Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria Docente: Ana Millán Gasca

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1 Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria Docente: APPENDICE A PARTIZIONI DI UN INSIEME E RELAZIONI DI EQUIVALENZA «L aspetto più importante della matematica non è la sua correttezza, ma la sua bellezza. Qualcuno ha detto che l arte è un modo di espressione attraverso un mezzo resistente : ad esempio la scultura attraverso la pietra. La logica è solo il mezzo resistente attraverso qui si esprime quella forma d arte che è la matematica.» Robert Aumann 1 SOMMARIO: A.1. Insiemi e sottoinsiemi. A.2 Operazioni insiemistiche. A.3 Insiemi infiniti. A.4 Relazioni di equivalenza e partizione di un insieme. Bibliografia: P. BORRIELLO, P. MAGRONE, Argomenti di matematica per filosofia, cap. 1; GARY L. MUSSER, WILLIAM F. BURGER, BLAKE E. PETERSON, Mathematics for the elementary teacher: A contemporary approach, New York, John Wiley, 2005 (7 ed.) A.1 Insiemi e sottoinsiemi In matematica si considerano molti insiemi. Vi sono innanzitutto gli insiemi numerici, quali l insieme N dei numeri naturali, oppure l insieme Z dei numeri naturali, lo zero e i numeri negativi (Z è l iniziale di zahl, che significa in tedesco numero; si chiama l insieme dei numeri interi). Ma possiamo anche considerare insiemi geometrici, come l insieme di tutte le rette del piano o di tutti i cerchi del piano. L idea d insieme è stata introdotta nella matematica per esplorare i suoi fondamenti, ossia nel tentativo di cercare idee ancora più semplici e basilari di quella di numero naturale e delle operazioni fra numeri naturali. Essa è stata introdotta anche per esplorare l idea di infinito, chiarendo questioni come quella di confrontare l infinito dei numeri naturali, l infinito dei numeri interi oppure l infinito dei punti della retta. L idea di insieme aveva le sue radici nei concetti o idee studiati dalla logica classica. Ad esempio, se si considera il concetto uomo, noi possiamo considerare l insieme di tutti gli uomini. Oppure se consideriamo l idea triangolo, possiamo considerare l insieme di tutti i triangoli. 1 Robert Aumann e Thomas Schelling hanno ricevuto il premio Nobel per l economia nel 2005 "per aver migliorato la nostra comprensione del conflitto e della cooperazione attraverso le analisi della teoria dei giochi".

2 LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI Oppure ancora la proprietà essere multiplo di 3 e l insieme corrispondente. Tuttavia, questa idea classica applicata alla matematica portò all emergere dei paradossi della teoria degli insiemi. Per evitare i paradossi, la teoria degli insiemi è stata ricostruita in modo assiomatico grazie al lavoro di Ernst Zermelo e Frankel. La teoria assiomatica degli insiemi non da una definizione di insieme, ma lo usa come concetto primitivo, vale a dire, tutto ciò che dobbiamo sapere sugli insiemi è fornito da alcuni assiomi, formulati in modo tale da evitare i paradossi. La teoria degli insiemi è divenuta così una branca della matematica. Alcuni matematici hanno continuato a lavorare all idea che la teoria degli insiemi fosse la base di tutta la matematica, e quindi hanno anche proposto di introdurla nella matematica elementare, che rappresenta l inizio della matematica, in sostituzione della geometria elementare. Questa idea è stata parzialmente applicata e ha suscitato molte critiche. La teoria degli insiemi fornisce alcuni concetti e un linguaggio (appartenenza, sottoinsieme, unione, intersezione, prodotto cartesiano, partizione e relazione di equivalenza) e una simbologia oggi adoperata comunemente nel fare e nello scrivere i teoremi della matematica. Insieme vuoto Si chiama insieme vuoto, e si scrive ", l insieme che non contiene alcun elemento. Estensione Per individuare un insieme dobbiamo indicare quali sono i suoi elementi. In primo luogo, possiamo usare una descrizione verbale come quella degli esempi introdotti prima. In secondo luogo, possiamo descrivere un insieme per estensione o elencazione indicando fra parentesi graffe i suoi elementi separati da virgole, ad esempio: C = {,,,,Ο} Ricordiamo che se descriviamo un insieme per estensione possiamo disporre gli elementi in qualsiasi ordine, e devono comparire una volta sola, proprio perché ciò che definisce un insieme è l appartenenza. Osservazione importante: per individuare un insieme non è necessario che vi sia una proprietà comune a tutti i suoi elementi (la proprietà comune è in realtà l appartenenza stessa all insieme). Si rende qui evidente la tendenza alla generalizzazione e all astrazione che è la forza del discorso matematico. DEFINIZIONE A.1 Dato un insieme A, diciamo che un insieme S è un sottoinsieme di A se tutti i suoi elementi appartengono ad A; scriviamo allora ( S " A) e diciamo che S è contenuto in A. ESEMPIO A.1 Se consideriamo tutti i bambini che frequentano una certa scuola dell infanzia, i bambini della sezione A ne costituiscono un sottoinsieme. Le persone residenti a Torino sono un sottoinsieme dell insieme delle persone residenti in Italia; un altro sottoinsieme di questo ultimo insieme è costituito dai bambini minori di tre anni residenti in Italia. L insieme D = {, } è un sottoinsieme dell insieme C = {,,,,Ο}. ESEMPIO A. 2. L insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell insieme dei numeri interi (N "Z). I seguenti insiemi, sono sottoinsiemi di N? 2

3 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA { 1,2,3 } { 1,2,3,4 } { 1,2,3,4,5 } I pari formano un sottoinsieme di N, come anche i dispari. L aritmetica studia molti di questi sottoinsiemi, come i primi, oppure i multipli di tre. DEFINIZIONE A. 2 (Uguaglianza di insiemi) Due insiemi A e B sono uguali ( A = B) se hanno gli stessi elementi. Quindi, per dimostrare che due insiemi sono uguali, bisogna dimostrare che ogni elemento di A appartiene a B e ogni elemento di B appartiene a A ( A " B e B " A). ESEMPIO A.3 Nella lezione 5 abbiamo dimostrato, in una divisione con resto, l insieme dei divisori di dividendo e divisore è uguale all insieme dei divisori del divisore e il resto della divisione. Insieme delle parti di un insieme universo U Nel rapporto di un insieme con i suoi sottoinsiemi possiamo esprimere l idea di classificazione all interno di un universo. Quando si studiano i sottoinsiemi di un insieme di riferimento U, esso viene spesso indicato come insieme universo. Bisogna però, per rendere tale idea più chiara, aggiungere altre definizioni. Ogni insieme ha almeno due sottoinsiemi, che sono chiamati insiemi impropri: l insieme vuoto e sé stesso (anche qui ritroviamo modi di pensare tipici della matematica, se si pensa ai due divisori scontati che ha ogni numero, sé stesso e 1). Ogni altro sottoinsieme è detto proprio. La famiglia dei sottoinsiemi di un insieme U è a sua volta un insieme, detto insieme delle parti o insieme potenza, e si indica con (U). Determinazione di un insieme indicando una proprietà dei suoi elementi Un insieme è descritto per comprensione o per caratteristica se indichiamo una proprietà comune a tutti gli elementi dell insieme e ad essi soli. ESEMPIO A.4. È questo ciò che facciamo quando consideriamo ad esempio l insieme S delle persone residenti in Italia maggiori di sessant anni : l insieme universo è formato dai cittadini italiani, e il predicato è x ha più di sessant anni. Se consideriamo il presidente della Repubblica italian, egli appartiene a S perché la proposizione il presidente della Repubblica ha più di sessant anni è vera. Consideriamo un insieme universo U. Spesso in matematica non ci interessa considerare uno specifico elemento di U, bensì un elemento di U scelto ad arbitrio: si dice allora che questo elemento è una variabile nel dominio U e si indica con una lettera minuscola (come x, y, z oppure n,m). Ad esempio, se il nostro insieme universo è l insieme dei numeri naturali N, per lo più non ci interessa parlare del numero 17 bensì di un numero qualsivoglia n in N. Oppure, se l insieme universo è l insieme di tutte le rette del piano, allora indichiamo con x una retta scelta a piacere. Un ultimo esempio: se in un indagine dell ISTAT l insieme universo è l insieme di tutte le persone residenti in Italia, allora x indicherà una persona qualsiasi residente in Italia. Supponiamo di avere una proprietà P, allora possiamo considerare l insieme A di tutti gli elementi di U che godono di tale proprietà. Scegliamo quindi un elemento qualsiasi x in U, se esso verifica la proprietà scriviamo P(x) e quindi esso è uno degli elementi di A: A = { x " U : P( x) } 3

4 LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI Nota: Il simbolo : significa tale che ; si può anche usare il simbolo / ESEMPIO A.5. Fra tutti i numeri naturali, i numeri pari sono quelli che godono della proprietà di essere multipli di 2 o detto in altro modo essere divisibile per 2. In questo caso l insieme universo è N; se n è un numero naturale pari deve esser un numero fatto così: 2 " k. Quindi tale proprietà individua per comprensione l insieme P: P = { n " N : n = 2 # k} A.2 Operazioni insiemistiche Considerato un insieme universo U, fra i suoi sottoinsiemi si possono definire delle operazioni. DEFINIZIONE A. 3 Dati A,B " U, si chiama insieme unione di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A oppure a B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente A " B = { x # U : x # A o x # B} DEFINIZIONE A. 4 Dati A,B " U, si chiama insieme intersezione di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A e anche B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente A " B = { x # U : x # A e x # B} Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l insieme vuoto. Osservazione: per definire l unione di due insiemi a parole abbiamo usato le parole oppure, o nel senso che x sta almeno in uno dei due insiemi, ma può appartenere ad entrambi. In altre parole, gli elementi che appartengono sia a uno che all altro insieme appartengono anch essi all insieme unione: A " B # A $ B. DEFINIZIONE A. 5 Dati A,B " U, si chiama insieme differenza di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente A B = { x " U : x " A e x # B} DEFINIZIONE A. 6. Dato A " U, si chiama insieme complementare di A in U l insieme degli elementi di U che non appartengono ad A. Possiamo scrivere questa definizione simbolicamente A c = { x " U : x # A} I diagrammi di Euler-Venn impiegano linee chiuse nel piano per rappresentare gli insiemi e sottoinsiemi; le sovrapposizioni servono a visualizzare le intersezioni di tali insiemi. 4

5 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA ESEMPIO A. 6 Consideri l insieme A dei multipli di 2, l insieme B dei multipli di 3, l insieme C dei multipli di 6, l insieme D dei dispari, l insieme E dei numeri che danno resto 1 nella divisione per 3. Esplori questi insiemi, trovando alcuni elementi e con l aiuto di diagrammi di Eulero Venn. Trovi relazioni di inclusione fra questi insiemi. Trovi A " B. Trovi A " D e A # D. Rappresenti graficamente la relazione fra A, D, N. Trovi B " D. Esplori la relazione fra B, E e N, rappresentandola graficamente e trovando B " E e B # E. A, B, C, D e E sono sottoinsiemi di N. Provi ad individuare per ognuno di loro una proprietà matematica che contraddistingua i suoi elementi, usando le sue conoscenze sul concetto di multiplo e sulla divisione con resto. Proprietà delle operazioni fra insiemi Augustus de Morgan ( ), come John Venn ( ) e George Boole ( ), nelle loro ricerche sulle regole dei ragionamenti validi ( the laws of thought ), applicarono un approccio mutuato dall algebra e concepirono l algebra degli insiemi e l algebra delle proposizioni. Infatti, le operazioni fra insiemi verificano come nel caso delle operazioni di addizione o moltiplicazione dei numeri naturali anch esse delle proprietà, come la proprietà commutativa, associativa, distributiva (provate a scriverle), oppure le leggi di De Morgan: ( A " B) c = A c # B c ( A # B) c = A c " B c Per dimostrare queste uguaglianze fra insiemi bisogna dimostrare che sussistono entrambe le inclusioni. Per definire il prodotto cartesiano degli insiemi dobbiamo ricordare che, dati due insiemi A e B, e dati a " A e b " B, ( a,b) si chiama coppia ordinata con prima componente a e seconda componente b. DEFINIZIONE A. 7 Due coppie ordinate sono uguali se sono uguali le prime componenti e le secondi componenti rispettivamente; simbolicamente: ( a 1,b 1 ) = ( a 2,b 2 ) se a 1 = b 1 e a 2 = b 2 ( ) è un ente matematico diverso dall insieme formato dai due Si osservi che la coppia ordinata a,b elementi a e b, vale a dire { a,b}(infatti, in questo insieme l ordine dei due elementi è irrilevante). DEFINIZIONE A. 8 (Prodotto cartesiano di due insiemi) Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B l insieme formato da tutte le coppie ordinate ( a,b) la cui prima componente è un elemento di A e la cui seconda componente è un elemento di B: A " B = {( a,b) : a # A e b # B} Si osservi che possiamo anche considerare il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso: basta pensare che il secondo insieme è una copia di A. Allora abbiamo: 5

6 LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI A " A = {( a,b) : a,b # A} Si tenga presente che, se a,b " A, la coppia ordinata ( a,b) è diversa dalla coppia ordinata ( b,a). A. 3. Insiemi infiniti Abbiamo introdotto la definizione di insieme finito nella lezione 3, usando i numeri naturali: è una definizione che garantisce che si possono contare gli elementi, poiché richiede di stabilire una corrispondenza biunivoca con un segmento iniziale di N. Un insieme si dice infinito se non è finito. È interessante però ciò che vuole dire infinito dal punto di vista della teoria degli insiemi. Il matematico tedesco Richard Dedekind era convinto che l idea di numero naturale potesse essere ridotta a un idea ancora più basilare, quella di insieme (che lui chiamava sistema ). Quindi escogitò una definizione di insieme infinito senza far uso dei numeri naturali (senza contare ). Per capire meglio ciò che distingue gli insiemi finiti da quelli infiniti partì da un fatto sorprendente che fu sottolineato già da Galileo nella sua opera Discorsi intorno a due nuove scienze, riguardante l insieme (infinito) dei numeri naturali: vi sono tanti numeri naturali quanti numeri pari, nonostante molti numeri naturali non siano pari (è il caso di 9, oppure di 7); per convincersene basta incolonnare i numeri e associare ciascuno con il suo doppio 1" "# 2 2 "# 4 3 "# 6... Galileo non usava né la parola «insieme» né l espressione «corrispondenza biunivoca». Usando queste parole moderne, diremmo che la corrispondenza biunivoca f 2 : N "# A n "# f 2 n ( ) = 2n è una corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri naturali N e il suo sottoinsieme proprio formato dai numeri pari A. E quindi vi sono tanti elementi in N quanti in A. Si tratta di uno di quei fatti paradossali che la matematica esplora, perché contraddice la verità familiare il tutto è maggiore della parte. Infatti, la definizione proposta da Dedekind è questa: un insieme è infinito se può essere stabilita una corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio; un insieme è finito se non è infinito. Quanto abbiamo detto ci ha permesso di guardare gli insiemi finiti, ossia quelli che si possono contare, sotto un nuovo punto di vista, espresso dalla seguente proprietà PROPRIETÀ A.1 (Proprietà degli insiemi finiti) Se A è finito e S è un suo sottoinsieme proprio, allora non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra A e S. Questa proprietà esprime la certezza intuitiva che quando si conta con i numeri naturali tutto funziona bene : se S è un sottoinsieme proprio di un insieme finito A di cardinalità a, anche S è finito e la sua cardinalità è al massimo a "1 (se la cardinalità di S è s, allora si ha s < a). 6

7 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA L infinito dei numeri naturali è solo il primo gradino dell infinito matematico. Il matematico tedesco Georg Cantor ( ) sviluppò la teoria degli insiemi proprio per trattare gli insiemi infiniti, che sono quelli che presentano interesse dal punto di vista matematico, e usò l idea di corrispondenza biunivoca che esprime matematicamente il confronto quantitativo fra insiemi. Possiamo generalizzare l idea di numerosità o quantità di elementi in un insieme attraverso questa idea. DEFINIZIONE A. 9. Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra di loro; si dice anche che essi sono equipotenti. Osservazione: L equipotenza è una relazione binaria fra gli insiemi che verifica la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. DEFINIZIONE A.10. Gli insiemi equipotenti a N si dicono numerabili. Cardinalità dell insieme dei numeri interi L insieme Z è numerabile. Possiamo infatti stabilire la seguente corrispondenza biunivoca fra N e Z: N "# Z Cardinalità dell insieme dei numeri razionali L insieme Q è numerabile. 0 "# 1 1" "# 2 "1## $ 3 2 "# 4 "2 # $ 5 3 "# 6 Non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili. Ad esempio l insieme infinito dei punti di una retta geometrica non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l insieme N. A. 4. Relazioni di equivalenza e partizione di un insieme ESEMPIO 6 Ricordiamo la famiglia { A,D}di sottoinsiemi di N dell esempio 5: abbiamo ripartito i numeri naturali in due grandi insiemi disgiunti, i pari (A) e i dispari (D). Ma anche la famiglia { B,E,F} B = 3" k /k # N { } E = { 3" k +1/k # N} F = { 3" k + 2 /k # N} ci fornisce una partizione dell insieme N, questa volta in tre insiemi. In entrambi i casi abbiamo stabilito una relazione binaria nell insieme N che induce una classificazione dei numeri, o, usando il termine matematico, una partizione dell insieme dei numeri naturali. Nel primo caso il criterio introdotto era: dare lo stesso resto nella divisione per 2 ; nel secondo caso era dare lo stesso resto nella divisione per 3. ESEMPIO 7 Consideriamo invece tutti gli abitanti di una città X, nella quale si presentano tre persone alle elezioni a sindaco. Possiamo suddividerli in gruppi usando il criterio votare per lo stesso candidato sindaco. Se usiamo un diagramma di Eulero-Venn e delle frecce per indicare i collegamenti, osserveremo dei cluster di persone in corrispondenza dei vari candidati sindaco, e sarà evidente una suddivisione o 7

8 LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI partizione dell insieme dei concittadini in tre sottoinsiemi, seguendo le loro preferenze politiche. Ognuno di questi insiemi è una classe di equivalenza, ossia l insieme di persone che sono in rapporto fra di loro perché votano per lo stesso candidato sindaco. Da un certo punto di vista, per un sondaggista che conduca uno studio sull opinione pubblica in città, tutte le persone di un dato gruppo sono da considerarsi equivalenti. Uguaglianza ed equivalenza Spesso in matematica consideriamo alcuni elementi di un insieme come equivalenti, nel senso di quasi uguali, uguali da un certo punto di vista. Un esempio classico, che riguarda i numeri, sono le frazioni. Fra le tante frazioni che possiamo costruire, sappiamo che vi sono famiglie di frazioni equivalenti: a b " c d se a " d = b " c e quindi ognuna di tali famiglie viene concepita come una entità unica (un quoziente o numero razionale), spesso identificata con un rappresentante, la frazione ridotta ai minimi termini, senza rinunciare però quando serve (ad esempio per eseguire l addizione fra frazioni scegliendo un comune denominatore) a usare qualsiasi altro elemento equivalente. Un esempio geometrico è quello della relazione essere parallele o coincidenti definito nell insieme delle rette nel piano: ogni classe di equivalenza definisce una direzione nel piano. Per indicare una direzione nel piano basta considerare un rappresentante qualsiasi di una classe di equivalenza, ossia sotto questo punto di vista le rette parallele sono quasi uguali (attenzione! Esse invece non sono affatto uguali sotto altri punti di vista o criteri). Anche fra i numeri naturali, possiamo considerare uniti in una famiglia tutti i multipli di un certo numero, ad esempio i multipli di 2 oppure di 5. Nel primo caso, i numeri pari, tutti gli altri formano un unico insieme, i numeri dispari, che danno resto 1 nella divisione per 2; quindi suddividiamo l insieme N in due parti i pari 2n i dispari 2n +1 La congruenza (aritmetica) rispetto a un certo numero o modulo definisce una famiglia di sottoinsiemi di Z, ognuno di essi formati da numeri congrui fra di loro; per esempio la congruenza modulo 5 e la relazione binaria seguente n " m mod 5 se n e m hanno lo stesso resto nella divisione per 5 e quindi nell insieme Z sono definiti cinque sottoinsiemi, disgiunti a due a due: i multipli di 5 e i numeri che danno resto 1, 2, 3 e 4 rispettivamente nella divisione per 5. L unione di questi sottoinsiemi è Z. L idea di uguaglianza è centrale in matematica, ed è collegata alla idea di rappresentazione. Essere uguali, essere diversi, sono relazioni fra gli oggetti che osserviamo direttamente, ma la matematica ci aiuta a discernere oltre il senso comune: si tratta di indagare attorno all uguaglianza, ossia l equivalenza, mentre essere diversi è troppo impreciso. Ad esempio, quando diciamo che due figure geometriche sono uguali (ad esempio due quadrati di lato uguale) possiamo dire che esse sono coincidenti oppure congruenti, vale a dire possiamo girare, o traslare o in generale muovere la figura secondo un moto rigido, e rimane la stessa (si tratta della congruenza geometrica ). Nei libri di geometria degli Elementi, laddove Euclide parla di figure uguali bisogna intendere invece equiestese. 8

9 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Tutti gli esempi che abbiamo ricordato sono analoghi, nel senso seguente: in un certo insieme stabiliamo un criterio secondo il quale alcuni elementi sono a due a due equivalenti. Questo criterio permette di individuare una famiglia di sottoinsiemi (le classi di equivalenza) disgiunti a due a due, e la cui unione è l insieme di partenza. Quindi possiamo scegliere per ogni sottoinsieme di elementi equivalenti fra di loro (classe di equivalenza) un rappresentante e ragionare soltanto con l insieme dei rappresentanti; ma possiamo, se serve, anche cambiare rappresentate della classe (ad esempio per addizionare le frazioni). Introduciamo quindi due definizioni. DEFINIZIONE A. 11. Una partizione di U è un sottoinsieme di (U) che verifica le condizioni seguenti: l unione di tutti i sottoinsiemi di U che appartengono alla partizione è uguale a U; due qualsivoglia sottoinsiemi di U diversi della partizione sono disgiunti. Le proprietà dell equivalenza sono una generalizzazione delle proprietà dell uguaglianza: DEFINIZIONE A. 12. Una relazione d equivalenza R in un insieme A è un criterio che associa elementi di A fra di loro a due a due, e che verifica le proprietà seguenti. proprietà riflessiva. Una relazione binaria in A si dice riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con sé stesso: "a # A, ara proprietà simmetrica. Una relazione binaria in A si dice simmetrica se verifica che, per ogni coppia di elementi di A, se il primo è in relazione con il secondo, allora il secondo è in relazione con il primo: "a,b # A se arb, allora bra proprietà transitiva:una relazione binaria in A si dice transitiva se verifica che, dati tre elementi di A, se il primo è in relazione con il secondo e il secondo con il terzo, allora il primo è in relazione con il terzo la condizione seguente: "a,b,c # A se arb e brc, allora arc Le proprietà di cui gode una relazione d equivalenza stabiliscono nell insieme A una partizione in sottoinsiemi chiamati classi di equivalenza. Vediamo come. DEFINIZIONE A.13 Considerando un elemento qualsivoglia a " A, si chiama classe di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A con cui a è in relazione (si dicono elementi equivalenti ad a): [ a] ={b " A: arb} 9

10 LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI Si osservi che la proprietà riflessiva garantisce che un elemento appartenga alla propria classe di equivalenza. DEFINIZIONE A. 14. L insieme formato dalle classi di equivalenza si chiama insieme quoziente A /R = {[ a] : a " A} ESEMPIO A. 9 Si consideri la relazione binaria dare lo stesso resto nella divisione per 3 nell insieme N. Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza. Si osservi che l insieme quoziente è { B, E,F}. La classe di equivalenza del numero 7, ad esempio, è: [ 7] = { n " N : n da lo stesso resto di 7 nella divisione per 3} = E ESEMPIO A.10 L insieme dei numeri razionali Q è un insieme quoziente. PROPRIETÀ A.2 L insieme quoziente è una famiglia di sottoinsiemi di A che forma una partizione di A. Viceversa, per ogni partizione in un insieme A esiste una relazione di equivalenza in A che induce tale partizione. Dimostrazione della prima parte. Infatti, poiché R è riflessiva, ogni elemento appartiene alla sua classe di equivalenza; e si può dimostrare che se due elementi sono equivalenti fra loro, le loro classi di equivalenza coincidono. Quindi ogni elemento di A appartiene a una e a una sola classe di equivalenza. Esercizi 1) Sia U l insieme universo delle specie animali. Considerare i seguenti insiemi: l insieme A delle specie animali acquatiche, l insieme B delle specie animali terrestri, l insieme C delle specie di mammiferi e l insieme D delle specie di rettili. Costruire una rappresentazione usando i diagrammi di Eulero-Venn. Indicare una specie appartenente agli insiemi: A " B, ii) A " C, iii) D" C. Ottenere A c. Quale relazione sussiste fra D e U? 2) Ad una tornata di elezioni comunali del paese di Teruel si presentano tre partiti politici: Sinistra, Destra, Centro. Studiare la classificazione indotta nell insieme degli elettori dal criterio votare lo stesso partito alle elezioni comunali. 3) Considerare la relazione indotta dal criterio: x + y è un numero pari. Studiare la relazione che esso esprime nell insieme N. 4) Dimostrare che l equipotenza è una relazione di equivalenza sugli insiemi. 5) Considerare nell insieme A = { 1,3,5,7,9 } la relazione data dal seguente sottoinsieme di A " A { ( )} " = ( 1,1 ),( 1,3 ),( 1,5 ),( 3,1 ),( 3,5), ( 3,3), ( 5,1), ( 5,3), ( 5,5), ( 7,9), ( 9,7), ( 7,7), 9,9 Rappresentare la relazione con un diagramma di frecce e verificare che si tratta di una relazione di equivalenza. Quanti elementi ha l insieme quoziente A/"? 6) Dati l insieme A delle vocali e l insieme B dei numeri da 10 a 15 10

11 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA a) scrivere i due insiemi per estensione e rappresentarli per mezzo di due diagrammi di Venn. b) A e B hanno la stessa cardinalità? (ricordi le definizione riguardanti la cardinalità di insiemi finiti e infiniti) 7) Sia C l insieme delle cifre che servono a scrivere il numero venti mila settecento trentasei e D l insieme dei quattro primi numeri naturali primi diversi da 1. (a) Determinare l insieme intersezione di C e D, l insieme unione di C e D e l insieme prodotto cartesiano di C e D. (b) L insieme C " D è finito? Quanti elementi ha? Altri esercizi: In equilibrio sulla linea dei numeri, cap. 1, esercizi