LE REGOLE DI DEDUZIONE

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1 LE REGOLE DI DEDUZIONE II concetto di regola di deduzione Ci proponiamo di formulare alcune regole, dette regole di deduzione o ragionamento, in virtù delle quali, a partire da certe P1, P2,..., Pn, sia possibile ricavare una ben determinata logica P. Una regola di deduzione è corretta se e solo se, ammettendo che siano vere tutte le, si può affermare che anche la è. Ciascuna di tali regole può essere rappresentata sinteticamente secondo uno schema analogo a quello seguente: P1, P2,... Pn P Esse, in sostanza, costituiscono «le regole del corretto ragionamento» e, pertanto, saranno utilmente applicate nelle procedure di dimostrazione dei teoremi. Passiamo, ora, ad enunciare alcune delle principali regole di deduzione. II modus ponens Questa regola di corretto ragionamento si può rappresentare mediante lo schema seguente: 1) P1 => P2 2) P2 3) P2 La regola modus ponens si può così enunciare: «Se l implicazione P1 => P2 è e l'antecedente. P1 è allora anche la conseguente, P2 è» La correttezza di questa regola di ragionamento deriva dalla constatazione che la funzione proposizionale ad f(p1, P2) = [ (P1 => P2 ) and P1 ] => P2 è sempre e quindi, in base alla verità delle, necessariamente anche la P2 risulta. Ad esempio, è corretto il ragionamento seguente: 1) Se viene l'autunno allora le foglie cadono dagli alberi 2) Viene l'autunno conseguenza 3) Le foglie cadono dagli alberi Logica proposizionale: le regole di deduzione (da Battelli & Moretti) 1

2 Secondo questo schema, di tipo modus ponens, se si sa che le sono vere allora si può dedurre che anche la «Le foglie cadono dagli alberi» è. Presentiamo un altro esempio di corretto ragionamento di tipo modus ponens: 1) Se Tizio sbaglia allora Tizio paga 2) Tizio sbaglia 3) Tizio paga cui le siano vere, allora si può concludere che anche l'affermazione «Tizio paga» è. II modus tollens Questa regola di corretto ragionamento si può sintetizzare mediante lo schema seguente: 1) P1 => P2 2) not P2 3) not P1 La regola modus tollens si può così enunciare: «Se l'implicazione P1 => P2 è e la negazione di P2 è allora anche la negazione di P1 è» f(p1, P2) = [ (P1 => P2 ) and not P2 ] => not P1 è sempre e quindi, in base dalla falsità della, si deduce necessariamente anche la falsità della premessa. Ad esempio, è corretto il seguente ragionamento di tipo modus tollens: 1) Se Pierino è stato promosso allora passa dalle Medie alle Superiori 2) Pierino non passa dalle Medie alle Superiori 3) Pierino non è stato promosso Da tale schema di deduzione si ricava che, nell'eventualità in cui le siano vere, allora si può concludere che anche la negazione della P1, ossia «Pierino non è stato promosso» è. Presentiamo un altro esempio di corretto ragionamento secondo lo schema modus tollens: 1) Se x è maggiore di 10 allora x è maggiore di 7 2) x non è maggiore di 7 3) x non è maggiore di 10 Logica proposizionale: le regole di deduzione (da Battelli & Moretti) 2

3 Supponendo vere le, si deduce sicuramente che anche la è. II sillogismo ipotetico II sillogismo, dal greco "sillogismós", rappresenta il tipo fondamentale di ragionamento deduttivo della logica aristotelica; esso è composto da tré proposizioni: le prime due costituiscono le, e si suppongono vere, mentre la terza proposizione è la, la cui verità discende necessariamente dalle. Le regole modus ponens e modus tollens sono due tra i più importanti sillogismi della logica. La regola di deduzione detta sillogismo ipotetico, si può sintetizzare mediante lo schema seguente: 1) P1 => P2 2) P2 => P3 3) P1 => P3 Il sillogismo ipotetico si può così enunciare: «Se l implicazione P1 => P2 è e l implicazione P2 => P3 è allora anche l implicazione P1 => P3 è» f(p1, P2, P3) = [ (P1 => P2 ) and (P2 => P3 ) P1 ] => (P1 => P3) è sempre e quindi, in base alla verità delle, necessariamente anche la Pi=>P3 risulta. Ad esempio, è corretto il seguente ragionamento rappresentante un sillogismo ipotetico: 1) Se Pierino supera l'esame di maturità allora accede all'università 2) Se Pierino accede all'università allora si iscrive a Filosofia _ 3) Se Pierino supera l'esame di maturità si iscrive a Filosofia II sillogismo disgiuntivo Questa regola di deduzione si può sintetizzare mediante lo schema seguente: 1) P1 or P2 2) not P2 3) P1 Logica proposizionale: le regole di deduzione (da Battelli & Moretti) 3

4 Il sillogismo disgiuntivo si può, quindi, enunciare come segue: «Se la disgiunzione P1 or P2 è e la negazione di not P2 è allora la P1 è» f(p1, P2) = [ (P1 or P2 ) and (not P2)] => P1 è sempre (a sostegno di questa affermazione compilatela corrispondente tavola di verità) e quindi, in base alla verità delle, necessariamente anche la. P1, risulta. Ad esempio, è corretto il seguente ragionamento rappresentante un sillogismo disgiuntivo: 1) Pierino ascolta musica oppure studia 2) Pierino non studia 3) Pierino ascolta musica Riportiamo un altro esempio: 1) x appartiene ad A oppure a B 2) x non appartiene a B 3) x appartiene ad A NOTA: esistono altre regole di deduzione oltre a quelle da noi presentate che, tuttavia, riteniamo si possano trascurare in questa trattazione elementare della logica matematica. Esercizi proposti In ciascuno dei seguenti schemi di ragionamento ricavate la relativa, indicando anche la regola di deduzione applicata. 1. : : 1) Se x e un pino allora è una conifera 2) Se x è una conifera allora è un vegetale 3) : : 1) Se x è un rombo allora ha i lati isometrici 2) x non ha i lati isometrici 3)... Logica proposizionale: le regole di deduzione (da Battelli & Moretti) 4

5 3. : 1) Se a = b, con a, b e N allora a + 1 > b 2) a = b : 3) : 1) Se (x, y, z) è una terna pitagorica allora x 2 + y 2 = z 2 : 2) x 2 + y 2 <> z 2 3).. Logica proposizionale: le regole di deduzione (da Battelli & Moretti) 5