 Siano U, V, S sottogruppi di un gruppo G Dimostrare che, se U è un sottogruppo normale di V, allora S U è un sottogruppo normale di S V Prova scritta 29 gennaio 2016 Esercizio 1 Definiamo una relazione su Z Z ponendo, per ogni a, b, c, d Z, Dimostrare che (a, b) (c, d) : ab + d = cd + b 1

2 (1) è un equivalenza su Z Z, (2) (Z Z)/ è equipotente a Z Determinare un sistema di rappresentanti per (Z Z)/ Esercizio 2 Dimostrare che, per ogni z Z, vale mcd(z 2 + 2, z 1) {1, 3} Dimostrare che, se mcd(z 2 + 2, z 1) = 3 se e solo se z 3 1 Esercizio 3 Siano G un gruppo e g 0 un elemento di G Poniamo C := {g g G, gg 0 = g 0 g} (1) Dimostrare che C G (2) Dimostrare che C contiene il sottogruppo g 0 generato da g 0 (3) Dimostrare che, se g 0 G, allora C G Prova scritta 19 febbraio 2016 Esercizio 1 Poniamo R := R \ {0} e definiamo una relazione su R R ponendo, per ogni a, c R e b, d R, Dimostrare che (a, b) (c, d) : ab d = cd b (1) è un equivalenza su R R, (2) (R R )/ è equipotente a R Determinare un sistema di rappresentanti per (R R )/ Esercizio 2 Sia p P 2

3 (1) Dimostrare che mcd(z 2 + p, z p) divide p(p + 1), per ogni z Z (2) Determinare un elemento z di Z tale che mcd(z 2 + p, z p) = p(p + 1) Esercizio 3 Sia G := GL(3, R) e consideriamo il suo sottoinsieme H := 1 z z2 z z z Z (1) Dimostrare che H è un sottogruppo di G, (2) Dimostrare che H è ciclico e se ne trovi un generatore Prova scritta 22 aprile 2016 Esercizio n1 Determinare un intero x tale che { x 7 4 x 11 5 Esercizio n2 Sia X un insieme finito e sia S X il gruppo simmetrico su X Dimostrare che per ogni Y X, l insieme H Y := {σ S X y Y yσ Y } è un sottogruppo di S X Dimostrare, inoltre, che se A X e B = X \ A, then H A = H B Esercizio n3 Sia M := {(a, b) a, b Z} Poniamo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 Z, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 a 2 + b 2 ) (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide (2) Determinare il gruppo U(M) degli elementi invertibili di (M, ) (3) Determinare un elemento di U(M) di ordine 2 3

4 Prova scritta 23 giugno 2016 Esercizio n1 (1) Determinare l ultima cifra di 2 n + 5 n + 6 n + 10 n per ogni n N (2) Dimostrare che mcd(12z + 5, 5z + 2) = 1 per ogni z Z Esercizio n2 Sia α = ( Determinare una permutazione β S 7 tale che αβ abbia struttura ciclica (2, 3) Determinare una permutazione γ S 7 simile ad α e tale che αγ abbia struttura ciclica (2, 2) Esercizio n3 Provare che con l usuale prodotto righe per colonne l insieme delle matrici {( ) } a a 0 G := a R a a è un gruppo Provare inoltre che tale gruppo è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri reali ) Prova scritta 21 luglio 2016 Esercizio n1 Siano in S 8 α := ( ) ( , β := ) (1) Determinare struttura ciclica e orbite di α e αβ; (2) Scrivere una permutazione δ S 8 simile a αβ; 4

5 (3) Determinare una permutazione γ S 8 tale che α 2 β γ abbia struttura ciclica (3, 3) Esercizio n2 (1) Dimostrare che, per ogni z Z, vale mcd(2z + 3, 3z 2) {1, 13}; (2) Determinare gli interi z tali che il mcd(2z + 3, 3z 2) = 13 Esercizio n3 {( x y G := 1 0 x Siano ) x R \ {0}, y R} e N := {( 1 a 0 1 ) a R} (1) Dimostrare che G è un sottogruppo di GL(2, R) (rispetto all usuale prodotto righe per colonne); (2) Dimostrare che N è un sottogruppo normale di G; (3) Dimostrare che (G/N, ) è isomorfo al gruppo (R \ {0}, ) Prova scritta 15 settembre 2016 Esercizio n1 Sia R + l insieme dei numeri reali maggiori o uguali di zero Definiamo su R + R una relazione ponendo, per ogni a, c R + e b, d R, (a, b) (c, d) : b d = a c (1) Dimostrare che è una relazione di equivalenza su R + R; (2) Dimostrare che R + R/ è equipotente a R; (3) Determinare un sistema di rappresentanti per R + R/ Esercizio n2 Sia p un numero primo Dimostrare che, per ogni z Z, valgono 5

6 (1) mcd(2p + z, 3p + 2z) {1, p}; (2) mcd(2p + z, 3p + 2z) = p p z Esercizio n3 Siano in S 7 α := ( ) ( , β := ) (1) Determinare struttura ciclica e orbite di β e βα; (2) Determinare una trasposizione τ S 7 tale che ατ τα; (3) Determinare una permutazione γ S 7 tale che β γ = α 2 β Prova scritta 16 gennaio 2017 Esercizio n1 Sia Q := Q\{0} Definiamo sull insieme Q Q una relazione ponendo, per ogni x, y Q e a, b Q, (x, a) (y, b) : ay = xb (1) Dimostrare che è una relazione di equivalenza su Q Q; (2) Dimostrare che Q Q/ è equipotente a Q; (3) Determinare un sistema di rappresentanti per Q Q/ Esercizio n2 Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(z + 5, z 2 3) {1, 2, 11, 22}; (2) se 2z 11 1 allora mcd(z + 5, z 2 3) {11, 22} Esercizio n3 Definiamo sull insieme M := {(a, b) a, b R} la seguente operazione ponendo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 R, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 a 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 b 1 b 2 ) 6

7 (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide; (2) Determinare gli elementi invertibili di (M, ) Prova scritta 17 febbraio 2017 Esercizio n1 Sia Q := Q\{0} Definiamo sull insieme Q Q una relazione ponendo, per ogni x, y Q e a, b Q, (x, a) (y, b) : ay 1 = x 1 b (1) Dimostrare che è una relazione di equivalenza su Q Q; (2) Dimostrare che Q Q/ è equipotente a Q; (3) Determinare un sistema di rappresentanti per Q Q/ Esercizio n2 Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(z + 6, z 2 3) {1, 3, 11, 33}; (2) se 2z 11 1 allora mcd(z + 6, z 2 3) {11, 33} Esercizio n3 Definiamo sull insieme M := {(a, b) a, b R} la seguente operazione ponendo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 R, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (2a 1 a 2, 2a 1 b 2 + 2b 1 a 2 b 1 b 2 ) (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide; (2) Determinare gli elementi invertibili di (M, ) 7