Verità, tautologia e implicazione logica

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1 Condizioni di verità delle frasi di LP erità, tautologia e implicazione logica Sandro Zucchi Passiamo ora alla terza parte del compito di descrivere il linguaggio LP: Come vengono calcolate le condizioni di verità delle formule ben formate di LP? S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 1 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 2 alutazioni Allo scopo di formulare la semantica del linguaggio LP, introduciamo in primo luogo la nozione di valutazione. Una valutazione è una funzione che assegna a ogni lettera proposizionale un valore di verità (il vero o il falso, che rappresenteremo, rispettivamente, con le lettere maiuscole ed ). Per esempio, questa è una valutazione: p 1 p 2 p E questa è un altra valutazione: p 1 p 2 p Come pensare alle valutazioni Intuitivamente (anche se non è del tutto corretto), possiamo pensare a una valutazione come a un modo in cui le cose potrebbero stare, a un caso possibile. Supponete che le lettere proposizionali p, q, r, ecc. stiano per frasi semplici dell italiano, come Gianni è biondo, Maria è greca, Roma è la capitale d Italia, ecc. Allora, una valutazione delle lettere proposizionali che assegna a p il falso, a q il vero, a r il vero, ecc. ci dice che Gianni non è biondo, mentre Maria è greca, Roma è la capitale d Italia, ecc. E questo è un modo in cui potrebbero stare le cose. Un altra valutazione, che assegna a p il vero, a q il falso, a r il falso, ecc., ci dice che Gianni è biondo, Maria non è greca, Roma non è la capitale d Italia, ecc. E questo è un altro modo in cui potrebbero stare le cose. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 3 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 4

2 Condizioni di verità per le formule atomiche Condizioni di verità per le formule complesse Possiamo ora formulare le condizioni di verità per le formule di LP facendo uso della nozione di verità relativamente a una valutazione. Per quanto riguarda le lettere proposizionali di LP, diremo semplicemente che se A è una lettera proposizionale, A è vera in LP, relativamente a una valutazione ν, se ν assegna ad A il valore ; e A è falsa in LP, relativamente a ν, se ν assegna ad A il valore. Passiamo ora alle condizioni di verità delle formule complesse di LP, cioè delle formule di LP che sono formate a partire delle formule atomiche per mezzo dei connettivi e delle parentesi. Le regole semantiche di LP ci dicono come calcolare il valore di verità delle formule complesse di LP sulla base del valore delle verità delle formule che le compongono. ediamo in che modo le regole semantiche di LP assolvono questo compito. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 5 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 6 Il connettivo Un simbolo di LP usato per costruire formule complesse è il cuneo rovesciato. Ecco la regola che stabilisce a quali condizioni una formula complessa della forma (A B) è vera relativamente a una valutazione: (A B) è vera in LP, relativamente a una valutazione ν, se le formule A e B sono entrambe vere in LP, relativamente a ν; altrimenti (A B) è falsa in LP, relativamente a ν. unzioni di verità Riflettiamo un momento sulla regola per (A B) : (A B) è vera in LP, relativamente a una valutazione ν, se le formule A e B sono entrambe vere in LP, relativamente a ν; altrimenti (A B) è falsa in LP, relativamente a ν. Questa regola ci dice che è possibile calcolare il valore di verità di una formula della forma (A B) a partire dai valori di verità di A e B. Usando una terminologia di derivazione matematica, si usa esprimere questo fatto dicendo che il valore di verità di una formula della forma (A B) è una funzione dei valori di verità delle formule A e B che la compongono. (L analogia con le funzioni matematiche è questa: come in matematica la funzione associata al simbolo + ci permette, ad esempio, di associare 5 alla coppia 2, 3, così in logica la funzione associata a ci permette di associare il valore di verità ero alla coppia ero, ero ). S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 7 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 8

3 Tavole di verità Il fatto che il valore di verità di una formula della forma (A B) sia una funzione dei valori di verità di A e di B può essere visualizzato mediante la tavola seguente, detta tavola di verità: A B (A B) In questa tavola abbrevia ero e abbrevia also. Ecco come la si deve leggere: La prima riga ci dice che, se A è vera e B è vera (rispetto a una valutazione), allora (A B) è vera (in quella valutazione). La seconda riga ci dice che, se A è vera e B è falsa (rispetto a una valutazione), allora (A B) è falsa (in quella valutazione). La terza riga ci dice che, se A è falsa e B è vera (rispetto a una valutazione), allora (A B) è falsa (in quella valutazione). La quarta riga ci dice che, se A è falsa e B è falsa (rispetto a una valutazione), allora (A B) è falsa (in quella valutazione). Il connettivo Un altro connettivo di LP è il cuneo. La sua tavola di verità è questa: A B (A B) In altre parole, (A B) è falsa in LP, relativamente a una valutazione ν, se le formule A e B sono entrambe false in LP, relativamente a ν; altrimenti (A B) è vera in LP, relativamente a ν. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 9 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 10 Il connettivo Il connettivo Un altro connettivo di LP è il ferro di cavallo. La sua tavola di verità è questa: A B (A B) In altre parole, (A B) è falsa in LP, relativamente a una valutazione ν, se A è vera e B è falsa in LP, relativamente a ν; altrimenti (A B) è vera in LP, relativamente a ν. Un altro connettivo di LP è la tripla sbarra. La sua tavola di verità è questa: A B (A B) In altre parole, (A B) è falsa in LP, relativamente a una valutazione ν, se A e B differiscono nel loro valore di verità, relativamente a ν; altrimenti (A B) è vera in LP, relativamente a ν. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 11 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 12

4 Il connettivo Infine, rimangono da specificare le condizioni di verità associate a formule complesse formate attraverso il connettivo di LP, che chiameremo tilde. Questo connettivo è diverso dagli altri connettivi che abbiamo visto finora, in quanto non collega due formule, ma si applica ad una formula per dar luogo ad un altra formula. La sua tavola di verità è questa: A A In altre parole, A è vera in LP, relativamente a una valutazione ν, se A è falsa in LP, relativamente a ν; mentre, se A è vera in LP, relativamente a ν, allora A è falsa in LP, relativamente a ν. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 13 Alcune nozioni Introduciamo ora alcune nozioni relative al linguaggio LP che ci saranno utili più avanti: tautologia contraddizione implicazione logica S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 14 Tautologia Un esempio di tautologia Una formula di LP è una tautologia se e solo se è sempre vera in LP, qualunque sia il valore di verità delle lettere proposizionali che la compongono (vale a dire, una tautologia è una formula che è vera relativamente a qualunque valutazione). Una tautologia sarà dunque una formula di LP la cui tavola di verità contiene solo nell ultima colonna a destra. La formula ((p q) (q p)) è una tautologia. Infatti, l ultima colonna della tavola di verità di questa formula contiene solo : p q (p q) (q p) ((p q) (q p)) S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 15 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 16

5 Contraddizione Un esempio di contraddizione Una formula di LP è una contraddizione se e solo se è sempre falsa in LP, qualunque sia il valore di verità delle lettere proposizionali che la compongono (vale a dire, una contraddizione è una formula che è falsa relativamente a qualunque valutazione). Una contraddizione è una formula di LP la cui tavola di verità contiene solo nell ultima colonna. La formula (p p) è una contraddizione. Infatti, l ultima colonna della tavola di verità di questa formula contiene solo : p p (p p) S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 17 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 18 Implicazione logica in LP Tavole di verità e implicazione logica Diciamo che una formula A implica logicamente una formula B in LP se e solo se non esiste una valutazione (ovvero un assegnamento di valori di verità alle lettere proposizionali) che rende A vera e B falsa in LP. Più in generale, diciamo che un insieme di formule X implica logicamente una formula B in LP se e solo se non esiste una valutazione (ovvero un assegnamento di valori di verità alle lettere proposizionali) che rende tutte le formule in X vere e B falsa in LP. Oltre a permetterci di accertare se una formula è una tautologia oppure una contraddizione, le tavole di verità ci danno un metodo per verificare in modo del tutto meccanico, attraverso un numero finito di passi, se una formula A implica logicamente una formula B in LP. ediamo come funziona questo metodo. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 19 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 20

6 Un esempio di implicazione logica in LP? Consideriamo le formule (1)-(2): (1) ((p q) p) (2) q La formula (1) implica logicamente la formula (2) in LP? ediamo. Come calcolare l implicazione logica in LP Secondo la definizione, (1) implica logicamente (2) (in LP) se e solo se non esiste una valutazione (un assegnamento di valori di verità alle lettere proposizionali) che rende (1) vera e (2) falsa in LP: (1) ((p q) p) (2) q Dunque, per stabilire se (1) implica logicamente (2) in LP, dobbiamo fare così: a. considerare tutti gli assegnamenti possibili di valori di verità alle lettere proposizionali che compaiono in (1)-(2); b. calcolare per ciascuno di questi assegnamenti quali sono i valori di verità di (1) e (2); c. controllare se esiste un assegnamento che rende vera (1) e falsa (2) in LP; se non esiste, (1) implica logicamente (2) in LP. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 21 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 22 Calcoliamo! Questa tavola di verità calcola il valore di verità delle formule ((p q) p) e q per ogni assegnamento possibile di valori di verità alle lettere proposizionali che contengono (cioè, per ogni assegnamento di valori di verità a p e q ): p q ((p q) p) q Osservando la tavola, chiediamoci dunque: esiste un assegnamento che rende vera (1) e falsa (2) in LP? (1) ((p q) p) (2) q Un esempio di implicazione logica in LP L unico assegnamento alle lettere proposizionali di (1)-(2) che rende vera (1) in LP è quello della seconda riga: (1) ((p q) p) p q ((p q) p) q Questo assegnamento rende vera anche (2) in LP: (2) q Dunque, non esiste una valutazione che rende vera (1) e falsa (2) in LP. Dunque, (1) implica logicamente (2) in LP. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 23 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 24

7 Uomini, asini, e bastoni nell angolo In universam logicam quaestiones è un trattato medioevale di logica che discute una serie di questioni suggerite dall Isagoge di Porfirio e dall Organon di Aristotele. Un tempo questo trattato era attribuito a John Duns Scotus, ma oggi viene attribuito a uno Pseudo-Scotus. Ora, questo Pseudo-Scotus scrive nelle Quaestiones: Da Socrate esiste e Socrate non esiste, che implica una contraddizione nella forma, segue Un uomo è un asino o C è un bastone nell angolo, e così per qualsiasi altra cosa. Il ritorno di Pseudo-Scotus La definizione di implicazione logica in LP conferma il principio enunciato da Pseudo-Scotus. Una contraddizione implica logicamente (in LP) qualunque formula. ediamo perché. Questo fatto, secondo Pseudo-Scotus, è un caso del seguente principio generale: Da qualunque proposizione che implica una contraddizione nella forma segue formalmente qualunque altra proposizione. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 25 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 26 Rammentiamo le definizioni Prova del principio di Pseudo-Scotus Abbiamo detto che una formula A implica logicamente una formula B (in LP) se e solo se non esiste una valutazione che rende A vera e B falsa in LP. Inoltre, abbiamo detto che una formula di LP è una contraddizione se e solo se qualunque valutazione la rende falsa. Secondo la definizione di contraddizione, se A è una contraddizione, non esiste una valutazione che rende vera A in LP. Se non esiste una valutazione che rende vera A in LP, a maggior ragione, data una qualunque formula B, non esiste una valutazione che rende vera A e falsa B in LP. Dunque, per la definizione di implicazione logica, se A è una contraddizione, A implica logicamente qualunque formula in LP. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 27 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 28

8 Un esempio Possiamo illustrare il ragionamento precedente in questo modo. Consideriamo la contraddizione (p p) e la formula q. Si consideri ora la tavola di verità seguente: p p (p p) q Come si vede dalla colonna che corrisponde a (p p), non esiste alcuna riga che rende questa formula vera in LP. Dunque, non esiste alcuna valutazione che rende (p p) vera e q falsa in LP. Dunque, (p p) implica logicamente la formula q in LP. Notazioni alternative I simboli che abbiamo usato come connettivi di LP sono,,, e. Altre versioni della logica proposizionale usano simboli diversi con le stesse tavole di verità. Per facilitare le cose, riportiamo qui alcune varianti notazionali: p q, p&q, p q, Kpq. p q, Apq. p q, p q, Cpq. p q, p q, Epq. p, p, Np. S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 29 S. Zucchi: ilosofia del linguaggio 2014 erità, tautologia e implicazione logica 30