Calcolo dei sequenti III. Il Calcolo dei Sequenti. Gentzen: La Logica Classica

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1 Calcolo dei sequenti III. Il Calcolo dei Sequenti di Gentzen: La Logica Classica 7 Maggio 2009

2 Ricapitoliamo... A questo punto abbiamo caratterizzato il calcolo dei sequenti SC i per la logica intuizionista. Ne abbiamo definito le caratteristiche principali: La forma del sequente. Le regole sugli operatori. Le regole strutturali. La corrispondenza con la deduzione naturale intuizionista.

3 La forma del sequente. I sequenti per la logica intuizionista hanno la forma Γ α dove l antecedente Γ è composto da una sequenza finita di formule e per conseguente al più una formula α. Quando il conseguente è vuoto, cioè il sequente ha forma Γ, lo leggiamo come se dopo la freccia vi fosse una contraddizione; il sequente, cioè, ci dice che da Γ arriviamo ad una assurdità.

4 Le regole sugli operatori Il calcolo dei sequenti di Gentzen gestisce gli operatori logici in maniera diversa dalla deduzione naturale: mentre questa è caratterizzata da regole di introduzione ed eliminazione degli operatori, il calcolo dei sequenti fa uso solo di regole che introducono i connettivi, non vi sono regole che li eliminano. Le regole si distinguono a seconda che introducano gli operatori a sinitra della freccia (nell antecedente), o a destra (nel conseguente).

5 Le regole strutturali Il calcolo dei sequenti ha una serie di regole che non hanno a che fare con la gestione dei connettivi, ma che esprimono proprietà della relazione di conseguenza logica descritta dal calcolo. Molto importanti per la caratterizzazione della relazione di conseguenza sono il Left Weakening (la monotonìa) e il Cut.

6 La corrispondenza con la deduzione naturale intuizionista. Abbiamo dimostrato la corrispondenza del calcolo dei sequenti intuizionista SC i con la deduzione naturale ND i : per ogni insieme finito di formule Γ e ogni formula α SCi Γ α se e solo se Γ NDi α e SCi Γ se e solo se Γ NDi α α

7 Adesso siamo pronti a definire il calcolo dei sequenti SC c (Classical Sequent Calculus) per la logica classica. Ci muoveremo come per la controparte intuizionista. Partiremo dalla deduzione naturale per la logica classica (ND c ) per andare a definire un corrispondente calcolo sui sequenti (SND c), che ci serva da ponte fra la deduzione naturale ed il calcolo dei sequenti di Gentzen. Definiremo il sequente per la logica classica ed il relativo calcolo dei sequenti SC c. Dimostreremo la corrispondenza di SC c con SND c, e di conseguenza la corrispondenza con la deduzione naturale.

8 SND c Sappiamo che il sistema ND c per la deduzione naturale classica può essere ottenuto, tra le varie possibilità, aggiungendo alle regole di ND i la regola della doppia negazione [DN]. α (DN) α

9 SND c Quindi definiamo il sistema SND c aggiungendo alle regole di SND i il corrispettivo di [DN] a livello dei sequenti. Γ α (DN) Γ α

10 SND c Il sistema SND c è quindi definito da Le regole di SND i. la regola della doppia negazione [DN]. Le regole quindi sono: (Tavola XII: Assioma e regola strutturale di SND c.) Axiom α α LeftWeakening Γ α Γ, β α

11 SND c (Tavola XIII: Regole sugli operatori di SND c) [I ] [I ] [E ] [I ] Γ α Γ β Γ α β Γ α Γ α β [E ] Γ β Γ α β Γ α β Γ, α γ Γ, β γ Γ γ Γ, α β Γ α β Γ α β Γ α [E ] Γ α β Γ β Γ α β Γ β Γ α [I ] Γ, α β Γ, α β Γ α [E ] Γ α Γ α Γ β [DN] Γ α Γ α

12 SND c (Tavola XIV: Regole sui quantificatori di SND c ) [I ] a Γ α Γ ( x)α t x [E ] Γ ( x)α(x) Γ α(t) [I ] Γ α(t) Γ ( x)α(x) [E ] b Γ ( x)α(x) Γ, α(t) β Γ β a Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore. b Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore, né in ( x)α(x).

13 SND c Possiamo dimostrare la corrispondenza di ND c con SND c. Teorema (Corrispondenza fra ND c e SND c) Per ogni insieme finito Γ di formule e ogni formulaα, Γ NDc α se e solo se SND c Γ α Non faremo la dimostrazione. È sufficiente ripercorrere la dimostrazione sviluppata in ambito intuizionista (da ND i a SND i e quindi a SND i ), prendendo in considerazione anche la regola [DN].

14 A questo punto passiamo a definire il calcolo dei sequenti per la logica classica. Formalmente, la differenza principale rispetto a SC i è nella struttura del sequente, che ammette che nel conseguente possa esserci non più una sola formula, ma una sequenza finita di formule. La forma di un sequente di SC c sarà quindi Γ con Γ e sequenze finite (possibilmente vuote) di formule.

15 Un sequente viene interpretato come α 1,..., α n β 1,..., β m (α 1... α n ) (β 1... β m ) Le formule nel conseguente vengono quindi considerate come disgiunte fra loro.

16 Le regole per SC c vengono ottenute da quelle di SC i semplicemente introducendo una sequenza finita di formule nel conseguente. In più, dobbiamo aggiungere le regole di Contrazione e Scambio per il conseguente, che non avrebbero avuto senso nel sistema intuizionista.

17 (Tavola XII: Regole strutturali di SC c) Axiom : α α Weakening: (Left) Γ α, Γ (Right) Γ Γ, α Contraction: (Left) α, α, Γ α, Γ (Right) Γ, α, α Γ, α Interchange: (Left), α, β, Γ Θ, β, α, Γ Θ (Right) Γ Θ, α, β, Γ Θ, β, α, Cut: Γ, α α, Γ Γ, Γ,

18 (Tavola XIII: Regole sugli operatori di SC c) [ ] Γ, α Γ, β Γ, α β [ ] α, Γ α β, Γ β, Γ α β, Γ [ ] Γ, α Γ, α β Γ, β Γ, α β [ ] α, Γ β, Γ α β, Γ [ ] α, Γ, β Γ, α β [ ] Γ, α β, Γ α β, Γ [ ] α, Γ Γ, α [ ] Γ, α α, Γ

19 (Tavola XIV: Regole sui quantificatori di SC c) [ ] a Γ, α(t) Γ, ( x)α t x [ ] α(t), Γ ( x)α(x), Γ [ ] Γ, α(t) Γ, ( x)α(x) [ ] b α(t), Γ ( x)α(x), Γ a Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore. b Il termine t non deve occorrere in nessuna delle formule contenute nel sequente inferiore.

20 Le regole per il calcolo intuizionista sono tutte valide in SC c, visto che si tratta semplicemente di casi particolari delle regole classiche, i casi in cui le sequenze collaterali nel conseguente (i nelle tavole sopra) sono vuote.

21 Ci sono solo alcune differenze più rilevanti. Prima di tutto il Cut, che non ha più le stesse formule collaterali Γ e in ogni sequente presente nella regola. Ha, cioè, la forma anzichè Γ, α α, Γ (Cut) Γ, Γ, Γ, α Γ α, Γ

22 Se avessimo messo gli stessi insiemi Γ e di formule collaterali in ogni sequente, non avremmo più ottenuto il Cut nella sua forma intuizionista Γ α ma solo un suo caso particolare Γ α Γ β Γ α, Γ β α, Γ

23 Per recuperare la regola di Cut come definita nel sistema intuizionista SC i, avremmo dovuto utilizzare la regola di Right Weakening. Γ α (RW ) Γ α, β Γ β α, Γ β (Cut)

24 Un altra regola che cambia un po il suo senso è il Right Weakening, che non è più vincolato dal limite di una sola formula a destra. Γ (RW ) Γ, β Oltre a coprire il principio di ex falso quodlibet, nel caso sia vuoto, la regola si presenta come una sorta di introduzione della disgiunzione.

25 La caduta del limite di una formula a destra cambia anche il comportamento delle regole di negazione, che adesso viene definito dal libero spostamento delle formule da un lato all altro della freccia. Da a Γ α ( ) α, Γ Γ, α ( ) α, Γ

26 Da a α, Γ ( ) Γ α α, Γ ( ) Γ, α Della connessione tra la struttura a conseguente multiplo e la negazione torneremo comunque a parlare.

27 Per il resto, le regole mantengono lo stesso senso che avevano nella formalizzazione intuizionista, anche se la forma più complessa ne rende meno intuitiva l intepretazione. Adesso siamo pronti per dimostrare la corrispondenza fra il calcolo dei sequenti SC c e SND c, la traduzione della deduzione naturale al livello dei sequenti...