Introduzione alla logica proposizionale ( 2 a parte: Analisi )

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1 Introduzione alla logica proposizionale ( 2 a parte: Analisi ) Eugenio G. Omodeo Dip. Matematica e Geoscienze DMI De Morgan: γ >( α & β ) ( γ>α ) ( γ>β ) γ>( α β ) ( γ>α ) & ( γ>β ) contrapposizione: ( α β ) ( β α ) imp/esp-ortazione: ( α & β γ ) ( α ( β γ ) ) distribuzione: α ( β & γ ) ( α β ) & ( α γ ) α & ( β γ ) ( α & β ) ( α & γ ) associatività: α ( β γ ) ( α β ) γ α & ( β & γ ) ( α & β ) & γ commutatività: α β β α α & β β & α assorbimento: α α α α & α α Trieste, 08/03/2016 Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 1/16

2 Scopo della lezione I lucidi su Dnf e Cnf suggerivano metodi di sintesi per ottenere da una funzione booleana enunciati in grado di esprimerla Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 2/16

3 Scopo della lezione I lucidi su Dnf e Cnf suggerivano metodi di sintesi per ottenere da una funzione booleana enunciati in grado di esprimerla Qui affrontiamo la questione inversa: come effettuare l analisi di un enunciato dato Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 2/16

4 Scopo della lezione I lucidi su Dnf e Cnf suggerivano metodi di sintesi per ottenere da una funzione booleana enunciati in grado di esprimerla Qui affrontiamo la questione inversa: come effettuare l analisi di un enunciato dato N.B.: Non stiamo parlando più di analisi sintattica! :) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 2/16

5 Citazione del giorno La dimostrazione nella logica è solo un mezzo meccanico per riconoscere piú facilmente la tautologia ove questa è complicata. [Wittgenstein(1922), ] Ludwig Wittgenstein Vienna 1889 Cambridge 1951 Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 3/16

6 Illustrazione del giorno Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 3/16

7 Scaletta mutua riducibilità dei problemi di tautologicità e soddisfacimento Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 4/16

8 Scaletta mutua riducibilità dei problemi di tautologicità e soddisfacimento tre esercizi sul soddisfacimento di disgiunzioni Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 4/16

9 Scaletta mutua riducibilità dei problemi di tautologicità e soddisfacimento tre esercizi sul soddisfacimento di disgiunzioni test ( manuale ) di tautologicità di un implicazione Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 4/16

10 Scaletta mutua riducibilità dei problemi di tautologicità e soddisfacimento tre esercizi sul soddisfacimento di disgiunzioni test ( manuale ) di tautologicità di un implicazione regole d inferenza : { istanziazione di schemi tautologici modus [ ponendo ] ponens Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 4/16

11 Scaletta mutua riducibilità dei problemi di tautologicità e soddisfacimento tre esercizi sul soddisfacimento di disgiunzioni test ( manuale ) di tautologicità di un implicazione regole d inferenza : { istanziazione di schemi tautologici modus [ ponendo ] ponens sistema deduttivo alla Hilbert Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 4/16

12 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 5/16

13 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 5/16

14 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 5/16

15 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 5/16

16 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso tautologico: se è vero sempre Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 5/16

17 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso tautologico: se è vero sempre Per stabilire se α è tautologico, possiamo: Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 6/16

18 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso tautologico: se è vero sempre Per stabilire se α è tautologico, possiamo: passare a α Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 6/16

19 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso tautologico: se è vero sempre Per stabilire se α è tautologico, possiamo: passare a α stabilire se α è assurdo Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 6/16

20 Tautologie Un enunciato ( proposizionale ) α può essere vero: una volta assegnati i valori di verità alle sue lettere assurdo: se non è mai vero soddisfacibile: se è vero in almeno un caso tautologico: se è vero sempre Per stabilire se α è tautologico, possiamo: passare a α stabilire se α è assurdo ma se invece troviamo che α è soddisfacibile, allora abbiamo un controesempio ad α Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 6/16

21 Esercizi sul soddisfacim. di enunciati in DNF 1 Indicare una condizione necessaria e sufficiente perché una disgiunzione di letterali sia tautologica Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 7/16

22 Esercizi sul soddisfacim. di enunciati in DNF 1 Indicare una condizione necessaria e sufficiente perché una disgiunzione di letterali sia tautologica 2 Mostrare che una DNF è assurda se e solo se ogni suo disgiunto ha, fra i propri congiunti, due letterali complementari, cioè una lettera l assieme alla sua negaz. l Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 7/16

23 Esercizi sul soddisfacim. di enunciati in DNF 1 Indicare una condizione necessaria e sufficiente perché una disgiunzione di letterali sia tautologica 2 Mostrare che una DNF è assurda se e solo se ogni suo disgiunto ha, fra i propri congiunti, due letterali complementari, cioè una lettera l assieme alla sua negaz. l 3 Dire allora se è pratico il seguente metodo per stabilire se un enunciato α è tautologico o no: sintetizzare una DNF β equivalente a α servirsi del criterio di cui al punto 2. per stabilire se β è assurdo Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 7/16

24 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

25 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r tavole di verità: 8 righe da sviluppare ( provateci! ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

26 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q r ) ) ( ( p q ) ( p r ) ) 0 1 Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

27 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

28 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

29 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

30 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

31 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

32 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

33 Accertamento manuale di tautologicità Esercizio. Stabilire che il seguente enunciato è una tautologia: ( p q r ) ( p q ) p r reductio ad absurdum: ( p ( q ) r ) ( ( p q ) ( p r ) ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 8/16

34 Accertamento manuale di tautologicità II Esercizio. Stabilire che i seguenti due enunciati sono tautologie: p q p ( p q r ) ( ( p s ) q ) ( p q r ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 9/16

35 Accertamento manuale di tautologicità II Esercizio. Stabilire che i seguenti due enunciati sono tautologie: p q p ( p q r ) ( ( p s ) q ) ( p q r ) Osservazione: il 2 o enunciato è istanza del primo che possiamo dimostrare tautologico per reductio ad absurdum: p ( q p ) Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 9/16

36 Accertamento manuale di tautologicità II Esercizio. Stabilire che i seguenti due enunciati sono tautologie: p q p ( p q r ) ( ( p s ) q ) ( p q r ) Osservazione: il 2 o enunciato è istanza del primo che possiamo dimostrare tautologico per reductio ad absurdum: p ( q p ) Pertanto: anche il 2 o è una tautologia Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 9/16

37 Applicabile il metodo assiomatico? Forse qualunque tautologia è derivabile (i.e., ottenibile) a partire da pochi schemi tautologici, tramite istanziazione di tali schemi e impieghi della regola MP ( modus ponens ): α α γ γ o anche α γ α γ Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 10/16

38 Dalla miriade di proposte Questi gli assiomi logici proposti da Willard Van Orman Quine nel 1938: ( β α ) ( α γ ) β γ α α ( ) ( α ) α α f Stabilire che il calcolo che ha questi assiomi è corretto ( sound ) richiede la verifica che sono davvero tautologie Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 11/16

39 Assiomi tautologici ( scelta di Church, 1956 ) i. ( ) ( ) α ( β γ ) ( α β ) ( α γ ) ii. α ( β α ) ( ) iii. ( α f ) ( β f ) ( ) β α Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 12/16

40 Un modo di definire le dimostraz. proposizionali Diremo che la sequenza δ = δ 0, δ 1,..., δ h è una dimostrazione di ϑ da A quando: 1) δ h = ϑ; 2) per ogni i = 0,..., h, accade che δ i sia un enunciato di P che o: appartiene ad A, oppure ricade in uno dei tre schemi del lucido precedente, oppure è preceduto da due enunciati δ j0 e δ j1 = (δ j0 δ i ), nel senso che j 0 < i e j 1 < i. Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 13/16

41 Esempio di dimostrazione Dimostriamo in 9 passi l enunciato f p da, come segue: Ax. Prem. 1. f ( f f ) [ii] 2. ( f ( f f ) ) ( ( f f ) ( f f ) ) [i] 3. ( f f ) ( f f ) [1, 2] 4. ( ( f f ) ( f f ) ) ( f f ) [iii] 5. f f [3, 4] 6. ( f f ) ( ( p f ) ( f f ) ) [ii] 7. ( p f ) ( f f ) [5, 6] 8. ( ( p f ) ( f f ) ) ( f p ) [iii] 9. f p [7, 8] Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 14/16

42 Uno schema totipotente Questo lo schema d assioma proposto da Jan Łukasiewicz nel 1936 ( e sdoganato da Larry Wos nel 1999 ) ( ( ) ( (( ) ) β α f ) γ f ) α ( α β ) γ β Basta da solo!! ( Un altro solitario leggermente piú semplice fu scoperto da Carey Arthur Meredith nel 1952 ) Il primo risultato di completezza ( i.e., ogni tautologia è derivabile dagli assiomi logici ) dovuto ad Emil Leon Post, è del 1920 Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 15/16

43 Riferimenti bibliografici Ludwig J. J. Wittgenstein. Tractatus Logico-Philosophicus Eugenio G. Omodeo Logica proposizionale Analisi 16/16