sempre vere sempre false

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1 Logica: elementi I principi della logica sono innanzitutto i seguenti: Identità: a=a (ogni cosa è cioè identica a se stessa) Non contraddizione: non (a e non a). E impossibile che la stessa cosa sia e non sia nello stesso tempo (ad es., dire che nevica e non nevica è una contraddizione). Terzo escluso: Ogni proposizione ammette solo due valori di verità, vero e falso. Non esiste un terzo valore di verità.

2 I principi della logica sono tautologie, ovvero proposizioni sempre vere indipendentemente dal valore di verità dei suoi componenti. Le contraddizioni sono invece proposizioni sempre false indipendentemente dal valore di verità delle sue componenti. Dal momento che tali principi sono considerati come fondanti la possibilità di ogni tipo di dimostrazione i principi di identità, non contraddizione e terzo escluso vengono considerati da Aristotele come non dimostrabili ( se non per assurdo )

3 Connettivi logici Date due proposizioni a e b (ad es., fuori nevica e la strada è scivolosa, ma non ti impongo di uscire ), queste possono essere connesse da quattro tipi di connettivi logici: 1) Congiunzione e ( fuori nevica e la strada è scivolosa ); 2) Disgiunzione inclusiva o ( fuori nevica o la strada è scivolosa ). Tale tipo di disgiunzione inclusiva -ammette il fatto che entrambi i disgiunti possano essere veri. 3) Condizionale se allora ( Se fuori nevica allora la strada è scivolosa ); 4) Bicondizionale se e solo se ( Fuori nevica se e solo se la strada è scivolosa ) La negazione non, si applica solo a singole proposizioni ( non a o non b ) o a connessioni di proposizioni non(a e b). La negazione inverte il valore di verità della proposizione negata (ad es., se a è vera non a sarà falsa).

4 E L attributo di verità di un connettivo logico dipende dal valore di verità delle proposizioni che lo compongono Così per la congiunzione E, questa è vera se e solo se le due proposizioni congiunte sono entrambe vere ( Fuori nevica e la strada è scivolosa è una proposizione vera se e solo se è vero che fuori nevica ed è vero che la strada è scivolosa). Da questo punto di vista segue il fatto che per confutare una congiunzione è sufficiente dimostrare che uno dei due congiunti è falso. Invece per dimostrare la verità di una congiunzione è necessario dimostrare la verità di entrambi i congiunti.

5 O Una disgiunzione è vera tranne nel caso in cui entrambi i disgiunti sono falsi. Da questo deriva che per confutare una disgiunzione è necessario dimostrare che entrambi i disgiunti sono falsi Di converso, per dimostrare la verità di una disgiunzione è sufficiente mostrare che uno dei due disgiunti è vero.

6 Se allora Un condizionale è falso solo se da un antecedente vero (a) segue un conseguente falso (b). E infatti possibile che una proposizione vera segua da una proposizione falsa. Per confutare un condizionale è dunque sufficiente - ma necessario -dimostrare la falsità del conseguente (b). a Se allora b V V V V F F F V F F V V

7 Se e solo se Il bicondizionalestabilisce che due proposizioni hanno lo stesso valore di verità, e cioè se è vero (o falso) il primo elemento lo sarà anche il secondo. Per tale mmotivoil bicondizionaleviene confutato mostrando che le due proposizioni hanno valori di verità diversi; Viene invece dimostrato il bicondizionalenel caso in cui si possa mostrare che le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità: a è condizione necessaria e sufficiente di b. Il bicondizionaleafferma che il darsi di a è sufficiente perché si dia anche b ; ma anche che il darsi di a è necessario per il darsi di b, ovvero che non è possibile che si dia b senza che si dia anche a (ad esempio: non è possibile che la strada sia scivolosa senza che nevichi).

8 Schemi di inferenza L inferenza è una regola di ragionamento che, dal momento che assume la verità delle premesse, garantisce la verità formale del ragionamento stesso: 1) La sua coerenza 2) La sua capacità di giungere a una conclusione necessariamente vera. Tali regole si applicano al ragionamento deduttivo. Se a, allora b b Allora, b

9 Tale modello consente di derivare la verità del conseguente di un condizionale sulla base della verità del suo antecedente. Il modus ponens si poggia sulla logica del condizionale, secondo il quale a costituisce condizione sufficiente per b. Di conseguenza, data la verità del condizionale, se si dà a allora necessariamente dovrà seguire b.

10 Fallacie Lo schema precedente deve però essere distinto dal così detto schema fallace in cui le premesse non implicano la verità della conclusione anche quando le premesse siano vere. 1) Se a, allora b 2) E b 3) Dunque a In questo caso la prima condizione è un condizionale e non un bicondizionale: sufficiente ma non necessario

11 Quantificazione e predicati La logica della quantificazione e dei predicati entra nell ambito della singola proposizione descrivendo i rapporti tra soggetto e predicato e in particolare quanti tra i soggetti (tutti, alcuni o nessuno) godono (o non godono) delle proprietà specificate dal predicato (quantificazione). Descrive inoltre i rapporti tra le proposizioni così quantificate. Le proposizioni quantificate si distinguono in quattro tipi in funzione del tipo di quantificazione e della natura affermativa o negativa della predicazione: U.A., Universale affermativa: Tutti gli uomini sono mortali. P.A., Particolare affermativa: Alcuni uomini sono mortali U. N., Universale negativa: Nessun uomo è mortale P. N., Particolare negativa: Alcuni uomini non sono mortali.

12 Quadrato delle opposizioni

13 Le proposizioni U.A. e U.N. sono tra loro contrarie : non possono essere entrambe simultaneamente vere ma possono essere entrambe simultaneamente false (ad esempio perché vi è una proposizione particolare affermativa è vera). Le proposizioni particolari sono tra loro subcontrarie. Non possono essere entrambe false ma possono essere simultaneamente vere. Così non può darsi che le proposizioni

14 Le proposizioni particolari stanno in una relazione di subalternità rispetto alle relative universali Le proposizioni Universali stanno in rapporto di contraddizione con le proposizioni particolari poste sulla loro diagonale: una universale affermativa infatti contraddice una particolare negativa (e viceversa); una universale negativa contraddice una particolare affermativa (e viceversa).

15 Sillogismo I ragionamenti che implicano proposizioni quantificate venivano nominate da Aristotele sillogismi ; questi sono composti da una premessa maggiore, da una premessa minore e da una conclusione che deriva logicamente dalle premesse attraverso l eliminazione del termine medio che le due premesse hanno in comune. Nella logica aristotelica il termine medio include sia il predicato della premessa maggiore che il soggetto della premessa minore, consentendo la loro unione nella conclusione. Nella sillogistica il termine medio può ricorrere in quattro diverse posizioni, definendo così quattro tipi ( figure ) di sillogismi

16 Figura 1 1) Tutti gli animali sono esseri viventi 2) Tutti gli uomini sono animali 3) Dunque: tutti gli uomini sono esseri viventi. In questo esempio tutte le proposizioni (premesse e conclusione) sono universali affermative e il termine medio compare come soggetto nella premessa maggiore e come predicato nella premessa minore (prima figura). La conclusione è ricavata semplicemente eliminando il termine medio.

17 1) Nessun animale è vegetale 2) Ogni quercia è un vegetale 3) Dunque nessuna quercia è un animale. In questo esempio per ricavare la conclusione dobbiamo, oltre che eliminare il medio e ricavare il soggetto dalla minore e il predicato dalla maggiore, tenere conto della differente quantificazione delle premesse. La quantificazione della conclusione viene in questo caso ricavata dalla premessa maggiore.

18 1) Ogni uomo è mortale 2) Ogni uomo è un animale 3) Dunque qualche animale è mortale Qui la quantificazione particolare ( qualche ) della conclusione è ricavata per intersezione: il genere degli animali e quello dei mortali si sovrappongono parzialmente. 1) Tutte le querce sono piante 2) Tutte le piante non sono cani 3) Dunque tutti i cani non sono querce In questo caso la quantificazione è identica in tutte le proposizioni, ma cambia il modo (negativo).