Matematica Costruttiva.

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1 Matematica Costruttiva. Seconda Lezione. Verità, Esistenza, Conoscenza Universitá di Bologna 20/10/2010

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3 Outline 1

4 Assassini, innocenti, prove e arresti Miss Scarlet è un assassina Ogni assassino non è innocente Giovanna Corsi non è innocente Arresti Miss Scarlet! L ho vista commettere l omicidio

8 Assassini, innocenti, prove e arresti So che c é un assassino Sia x l assassino Ogni assassino non è innocente x non è innocente So che c é un non innocente Sia x l assassino Arresti x (??????) Ho visto un cadavere e non può essersi pugnalato alla schiena da solo

12 Assassini, innocenti, prove e arresti So chi è l assassino Sia x l assassino Ogni assassino non è innocente x non è innocente So chi è il non innocente Sia x l assassino Arresti x (!?) Ho visto Miss Scarlet commettere l omicidio

16 Esempio matematico 1 Esistono (so che ci sono o so chi sono?) a, b irrazionali tali che a b è razionale. Prova classica: 2 è irrazionale. O 2 2 é razionale oppure no. Nel secondo caso ( 2 2) 2 = 2 ( 2 2) = 2 é razionale. Costruzione: sia Q il quadrato di lato a. Prova costruttiva: 2 log 2 9 = 3 e log 2 9 è irrazionale per il teorema fondamentale dell aritmetica. Costruzione: sia Q il quadrato di lato a.

19 Esempio matematico 2 Paradosso di Banach-Tarski sulla duplicabilitá delle sfere. Data una sfera S esistono 5 pezzi (insiemi disgiunti di punti) tali che S è l unione di essi ed esistono traslazioni e rotazioni che applicate ai 5 pezzi fanno ottenere due sfere S 1 e S 2 identiche a S.

20 Riduzione alla logica Miss Scarlet è l assassina = A(g) So che c é un assassino = x.a(x) So chi è l assassino = Σx.A(x)

21 Riduzione alla logica Miss Scarlet è l assassina = A(g) La procedura f mi dice chi è l assassino di ogni vittima So che c é un assassino = x.a(x) Per ogni vittima c é un assassino So chi è l assassino = Σx.A(x) Per ogni vittima conosco l assassino

22 Riduzione alla logica Miss Scarlet è l assassina = A(g) La procedura f mi dice chi è l assassino di ogni vittima f U U, x.a(f (x)) So che c é un assassino = x.a(x) Per ogni vittima c é un assassino x. y.a(y) So chi è l assassino = Σx.A(x) Per ogni vittima conosco l assassino x.σy.a(y)

23 Riduzione alla logica Miss Scarlet è l assassina = A(g) La procedura f mi dice chi è l assassino di ogni vittima f U U, x.a(f (x)) Cos é una procedura? Funzione = procedura? So che c é un assassino = x.a(x) Per ogni vittima c é un assassino x. y.a(y) Dimostrabile, ma nessuna procedura So chi è l assassino = Σx.A(x) Per ogni vittima conosco l assassino x.σy.a(y) Esiste/ conosco la procedura? Posso concludere f U U, x.a(f (x))?

24 Matematica classica vs matematica costruttiva (1) La matematica classica studia l esistenza Ma confonde con Σ (e funzione con procedura) con uso ingiustificato di assioma della scelta definizioni per casi (se... allora... altrimenti... ) Risultati paradossali : Banach-Tarski, esistenza di insiemi non misurabili, etc. La matematica costruttiva In alcune varianti studia esplicitamente le procedure (la loro esistenza o la loro conoscenza) Il risultato non sembra matematico In altre studia la conoscenza Σ Ma confonde Σ con e procedura con funzione

25 Logica Intuizionista del Prim Ordine Sintassi della logica intuizionista del prim ordine: Formule F ::= F + F F F F F P n (t 1,..., t n ) x.f Σx.F Termini t ::= x c f n (t 1,..., t n ) La negazione viene definita in funzione dell implicazione: F = F Precedenza degli operatori: > > + > > = Σ Esempio: x.σy.p(x, y) Q(x) Q(y) si legge x.(σy.((p(x, y) Q(x)) Q(y))) P[t/x] significa P dove sostituisco t al posto di x

26 Logica Intuizionista del Prim Ordine Lettura intesa: P n (t 1,..., t n ) F + G F G F G x.p Σx.P falso, assurdo vero, ovvietà, nulla da dimostrare so che P vale per t 1,..., t n F o G, nel senso che so chi dei due è vera e perchè F e G, so che sono entrambe vere e perchè se so che F è vera e perchè, allora so anche G vera e perchè per ogni x so che P è vera e perchè so chi è un x per il quale P è vera e perchè

27 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov [[ ]] = nessuna evidenza [[ ]] = { } una sola evidenza [[P n (t 1,..., t n )]] = S [[P n ]]([[t 1 ]],...,[[t n]]) insieme di evidenze ( ) [[F G]] = [[F]] [[G]] coppie di evidenze [[F + G]] = [[F]] + [[G]] = unione disgiunta delle evidenze { b, e se b = 0 allora e [[F]] altrimenti e [[G]]} [[F G]] = {p p procedura che data f [[F ]] produce g(f ) [[G]]} [[ x.p]] = {p p procedura che dato x produce p(x) [[P]]} [[Σx.P]] = { w, p p P[w/x]} coppie di un testimone w e un evidenza che P vale per w

28 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov Esempi: f (p [[P]]) = 0, p è un evidenza per (dimostra) [[P P + Q]] f (g [[ x.p(x)]]) = 33, g(33) è un evidenza per [[( x.p(x)) (Σx.P(x))]] ammesso che 33 sia parte del dominio di interpretazione vi è un unica evidenza per P in quanto vi è una sola funzione dall insieme vuoto = [[ ]] a [[P]] (ex-falso)

29 Per confronto: semantica classica La semantica della logica classica assegna a ogni proposizione un valore di verità (nella seguente definizione per falso e { } per vero): [[ ]] = [[ ]] = { } [[P n (t 1,..., t n )]] {, { }} [[F G]] = [[F]] [[G]] [[F G]] = [[F]] [[G]] [[F G]] = [[F]] c [[G]] [[ x.p]] = x {[[P]]} ( ) [[ x.p]] = x {[[P]]} ( ) nessuna evidenza significativa non si tiene traccia di cosa è vero nessuna procedura effettiva nessuna procedura effettiva non si tiene traccia del testimone In particolare (terzo escluso): [[A A]] = [[A]] [[A]] c = { }

30 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov Da ora in avanti identificheremo prove con evidenze e procedure con procedure date in maniera esplicita, meccanica e terminanti in un tempo finito ( programmi).

31 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov NON VALIDITÀ DEL PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: Nel caso generale di una formula F non è ragionevole assumere l esistenza di alcuna evidenza per F + F. Esempio: sia F = (x n ) = (y n ). In un tempo finito non potrò mai verificare nè l uguaglianza, nè la diversità delle infinite coppie x i, y i di elementi delle due successioni. Esempio: sia x un oggetto a me inaccessibile e sia F = x è di color rosso. Sicuramente x è rosso oppure no, ma questo non mi fornisce alcuna evidenza nè per F, nè per F.

32 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov Definizione (decidibilità): F è decidibile se esiste una procedura per F + F. Esempio: sia F(x) = x è un numero pari. Si ha F(x) è decidibile per ogni x. (Perchè?) Esempio: dati due numeri naturali, interi, razionali x, y, è decidibile se x = y. (Perchè?) Esempio: l uguaglianza fra numeri reali NON è decidibile. (Perchè?) In logica classica (se confondiamo conoscenza e esistenza, + con ), tutto è decidibile.

33 Semantica di Brouwer-Heyting-Kolmogorov NON VALIDITÀ DEL RAGIONAMENTO PER ASSURDO: Supponiamo di dover dimostrare P. Ragioniamo per assurdo assumendo un evidenza generica ma fissata x per P. Supponiamo di saper costruire un evidenza q(x) per. Poichè x è generica, otteniamo una procedura f (x) = q(x) che è un evidenza per P. In generale, non vi è alcun modo per ottenere un evidenza per P. Similitudine: sapere che è impossibile che Paolo non sia l assassino non fornisce nessuna prova evidente per condannarlo oltre ogni ragionevole dubbio. Esempio: Σx.P(x) non ci dice per quale x valga P(x).

34 Negazione come assenza di informazione Sia F una qualsiasi formula. [[F]] può avere una qualsiasi cardinalità (0 se non dimostrabile, > 0 altrimenti) Esempio: se F = Σx.P allora [[Σx.P]] contiene tutti quei w per i quali P vale. [[ F]] = [[F ]] = = {p p { procedura che data f [[F]] produce g(f ) = [[G]]} = se [[F]] = = { } altrimenti Quindi F non può possedere evidenze utili! In matematica costruttiva si cerca di evitare tutte le sentenze negative in quanto non informative.

35 Doppia negazione come distruzione dell informazione La doppia negazione distrugge il contenuto informativo: { se [[F]] = [[ F]] = { } se [[F]] È quindi evidente come da una doppia negazione (dimostrazione per assurdo) non sia possibile ricavare conoscenza (nel senso delle evidenze). La conoscenza priva di evidenza corrisponde alla logica classica.

36 Logica classica nella logica intuizionista Una formula F per un qualche F si dice classica. Definiamo: F G := (F + G) x.p := Σx.P disgiunzione debole esistenziale debole Nota: F G può essere dimostrabile (avere un evidenza) senza che nemmeno una fra F e G sia dimostrabile. Analogamente x.p può essere dimostrabile anche quando P[w/x] non è dimostrabile per alcun w.

37 Logica classica nella logica intuizionista Teorema (terzo escluso): F F. Dimostrazione: dobbiamo dimostrare (F + F) ovvero ((F + F ) ) ; assumendo (F + F) (H), dobbiamo dimostrare ; per (H) è sufficiente dimostrare (F + F); dimostriamo che vale F ; assumendo F (K), dobbiamo dimostrae ; per (H) è sufficiente dimostrare (F + F ); il che è dimostrabile usando l ipotesi (K)

38 Logica classica nella logica intuizionista Teorema (dimostrazione per assurdo): sia F una formula classica. F F. Dimostrazione: sia F = G; dobbiamo dimostrare G G; assumendo G (H) e G (K), resta da dimostrare per (H), è sufficiente dimostrare G; assumendo G (I), resta da dimostrare per (I), è sufficiente dimostrare G; il che è dimostrabile usando l ipotesi (K)

39 Logica classica nella logica intuizionista Teorema: siano F e G formule classiche. (F G) F G (il prodotto cartesiano di insiemi vuoti o singoletti è ancora vuoto o singoletto; la congiunzione preserva l assenza di informazione) Teorema:, (ove non vi è informazione non la si può distruggere)... Conclusione: non serve introdurre una versione classica degli altri connettivi poichè il comportamento su formule classiche è già classico.

40 Logica classica nella logica intuizionista La logica classica è un frammento della logica intuizionista che, pertanto, risulta più espressivo. Lavorando nel frammento classico si rinuncia al contenuto informativo delle dimostrazioni e il ragionamento diventa non effettivo. In particolare, dimostrare x.p non implica la conoscenza di un w per cui valga P, mentre questo avviene per Σx.P. Analogamente, dimostrare P Q non implica alcuna conoscenza di quale caso si verifiche, mentre questo avviene per P + Q.

41 Note In logica classica i connettivi Σ e + non sono definibili (se non attraverso un deep embedding della logica). La presentazione tradizionale della logica intuizionista omette i connettivi e e chiama i connettivi Σ e + come e. Le due letture restano comunque distinte: per il classico tutti i connettivi parlano di esistenza e verità in un senso platonico per l intuizionista tutti i connettivi parlano di conoscenza o, in alternativa, di esistenza come risultato di una costruzione umana

42 Problemi aperti Cos é una procedura? Quali oggetti matematici esistono costruttivamente? Cos é costruttivamente valido? (vero o dimostrabile) Cos é una dimostrazione costruttiva? C é una logica costruttiva? Come posso spiegare costruttivamente la logica classica? E la matematica classica? Cosa posso sapere del contenuto computazionale? Quando è valido/accettabile l assioma della scelta? E le definizioni per casi? C é contenuto computazionale fuori dalla matematica costruttiva?

43 Il problema centrale: le procedure Una procedura y = f (x) permette a un esecutore di restituire un y ottenuto a partire da un x dato. Quali oggetti possono essere dati? Come? (dipende dall esecutore) Quali oggetti possono essere restituiti? Come? (dipende dall esecutore) Quali operazioni consentono all esecutore di ottenere il risultato? Esiste una nozione di tempo all interno del quale opera l esecutore (diventando cosí soggetto creativo?)

44 Il problema centrale: gli oggetti finiti (finitisti, ultrafinitisti) infiniti (e infinitesimi) potenziali (matematica pre-cantoriana) e infiniti (e infinitesimi) attuali al piú con cardinalitá del continuo assolutamente predeterminato lawlike (ottenuti grazie a una procedura deterministica e pre-determinata) Paradiso di Cantor (platonismo, internalismo,... ): è lecito considerare tutti gli infiniti attuali ottenuti da qualunque procedura il piú liberale possibile (a meno di incoerenze) lawless, possibly constrained (choice sequence) Richiede nozione di tempo e di soggetto creatore (intuizionismo)? infiniti con cardinalitá maggiore di quella del continuo Paradiso di Cantor (p.e. cardinali inaccessibili)

45 Il problema centrale: considerare gli oggetti Un oggetto può essere considerato/percepito/letto: in un tempo finito (o istantaneo) e nella sua interezza se è finito se è assolutamente predeterminato e ammette una descrizione finita se è lawlike e la procedura ammette una descrizione finita (matematica ricorsiva, scuola Russa)? mai se è lawless (intuizionismo) se è lawlike e si suppongono capacitá sovrumane (superiori a quelle di una macchina di Turing di tipo II): logica classica? progressivamente (tramite approssimazioni successive) se la cardinalitá è quella del continuo e la sequenza determina approssimazioni successive senza differenze fra sequenze lawlike e lawless (Bishop!)

46 Il problema centrale: restituire un oggetto produzione di un oggetto finito o un oggetto lawlike nella sua interezza se l oggetto di partenza è finito e la procedura è calcolabile da una macchina di Turing di tipo I se l oggetto di partenza è una successione lawlike, e si suppongono capacitá sovrumane produzione di un oggetto enumerabile con cardinalitá al piú del continuo se l oggetto di partenza ha cardinalitá al piú del continuo e la procedura è calcolabile da una macchina di Turing di tipo II (senza distinzione fra lawlike e lawless) l oggetto prodotto è lawlike e si supponono capacitá sovrumane produzione di un oggetto piú che continuo solo in maniera non costruttiva (paradiso di Cantor)