Calcolo dei sequenti V. Normalizzazione.

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1 Calcolo dei sequenti V Normalizzazione giovannicasini@gmailcom 13 Maggio 2009

2 Introduzione Oggi affronteremo brevemente due questioni: Vedremo il Teorema di Normalizzazione, un risultato corrispondente al Teorema di Cut-Elimination ottenuto direttamente nella Deduzione Naturale Vedremo quale ruolo può giocare il calcolo dei sequenti nello sviluppo di nuove logiche, che si discostano dalla logica classica (non utilizzeremo i lucidi)

3 Come abbiamo visto, Gentzen, nel suo articolo Untersuchungen über das logische Schliessen (Investigazioni sulla Deduzione Logica) del 1935, dopo aver definito la deduzione naturale, sviluppa il calcolo dei sequenti per avere un formalismo con cui ottenere, per mezzo del teorema di Cut-Elimination, una serie di importanti risultati in relazione alla costruzione delle dimostrazioni Nel 1965, Prawitz, nel volume Natural Deduction, dimostra direttamente nella deduzione naturale il Teorema di Normalizzazione, che porta a conseguenze analoghe a quelle del Teorema di Cut-Elimination

4 Per arrivare al Teorema di Normalizzazione, dobbiamo introdurre la nozione di maximum Dato un albero di derivazione nella deduzione naturale, una formula occorre nell albero come maximum se è contemporaneamente la conclusione di una regola di introduzione e la premessa di una regola di eliminazione

5 Ad esempio nell albero Γ (I ) la formula è un maximum (E )

6 Nell albero Γ, [] (I ) (E ) la formula è un maximum

7 Ogni maximum può essere eliminato, cioè possiamo sostituire un albero di derivazione con un maximum con un albero maximum-free che deriva la stessa formula da al più lo stesso insieme di premesse L operazione di eliminazione del maximum si chiama riduzione

8 Ad esempio, l albero Γ (I ) (E ) può essere ridotto all albero Γ

9 E l albero Γ, [] (I ) (E ) può essere ridotto all albero Γ,

10 Ogni connettivo ha la sua forma di maximum specifica, ottenuta introducendolo ed eliminandolo subito dopo (abbiamo appena visto congiunzione ed implicazione), e per ogni connettivo esiste un procedimento di riduzione specifico Il problema è che la rimozione di un maximum ne può creare uno nuovo, che prima non c era

11 Ad esempio, nell albero [] (I ) γ (I ) Θ ( ) γ (E ) (E ) il maximum è ( ) γ

12 Riducendo, otteniamo l albero [] (I ) Θ (E ) in cui compare un nuovo maximum:

13 Il nuovo maximum è però una formula meno complessa del precedente maximum (è addirittura una sua sotto-formula) Prawitz ha dimostrato che, andando avanti con le riduzioni, un maximum diventano sempre meno complesso fino ad un ultimo passaggio che lo fa sparire completamente Questo procedimento gli ha permesso di dimostrare il Teorema di Normalizzazione Teorema (Teorema di Normalizzazione) Per ogni albero di derivazione della deduzione naturale, ne esiste uno maximum free, o normale, che dimostra la stessa formula da al più lo stesso insieme di premesse

14 Vi è una stretta connessione fra la presenza di un maximum e l utilizzo del Cut Torniamo a vedere il ruolo del Cut nelle nostre dimostrazioni Per prima cosa riprendiamo la derivazione della regola Cut nella nostra formalizzazione della deduzione naturale al livello dei sequenti, i sistemi SND (sia intuizionista che classico): Γ, Γ (I ) Γ (E ) Γ L uso del Cut in SND corrisponde all introduzione di un nuovo maximum,

15 Andiamo anche a rivedere in cosa si traduceva il Cut in relazione alle derivazioni della deduzione naturale Avevamo visto come il Cut corrispondesse ad una composizione degli alberi di deduzione Da e, Γ Γ

16 a Γ, Γ

17 Nel fare queste composizioni, c è la possibilità che la formula risulti in un nuovo maximum Vi è quindi una forte corrispondenza fra gli alberi di derivazione cut-free del calcolo dei sequenti e gli alberi di derivazione maximum-free della deduzione naturale Prawitz ha anche definito come, data una derivazione maximum-free nella deduzione naturale, possiamo costruire nel calcolo dei sequenti una derivazione cut-free del sequente corrispondente

18 In particolare, per la deduzione naturale intuizionista ND i Prawitz ha dimostrato due teoremi corrispondenti alla proprietà della sotto-formula e alla separation property Teorema (Proprietà della Sotto-formula) Se D è un albero di derivazione maximum-free in ND i che dimostra Γ NDi, ogni formula che occorre nell albero è una sotto-formula di o di qualche formula in Γ Teorema (Separation Property) Se D è un albero di derivazione maximum-free in ND i che dimostra Γ NDi, le uniche regole di inferenza utilizzate nella derivazione sono regole per gli operatori che occorrono in o di qualche formula in Γ

19 Anche per il caso classico (ND c ) valgono questi teoremi, ma con qualche vincolo in più Il teorema di normalizzazione riesce quindi a riproporre i risultati della Cut-Elimination all interno del calcolo di deduzione naturale