Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica Lineare (a.a. 2014/2015) V. M. Abrusci

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1 Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica Lineare (aa 2014/2015) V M Abrusci 21 maggio 2015

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3 Indice 1 Calcolo dei sequenti per la logica classica 7 11 Preliminari Linguaggio Regole di inferenza Analisi e derivazioni, derivabilità Regole di trasformazione Regole basilari del calcolo dei sequenti Regole di inferenza Regola di trasformazione Regole strutturali del calcolo dei sequenti Regole di inferenza Regole di trasformazione Regole del calcolo dei sequenti sulle unità logiche Regole moltiplicative sulle unità logiche Regole moltiplicative di inferenza Regola moltiplicativa di trasformazione Regole additive sulle unità logiche Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive Regole del calcolo dei sequenti sui connettivi preposizionali Regole moltiplicative sui connettivi preposizionali Regole di inferenza Regola di trasformazione Regole additive sui connettivi proposizionali Regole di inferenza Regole di trasformazione Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive Regole del calcolo dei sequenti sui quantificatori 18 3

4 161 Regole di inferenza Regola di trasformazione Regole di permutazione del calcolo dei sequenti Il principio della sottoformula e l eliminazione dei tagli Gli invarianti delle derivazioni, la diversità delle derivazioni di una stessa formula Alcune formule derivabili e le loro derivazioni cut-free 24 2 Logica Intuizionista, corrispondenza Curry-Howard, sistema F Le formule e i sequenti della logica intuizionista Formule intuizioniste e sequenti intuizionisti Altra definizione delle formule intuizioniste e dei seguenti intuizionisti La negazione intuizionista Derivazioni intuizioniste Regole basilari in logica intuizionista Regole strutturali in logica intuizionista Regole sulle unità logiche in logica intuizionista Regole sui connettivi proposizionali in logica intuizionista Regole sui quantificatori in logica intuizionista Derivabilità classica e derivabilità intuizionista La negazione intuizionista e la doppia negazione intuizionista Traduzione della logica classica entro la logica intuizionista Le deduzioni naturali intuizioniste Definizione delle deduzioni naturali intuizioniste Redex e regole di riduzione Regole di inferenza locali e regole di inferenza globali La corrispondenza Curry-Howard Sistemi tipati: il sistema dei tipi semplici, il sistema F Il sistema dei tipi semplici Il sistema F 44 3 Logica lineare: dualità, controllo logico della dimostrabilità Calcolo dei sequenti per la logica lineare Riformulazione delle regole strutturali come regole su formule sottolineate Regole di inferenza Regole di trasformazione Regole basilari 54 4

5 313 Regole moltiplicative Regole additive Regole esponenziali Regole sui quantificatori Regole di permutazione Principali proprietà del calcolo dei sequenti Alcune leggi della logica lineare Frammenti della logica lineare, e loro complessità La struttura della dimostrabilità Gli spazi delle fasi Lo spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti La semantica delle fasi 66 4 Logica lineare: positivo e negativo Operatori logici negativi e operatori logici positivi Caratteristiche degli operatori negativi Caratteristiche degli operatori positivi Rapporto tra operatori positivi e operatori negativi Derivazioni focalizzate Operatori generalizzati, negativi e positivi 79 5

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7 Capitolo 1 Calcolo dei sequenti per la logica classica 11 Preliminari 111 Linguaggio L alfabeto della logica classica del primo ordine contiene le unità logiche VERO e FALSO, i connettivi e, i quantificatori e, un insieme infinito numerabile di variabili per individui, un insieme di variabili per funzioni n-arie (per ogni numero naturale n), un insieme di variabili per proposizioni, un insieme di variabili per predicati n-arie (per ogni numero naturale n), i simboli ausiliari Sull insieme delle variabili per proposizioni e su ciascun insieme di variabili per predicati è definita una funzione NON iniettiva e suriettiva tale che per ogni variabile v NON(v) è una variabile dello stesso tipo della variabile v e NON(NON(v)) = v L alfabeto della logica classica del secondo ordine è ottenuto dall alfabeto della logica classica del primo ordine imponendo che tutti gli insiemi di variabili siano numerabili L alfabeto della logica classica preposizionale del primo ordine è ottenuto dall alfabeto della logica classica del primo ordine imponendo che l insieme delle variabili per proposizioni sia numerabile e che tutti gli altri insieme di variabili siano vuoti, e rimuovendo i quantificatori L alfabeto della logica classica preposizionale del secondo ordine è ottenuto dall alfabeto della logica classica del secondo ordine imponendo che l insieme delle variabili per proposizioni sia numerabile e che tutti gli altri insieme di variabili siano vuoti Le formule della logica classica del primo ordine sono definite come segue, con una definizione induttiva, una volta che è stato definito l insieme dei termini individuali (ossia dei termini che hanno lo stesso tipo delle variabili per individui) : BASE DI INDUZIONE (formule atomiche) le unità logiche sono formule; le variabili per proposizioni sono formule; se P è una variabile per predicato n-ario, e t 1,,t n sono termini individuali, allora P(t 1,,t n ) è una formula; PASSO DI INDUZIONE se A e B sono formule, allora A B e A B sono formule; 7

8 se A è una formula e x è una variabile individuale e x e x non compaiono in A, allora xa e xa sono formule; CLAUSOLA FINALE: nient altro è una formula Le formule della logica classica preposizionale del primo ordine sono definite con una variante della definizione induttiva precedente, ossia eliminando l ultima clausola della base di induzione e l ultima clausola del passo di induzione Le formule della logica classica del secondo ordine sono definite con un altra variante della definizione induttiva precedente, ossia rimpiazzando la seconda clausola del passo di induzione con: se A è una formula e v è una variabile e v e v non compaiono in A, allora va e va sono formule Le formule della logica classica preposizionale del secondo ordine sono definite con una variante della definizione induttiva delle formule della logica classica del secondo ordine, ossia eliminando l ultima clausola della base di induzione A ciascuna formula A si associa il suo unico albero generativo, un albero di formule in cui la radice è A, le foglie sono formule atomiche e ciascun nodo è ottenuto dai nodi immediatamente precedenti con una delle operazioni previste nel passo di induzione Una formula B è sottoformula di una formula A se e soltanto se B è un nodo dell albero generativo di A Il grado di una formula è il numero di occorrenze di simboli logici (unità logiche, connettivi preposizionali, quantiifcatori) presenti in quella formula Per ogni formula A, è definita la negazione di A denotata da A, come segue: VERO = FALSO e FALSO = VERO se P è una variabile per proposizioni, allora P = NOT(P) se sep è una variabile per predicaton-ario, et 1,,t n sono termini individuali, allora (P(t 1,,t n )) = NOT(P)(t 1,,t n ) ; (A B) = A B, (A B) = A B; va = v A, va = v A È facile mostrare che per ogni formula A, A ha lo stesso grado di A e A è A Se A e B sono formule, A B denota la formula A B (A B) è dunque la formula A B Un sequente è un multinsieme finito di formule, e viene rappresentato da ogni espressione della forma Γ dove Γ è una successione di tutti gli elementi del sequente Pertanto, Γ e rappresentano lo stesso sequenze quando è una permutazione di Γ Quando focalizziamo su una particolare occorrenza di formula A in un sequente, usiamo rappresentare tale sequente nella forma Γ,A o nella forma A,Γ e chiamiamo Γ il contesto di A in quel sequente 8

9 112 Regole di inferenza Le regole di inferenza del calcolo dei seguenti sono regole 0-arie (nessuna premessa, una sola conclusione), unarie (una sola premessa, una sola conclusione), binarie (due sole premesse, una sola conclusione) Le regole 0-arie sono rappresentate nel modo seguente: Γ (R)( ) dove Γ è la conclusione della regola, (R) è il nome della regola e ( ) sono eventuali condizioni per l applicazione della regola Le regole unarie sono rappresentate nel modo seguente: Γ (R)( ) dove Γ è la premessa della regola,, (R) è il nome della regola e ( ) sono eventuali condizioni per l applicazione della regola Le regole binarie sono rappresentate nel modo seguente: Γ 1 Γ 2 (R)( ) dove Γ è la premessa della regola,, (R) è il nome della regola e ( ) sono eventuali condizioni per l applicazione della regola Una regola preserva il principio della sottoformula quando ogni formula che compare in almeno uno delle sue premesse compare anche nella conclusione o è sottoformula di una formula che compare nella conclusione 113 Analisi e derivazioni, derivabilità Un analisi di un sequente Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme M di sequenti è un albero di sequenti nel quale ciascun nodo: se è la radice (ossia, se non ha successori), è il sequente Γ se è una foglia, ossia se non ha predecessori, è conclusione di una regola 0-aria del calcolo dei sequenti per la logica classica, oppure è un sequente appartenente a M; se ha un solo predecessore, allora è conclusione di una regola unaria la cui premessa è il sequente suo predecessore; se ha due soli predecessori, allora è conclusione di una regola binaria le cui premesse sono i due sequenti suoi predecessori Una derivazione di un sequente Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme M di sequenti è una analisi finita (dunque, ben fondata) di Γ da M Se esiste una derivazione di un sequente Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme M di sequenti, si dice che Γ à derivabile da M nella logica classica Se Γ è derivabile dall insieme vuoto di sequenti, si dice che Γ è derivabile in logica classica 9

10 Se Γ,A è derivabile in logica classica, si dice che A è derivabile in logica classica nel contesto Γ Una regola di inferenza (R) è derivabile da certe altre regole del calcolo dei sequenti se esiste una derivazione della conclusione di (R) dalle premesse di (R) usando soltanto quelle altre regole del calcolo dei sequenti Ogni regola di inferenza 0-aria asserisce la derivabilità della conclusione della regola, o meglio - focalizzando su una delle formule della conclusione della regola - asserisce la derivabilità di quella particolare formula in un certo contesto, ossia che una certa configurazione del contesto è condizione sufficiente per la derivabilità di quella formula Una regola di inferenza 0-aria è detta reversible quando stabilisce che una certa configurazione del contesto è condizione sufficiente per la derivabilità di una formula, e tale condizione è anche una condizione necessaria Ogni regola di inferenza unaria asserisce che la derivabilità della sua premessa è condizione sufficiente per la derivabilità della sua conclusione Una regola di inferenza unaria è detta reversibile quando la derivabilità della sua premessa è condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità della sua conclusione, ossia quando la sua premessa è derivabile nel calcolo dei sequenti dalla sua conclusione Ogni regola di inferenza binaria asserisce che la derivabilità di entrambe le sue premesse è condizione sufficiente per la derivabilità della sua conclusione Una regola di inferenza binaria è detta reversibile quando la derivabilità di entrambe le sue premesse è condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità della sua conclusione, ossia quando entrambe le sue premesse sono derivabili nel calcolo dei sequenti dalla sua conclusione 114 Regole di trasformazione Una regola di trasformazione del calcolo dei sequenti per la logica classica è una regola che ha come premessa una analisi di un sequente da un insieme di seguenti e come conclusione un analisi dello stesso sequente dallo stesso insieme di seguenti, la trasformazione consiste in operazioni effettive da compiere a partire dalla premessa, la trasformazione preserva le derivazioni, ossia se la premessa è una derivazione anche la conclusione è una derivazione Una regola di trasformazione viene rappresentata da π R ψ dove π è la premessa (l analisi che viene trasformata), ψ è la conclusione (l analisi che si ottiene dalla trasformazione di π) e (R) è il nome della regola di trasformazione Se una analisi ψ si ottiene da un analisi π mediante una successione finita di regole di trasformazione, si scrive π ψ Ovviamente, vale che se π ψ allora: π e ψ sono analisi dello stesso sequente dallo stesso insieme di sequenti ψ è una derivazione se π è una derivazione 10

11 12 Regole basilari del calcolo dei sequenti Le regole basilari del calcolo dei seguenti sono regole che concernono il rapporto tra una formula e la sua negazione Esse sono: due regole di inferenza (una 0-aria, l altra binaria) e una regola di trasformazione 121 Regole di inferenza La regola (id) (identità) è una regola 0-aria, mentre la regola (cu) (taglio) è una regola binaria A,A (id) Γ,A A, (cut) Γ, Si noti che nella regola (cut) l ordine delle premesse non conta: poiché ogni formula è negazione di qualche formula, non possiamo caratterizzare la prima premessa come la premessa che contiene una formula e la seconda come la premessa che contiene la sua negazione Con un applicazione della regola (cut) una occorrenza di una formula A e una occorrenza della sua negazione A compaiono nelle premesse ma non compaiono più nella conclusione: pertanto, la regola (cut) non preserva il principio della sottoformula Quando un applicazione della regola (cut) ha come premesse i sequenti Γ,A e A, e come conclusione il sequente Γ,, si dice che tale applicazione concerne la coppia di formule (A, A); si dice anche che A e A sono formule tagliate da quella applicazione della regola (cut) Il grado di una applicazione della regola (cut) che concerne la coppia di formule (A, A) è il grado di A (che è uguale al grado di A) Un applicazione della regola (cut) è detta più semplice di un altra applicazione della regola (cut) quando il grado della prima applicazione è minore del grado della seconda applicazione Una analisi (una derivazione) è detta cut-free quando non contiene alcuna applicazione della regola (cut) Un analisi (una derivazione) è detta quasi cut-free quando contiene solo un applicazione della regola (cut) e tale applicazione è la regola finale dell analisi (della derivazione) 122 Regola di trasformazione La regola basilare di trasformazione permette di trasformare una analisi (una derivazione) che termina con un applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola (id); tale regola di trasformazione sarà denominata (id,cut) π A, A,A A, (id,cut) π A, È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni Inoltre, se la premessa è quasi cut-free, la conclusione è cut-free In base alla regola (id,cut), quando anche π consiste semplicemente nella regola (id) con conclusione A, A, si ottiene come conclusione ancora la regola (id) con conclusione A,A 11

12 13 Regole strutturali del calcolo dei sequenti Le regole strutturali concernono l aggiunta di formule o la contrazione di formule nei seguenti Si tratta di due regole unarie di inferenza, e di tre regole di trasformazione 131 Regole di inferenza Le regole strutturali di inferenza sono la regola di indebolimento (W) con la quale si aggiunge una occorrenza di formula, e la regola di contrazione (C) con la quale si contraggono due occorrenze della stessa formula Γ Γ,A (W) Γ,A,A Γ,A (C) Di queste regole presentiamo la versione (derivabile) nella quale si aggiunge una successione finita di formule (W+) o si contraggono due successioni finite costituite dalle stesse occorrenze di formule (C+) Γ Γ, (W+) Γ,, Γ, (C+) È evidente che le regole strutturali del calcolo dei sequenti preservano il principio della sottoformula 132 Regole di trasformazione La prima regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un analisi (una derivazione) che termina con un applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola (W): viene eliminata quella applicazione della regola (cut) e una parte dell analisi, e viene usata una regola (W+) π 1 Γ Γ,A Γ, π 2 A, (W,cut) π 1 Γ Γ, È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni Inoltre, se la premessa è quasi cut-free, la conclusione è cut-free La seconda regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un analisi (una derivazione) che termina con un applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola (C): invece di avere la regola (C) seguita dalla regola (cut) si hanno due applicazioni della regola (cut) seguita da una applicazione della regola (C+), e viene a questo scopo duplicata una parte dell analisi π 1 Γ,A,A Γ,A Γ, π 2 A, (C,cut) π 1 Γ,A,A Γ,,A π 2 A, Γ,, Γ, π 2 A, 12

13 È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni La terza regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un analisi (una derivazione) che termina con una applicazione di una regola (C) immediatamente preceduta da un applicazione di una regola (W) con la quale si aggiunge una delle due occorrenze contratte: la trasformazione consiste nel cancellare queste due regole finali della analisi π 1 Γ,A Γ,A,A Γ,A (W,C) π 1 Γ,A È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni Si noti che la regola (W,cut) non è deterministica: infatti permette di trasformare una stessa analisi in due analisi sintatticamente diverse, quando entrambe le premesse della regola (cut) sono conclusioni di (W), come in questo caso π 1 Γ Γ,A Γ, π 2 A, (W,cut) π1 Γ Γ, π 1 Γ Γ,A Γ, π 2 A, (W,cut) π 2 Γ, 14 Regole del calcolo dei sequenti sulle unità logiche Le regole sulle unità logiche, VERO e FALSO, sono di due tipologie: le regole moltiplicative e le regole additive Le regole moltiplicative sono derivabili dalle regole additive usando le regole strutturali, e le regole additive sono derivabili dalle regole moltiplicative usando le regole strutturali 141 Regole moltiplicative sulle unità logiche Le regole moltiplicative sulle unità logiche sono due regole di inferenza (una regola 0-aria, e una regola unaria) e una regola di trasformazione 1411 Regole moltiplicative di inferenza Le regole moltiplicative di inferenza sulle unità logiche sono: VERO (1) Γ Γ,FALSO ( ) 13

14 È evidente che entrambe le regole preservano il principio delle sottoformule Si osservi che la regola (1) asserisce: un sequente contenente VERO è derivabile se il contesto è vuoto Si noti che la regola (1) non è reversibile: ci sono sequenti contenti VERO derivabikle dove il contesto non è vuoto: ad esempio, il sequente FALSO,VERO che è derivabile essendo conclusione di (id) La regola ( ) stabilisce una condizione sufficiente per la cerivabilità di F ALSO in un contesto Γ: la derivabilità di Γ nel calcolo dei sequenti Si verifichi che la regola ( ) è reversibile: dalla conclusione della regola ( ) e dal sequente derivabile V ERO (conclusione di (1)) si ottiene la premessa di ( ) mediante un (cut) Dunque condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità di FALSO in un contesto Γ è la derivabilità di Γ 1412 Regola moltiplicativa di trasformazione La regola moltiplicativa di trasformazione sulle unità logiche permette di trasformare una analisi (una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (1) e la conclusione della regola ( ); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminate quelle applicazioni della regole moltiplicative di inferenza sulle unità logiche e del (cut) VERO π FALSO, (1,,cut) π È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni Inoltre, se la premessa è quasi cut-free, la conclusione è cut-free 142 Regole additive sulle unità logiche C è una sola regola di inferenza sulle unità logica, ed è una regola 0-aria: Γ,VERO (T) La regola preserva ovviamente il principio della sottoformula Tale regola asserisce che essere una successione di occorrenze di formule è condizione sufficiente per essere un contesto in cui V ERO è derivabile Ovviamente, essere una successione di occorrenze di formule è condizione necessaria per essere un contesto in cui VERO è derivabile Pertanto, la regola (T) è reversibile L assenza di regole additive di inferenza che tratti i contesti in cui F ALSO è derivabile è in sostanza questa regola: nessuna successone di occorrenze di formule è condizione sufficiente per essere un contesto in cui F ALSO è derivabile Pertanto tale regola non è reversibile, perché esistono contesti in cui F ALSO è derivabile, poiché è derivabile il sequente VERO,FALSO che è conclusione di (id) Non c è alcuna regola additiva di trasformazione sulle unità logiche 14

15 143 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive La regola moltiplicativa di inferenza (1) è un caso particolare della regola additiva (T) La regola moltiplicativa di inferenza ( ) è un caso particolare della regola strutturale (W) La regola moltiplicativa di trasformazione (1,,cut) è un caso particolare della regola strutturale di trasformazione (W,cut) La conclusione della regola additiva (T) è derivabile dalla conclusione della regola moltiplicativa (1) mediante la regola strutturale (W+) Pertanto, le regole moltiplicative sulle unità logiche sono regole derivabili a partire dalle regole additive sulle unità logiche e dalle regole strutturali, e le regole additive sulle unità logiche sono regole derivabili a partire dalle regole moltiplicative sulle unità logiche e dalle regole strutturali 15 Regole del calcolo dei sequenti sui connettivi preposizionali Anche le regole sui connettivi logici, e, sono di due tipologie: le regole moltiplicative e le regole additive Le regole moltiplicative sono derivabili dalle regole additive usando le regole strutturali, e le regole additive sono derivabili dalle regole moltiplicative usando le regole strutturali 151 Regole moltiplicative sui connettivi preposizionali Le regole moltiplicative sui connettivi preposizionali sono due regole di inferenza (una regola binaria e una regola unaria) e una regola di trasformazione 1511 Regole di inferenza Le regole moltiplicative di inferenza sui connettivi preposizionali sono: Γ,A,B Γ,,A B ( ) Γ,A,B Γ,,A B (`) È evidente che entrambe le regole preservano il principio della sottoformula La regola ( ) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di A B in un contesto, e tale condizione consiste nel fatto che A sia derivabile in una parte di tale contesto e B sia derivabile nella restante parte di tale contesto La regola (`) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di A B in un contesto, e tale condizione consiste nel fatto che la coppia A,B sia derivabile in quel contesto, ossia che ciascuna delle due formule sia derivabile in quel contesto con l aggiunta dell altra delle due formule Si noti che la regola (`) è reversibile: infatti, la premessa di tale regola Γ,A,B è derivabile dalla conclusione di tale regola Γ,A`B mediante un cut la cui altra premessa è il sequente A B,A,B (che è derivabile mediante ( ) da A,A e B,B, conclusioni di (id)) Si noti che la regola ( ) non è reversibile se il calcolo non permette di derivare un sequente della forma X dove X è una variabile per proposizioni: infatti, prendendo due variabili per proposizioni P e Q, il sequente P Q, P Q è derivabile poiché è premessa di (id), ma il contesto di P Q è costituito da una sola formula e dunque (se la regola ( ) fosse reversibile) sarebbe derivabile il sequente P o il sequente Q 15

16 1512 Regola di trasformazione La regola moltiplicativa di trasformazione sui connettivi preposizionali permette di trasformare una analisi (una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola ( ) e la conclusione della regola (`); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminate quelle applicazioni della regole moltiplicative di inferenza suon connettivi proposizionali e quella applicazione del (cut) e compaiono due applicazioni più semplici della regola (cut) π 1 Γ 1,A π 2 Γ 2,B π 3 A, B, Γ 1,Γ 2,A B A B, Γ 1,Γ 2, (,`,cut) π 1 Γ 1,A π 2 Γ 2,B A,Γ 2, Γ 1,Γ 2, π 3 B, A, È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni 152 Regole additive sui connettivi proposizionali Le regole additive sui connettivi preposizionali sono tre regole di inferenza (una regola binaria e due regole unarie) e due regole di trasformazione 1521 Regole di inferenza Le regole additive di inferenza sui connettivi preposizionali sono: Γ,A Γ,A B ( 1) Γ,B Γ,A B ( 2) Γ,A Γ,B (&) Γ,A B È evidente che le tre regole preservano il principio della sottoformula La regola ( 1) e la regola ( 2) stabiliscono due condizioni sufficienti per la derivabilità di una formula A B in un contesto: essere derivabile in quello stesso contesto una fra le due formule A e B Le due regole unarie ( 1) e ( 2) possono essere presentate anche nella seguente forma: Γ,A oppure Γ,B ( ) Γ,A B La regola (&) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula A B in un contesto: essere derivabili entrambe le formule A e B in quello stesso contesto La regola (&) è reversibile, ossia la derivabilità sia di A che di B in un contesto è condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità di AB in quello stesso contesto Infatti, entrambe le premesse di una applicazione della regola (&) si ottengono mediante (cut) dalla conclusione di quella stessa regola e dai sequenti A B, A e A B,B che a loro volta sono derivabili da (id) mediante la regola ( 1) o la regola ( 2) Invece, entrambe le regole ( 1) e la regola ( 2) sono non reversibili, se nel calcolo non si derivano un sequente X, Y dove X e Y sono variabili per proposizioni infatti prendendo due variabili per proposizioni P e Q, il sequente P Q, P Q è derivabile poiché è premessa di (id), ossia P Q è derivabile nel contesto P Q: ma né P è derivabile nel contesto P Q (altrimenti, sarebbe derivabile il sequente Q, P) né Q è derivabile nel contesto P Q (altrimenti, sarebbe derivabile il sequente P, Q) 16

17 1522 Regole di trasformazione Le due regole additive di trasformazione sui connettivi preposizionali permettono di trasformare una analisi (una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (&) e la conclusione di una delle due regola ( 1) o ( 2); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminate quelle applicazioni della regole additive di inferenza sui connettivi proposizionali e quella applicazione del (cut) e compaiono due applicazioni più semplici della regola (cut) La prima regola concerne il caso in cui una delle premesse della regola (cut) è conclusione della regola ( 1): π 1 Γ,A Γ,A B π 2 π 3 A,,B A B, Γ, ( 1,&,cut) π 1 π 2 Γ,A A, Γ, La seconda regola concerne il caso in cui una delle premesse della regola (cut) è conclusione della regola ( 2): π 1 Γ,B Γ,A B π 2 π 3 A,,B A B, Γ, ( 2,&,cut) π 1 π 3 Γ,B B, Γ, È evidente che entrambe queste regole di trasformazione trasformano analisi in analisi, mantengono il sequente finale e preservano le derivazioni 153 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive Le due regole moltiplicative di inferenza sui connettivi preposizionali sono derivabili dalle regole additive di inferenza sui connettivi preposizionali e dalle regole strutturali Infatti: date le due premesse Γ 1,A e Γ 2,B di una applicazione della regola ( ), dapprima - mediante la regola strutturale (W+) applicata a ciascuna delle premesse - si ottengono i sequenti Γ 1,Γ 2,A e Γ 1,Γ 2,B e infine si ottiene mediante la regola (&) il sequente Γ 1,Γ 2,A B; data la premessa Γ,A,B di una applicazione della regola (`), mediante ( 1) si ottiene Γ,A B,B da cui mediante ( 2) si ottiene Γ, A B, A B e infine mediante la regola strutturale (C) si ottiene il sequente Γ,A B Le tre regole additive di inferenza sui connettivi preposizionali sono derivabili dalle regole moltiplicative di inferenza sui connettivi preposizionali e dalle regole strutturali Infatti: 17

18 date le due premesse Γ,A e Γ,B di una applicazione della regola (&), dapprima mediante la regola moltiplicativa ( ) si ottiene il sequente Γ,Γ,A B e infine si ottiene mediante la regola strutturale (C+) il sequente Γ, A B; data la premessa Γ,A di una applicazione della regola ( 1), mediante la regola strutturale (W) si ottiene Γ, A, B da cui mediante (`) si ottiene Γ, A B; data la premessa Γ,B di una applicazione della regola ( 2), mediante la regola strutturale (W) si ottiene Γ, A, B da cui mediante (`) si ottiene Γ, A B La trasformazione prodotta dalla regola di trasformazione moltiplicativa sui connettivi preposizionali può essere compiuta anche trasformando dapprima le regole moltiplicative mediante le regole additive e le regole strutturali, e poi eseguendo le regole di trasformazione additive e quelle strutturali Analogamente, la trasformazione prodotta da una delle regole di trasformazione additiva sui connettivi preposizionali può essere compiuta anche trasformando dapprima le regole additive mediante le regole moltiplicative e le regole strutturali, e poi eseguendo la regole di trasformazione moltiplicativa e le regole di trasformazione strutturale 16 Regole del calcolo dei sequenti sui quantificatori Le regole del calcolo dei seguenti per i quantificatori e due regole di inferenza e una regola di trasformazione Le regole sono le stesse per ogni tipologia di quantificazione: ossia per la quantificazione sulle variabili individuali, per la quantificazione sulle variabili per proposizioni, per la quantificazione sulle variabili per funzioni, per la quantificazione sulle variabili per predicati e per la quantificazione sulle variabili per insiemi Quel che è necessario per applicare le regole per una tipologia di quantificazione, ossia per la quantificazione su un tipo T di variabili, è disporre della nozione di variabile di tipo T, di quella di termine di tipo T, quella di occorrenza libera di una variabile di tipo T e di quella di sostituzione di una variabile di tipo T con un termine di quello stesso tipo T In particolare: nel caso del tipo degli individui, le variabili di quel tipo sono le variabili individuali, i termini di quel tipo sono i termini di un linguaggio del primo ordine, A[t/x] denota la formula ottenuta dalla formula A sostituendo la variabile individuale x con il termine del primo ordine t (ossia rimpiazzando con t tutte le occorrenze libere di quella variabile x in A), e π[t/x] debita l analisi (la derivazione) ottenuta sostituendo la variabile individuale x con il termine del primo ordine t (ossia rimpiazzando con t tutte le occorrenze libere della variabile x nelle formule presenti in π); nel caso del tipo delle proposizioni, le variabili di quel tipo sono le variabili per proposizioni e i termini di quel tipo sono le formule del linguaggio considerato, A[B/X] denota la formula ottenuta dalla formula A sostituendo la variabile per proposizioni X con la formula B (ossia rimpiazzando con B tutte le occorrenze libere di quella variabile X in A), e π[b/x] debita l analisi (la derivazione) ottenuta sostituendo la variabile per proposizioni X con la formula B (ossia rimpiazzando con B tutte le occorrenze libere della variabile X nelle formule presenti in π) 161 Regole di inferenza Le regole di inferenza per i quantificatori del primo ordine (ossia per i quantificatori su variabili individuali) sono le seguenti due regole unarie: Γ,A[t/x] Γ, xa ( )(ttermine del primo ordine,xvariabile individuale) 18

19 Γ,A[y/x] Γ, xa ( )(y variabile individuale non libera in Γ, x variabile individuale) In generale, le regole di inferenza per i quantificatori su un tipo T di variabili sono: Γ,A[t/x] Γ, xa ( )(ttermine di tipo T,xvariabile di tipo T ) Γ,A[y/x] Γ, xa ( )(y variabile di tipo T non libera in Γ, x variabile di tipo T) La regola ( ) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula xa in un contesto: essere derivabile in quello stesso contesto una formula A[t/x] ossia una istanza di xa (senza porre alcuna condizione su questa istanza) La regola ( ) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula xa in un contesto: essere derivabile in quello stesso una formula A[y/x] con y non libera in quel contesto, ossia un istanza di xa sulla quale nulla viene fissato nel contesto, ossia una istanza di xa che è trattata come istanza generica in quel contesto La regola ( ) è reversibile Infatti,dalla conclusione Γ, xa di ( ) si ottiene la premessa della stessa regola, come segue: si prende una variabile y (dello stesso tipo di x ) che non compaia in Γ ( e una tale variabile c è necessariamente, perchè le variabili di un tipo sono infinite mentre le variabili presenti in una successione finita di formule sono in numero finito), e si ricava la premessa della regola ( ) Γ,A[y/x] mediante un (cut) l e cui premesse sono Γ, xa e il sequente x A, A[y/x] che è derivabile mediante ( ) dalla conclusione di (id) A[y/x],A[y/x] La regola ( ) è non reversibile se nel calcolo non si derivano sequenti della forma A[y/x], A[t/x] con una variabile y diversa da t dello stesso tipo Infatti, il sequente x A, xa è derivabile (poiché è conclusione di (id)), e dunque se ( ) fosse reversibile sarebbe derivabile un sequente x A,A[t/x] e allora (per la reversibilità di ( )) sarebbe derivabile un sequente A[y/x],A[t/x] con una y diversa da t Si noti che tutte le regole di inferenza sulle unità logiche e sui connettivi logici preservano il principio della sottoformula, in quanto le formule che compaiono in almeno una delle premesse e che non compaiono nella conclusione sono comunque sottoformule della formula introdotta nella conclusione Invece, questo principio non viene preservato dalle regole di inferenza sui quantificatori, già nel caso in cui la quantificazione è sulle variabili individuali: infatti una formula A[t/x] non è sottoformula della formula xa quando il termine t è diverso dalla variabile x e anche la formula A[y/x] non è sottoformula della formula xa quando la variabile y è diversa dalla variabile x Per far sì che anche la regola ( ) preservi in qualche modo il principio della sottoformula, dobbiamo estendere un po la nozione di sottoformula, ritenendo che sottoformula di una formula quantificata xa o xa sono non solo le formule che compaiono nei nodi ma anche tutte le formule A[y/x] dove y è una variabile dello stesso tipo di x Questa estensione è abbastanza ragionevole poiché per tante ragioni dovremmo ritenere uguali la formula xa e la formula ya[y/x], cioé la formula che si ottiene dalla prima cambiando la variabile vincolata x con la variabile vincolata y purché entrambe le variabili siano dello stesso tipo Per far sì che anche la regola ( ) - limitata alla quantificazione sulle variabili individuali preservi in qualche modo il principio della sottoformula - dobbiamo estendere molto di più la nozione di sottoformula, ritenendo che sottoformula di una formula quantificata xa o xa sono non solo le formule che compaiono nei nodi ma anche tutte le formule A[t/x] dove t è un termine individuale: tale nozione è chiamata sottofomula estesa Questa estensione è ovviamente meno ragionevole della precedente, ma accettabile se non altro per il fatto che dal punto di visto logico un termine individuale è dello stesso grado di una variabile individuale, poiché non contiene alcun simbolo logico E pertanto questa estensione non può essere fatta nel caso della quantificazione su variabili che non siano individuali: ad esempio, un termine dello stesso tipo di una variabile per proposizioni è una formula, ed essa può contenere un numero arbitrario di simboli logici 19

20 162 Regola di trasformazione Le regola di trasformazione sui quantificatori permette di trasformare una analisi (una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola ( ) e la conclusione della regola ( ); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminate quelle applicazioni delle regole di inferenza sui quantiificatori e quella applicazione del (cut) viene modificata (mediante la sostituzione di una variabile con un termine dello stesso tipo) l analisi (la derivazione) della premessa della regola ( ) compare una applicazioni più semplice della regola (cut) La regola è la stessa per ogni tipologia di quantiificatori π 1 Γ,A[t/x] Γ, xa B Γ, π 2 A[y/x], x A, (,,cut) π1 Γ,A[t/x] π 2[t/y] A[t/x], Γ, Si noti che la sostituzione π 2 [t/y] non modifica affatto il contesto poiché in tale contesto y non può occorrere libera (in quanto questa condizione è quella che permette di applicare la regola ( ) con cui da Γ, A[y/x] si passa a Γ, A[y/x] È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale e preserva le derivazioni 17 Regole di permutazione del calcolo dei sequenti Le regole di permutazione del calcolo dei sequenti sono regole di trasformazione, una per ciascuna regola di inferenza unaria o binaria del calcolo dei sequenti Ogni regola di permutazione ha come premessa una analisi (una derivazione) che termina con una regola (cut) e nella quale una delle premesse è conclusione di una regola di inferenza (R) che introduce una occorrenza di una formula che non è tagliata dalla applicazione della regola (cut) (ossia la regola (R) viene prima della regola (cut) e non concerne la formula tagliata da quella regola), e ha come conclusione una analisi (una derivazione) in cui la regola (R) è compiuta dopo la regola (cut) Si tenga conto che se (R) è una regola unaria e non concerne una formula A (ossia lascia inalterata dalla premessa alla conclusione quella occorrenza della formula A), allora tale regola si presenta sempre in questa forma: Λ,A Γ,A (R) Per ogni regola unaria (R) la regola di permutazione che concerne la regola (R) è la seguente: 20

21 π 1 Λ,A Γ,A Γ, π 2 A, (Perm,(R),(cut)) π 1 Λ,A π 2 A, Λ, Γ, dove l analisi che costituisce la conclusione termina con una applicazione della regola (R) Si verifichi, per ciascuna regola (R), che tale regola di trasformazione permette di passare da una analisi ad un analisi, e da una derivazione ad una derivazione La regola binaria ( ) quando non concerne una occorrenza di una formula A e nella conclusione introduce una formula B C si può presentare in una di queste due forme: Γ 1,B,A Γ 2,C Γ 1,Γ 2,B C,A ( ) Γ 1,B Γ 2,C,A Γ 1,Γ 2,B C,A ( ) Pertanto la regola di permutazione che concerne la regola ( ) si presenta nelle due forme seguenti, una per ciascuna delle due forme in cui si presenta la regola ( ) che non concerne la formula tagliata: π 1 π 2 Γ 1,B,A Γ 2,C Γ 1,Γ 2,B C,A Γ 1,Γ 2,B C, π 3 A, (Perm,( ),(cut),1) π 3 Γ 1,B,A A, Γ 1,,B Γ 1,Γ 2,B C, π 1 π 2 Γ 2,C π 1 π 2 Γ 1,B Γ 2,C,A Γ 1,Γ 2,B C,A Γ 1,Γ 2,B C, π 3 A, (Perm,( ),(cut),2) π 1 Γ 1,B π 2 π 3 Γ 2,C,A A, Γ 2,,C Γ 1,Γ 2,B C, La regola binaria (&) quando non concerne una occorrenza di una formula A e nella conclusione introduce una formula B C si presenta in questa forma: Γ,B,A Γ,C,A (&) Γ,B C,A Pertanto la regola di permutazione che concerne la regola (&) si presenta nella forma seguente: 21

22 π 2 Γ,B,A Γ,C,A Γ,B C,A Γ,B C, π 1 π 3 A, (Perm,(&),(cut)) π 1 Γ,B,A π 3 A, Γ 2,C,A π 3 A, Γ,,B Γ,,C Γ,B C, π 2 18 Il principio della sottoformula e l eliminazione dei tagli Una derivazione ψ soddisfa il principio della sottoformula quando ogni formula presente nella derivazione è sottoformula di qualche formula presente nel sequente finale di π Una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula corrisponde a una dimostrazione analitica: nella dimostrazione vengono usati solo concetti contenuti nell asserto dimostrato Una derivazione ψ soddisfa il principio della sottoformula estesa quando ogni formula presente nella derivazione è sottoformula estesa di qualche formula presente nel sequente finale di π Una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa corrisponde a una dimostrazione logicamente analitica: i concetti logici usati nella dimostrazione sono solo quelli contenuti nell asserto dimostrato È possibile, e quando, in linea di principio, trasformare ogni derivazione nel calcolo dei sequenti in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula? È possibile, e quando, in linea di principio, trasformare ogni derivazione nel calcolo dei sequenti in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa? Si noti che ogni analisi o una derivazione che sia cut-free π e senza le regole sui quantificatori soddisfa il principio della sottoformula: poiché tutte le regole usate in tale derivazione preservano il principio della sottoformula, ogni formula presente nella derivazione è sottoformula di qualche formula presente nel sequente finale di π Un teorema - dimostrato in una forma diversa, e più generale da Gentzen - stabilisce che ogni derivazione senza premesse può essere trasformata - mediante le regole di trasformazione del calcolo dei sequenti - in una derivazione cut-free ossia, e quindi che nella logica senza quantificatori ogni derivazione può essere trasformata in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula Teorema 1 Teorema di eliminazione del taglio per la logica senza quantificatori Se π è una derivazione di Γ da nessuna premessa nel calcolo dei sequenti senza le regole di inferenza sui quantificatori, allora nel calcolo dei sequenti senza le regole di inferenza sui quantificatori esiste una derivazione cut-free ψ di Γ tale che: π ψ ψ non ha regole strutturali di inferenza, se π non le ha Dimostrazione Una analisi o una derivazione cut-free π nella quale sono usate le regole sui quantificatori solo per la quantificazione su variabili individuali, ossia una analisi o derivazione del primo ordine, soddisfa il principio della sottoformula estesa: poiché ogni regola usata nella derivazione preserva il principio della sottoformula estesa, 22

23 ogni formula presente nella derivazione è sottoformula estesa di qualche formula presente nel sequente finale di π Un teorema - dimostrato in una forma diversa da Gentzen - stabilisce che ogni derivazione senza premesse può essere trasformata - mediante le regole di trasformazione del calcolo dei sequenti - in una derivazione cut-free ossia in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa Teorema 2 Teorema di eliminazione del taglio per la logica del primo ordine Se π è una derivazione di Γ da nessuna premessa nel calcolo dei sequenti per la logica classica del primo ordine, senza le regole di inferenza sui quantificatori, allora nel calcolo dei sequenti per la logica classica del primo ordine esiste una derivazione cut-free ψ di Γ tale che: π ψ ψ non ha regole strutturali di inferenza, se π non le ha Dimostrazione 19 Gli invarianti delle derivazioni, la diversità delle derivazioni di una stessa formula Nel calcolo dei sequenti viene definita la relazione π ψ tra analisi e dunque tra derivazioni Quando per due derivazioni π e ψ si ha che π ψ, in un certo senso le due derivazioni sono uguali nel senso che entrambe rappresentano una dimostrazione che si manifesta in forme diverse lungo il processo di trasformazione O meglio: si deve poter assegnare ad ogni derivazione π un qualcosa (meglio ancora, qualcosa appartenente a una buona classe di strutture matematiche) che sarà denotato con π ( e sarà chiamato l invariante della derivazione π) in modo che valga: se π ψ allora π = ψ Una siffatta assegnazione di un oggetto π ad ogni derivazione π sarà chiamata assegnazione di invarianti alle derivazioni o anche semantica delle derivazioni (semantica delle dimostrazioni) Pertanto, sotto qualunque assegnazione di invarianti alle derivazioni, si dovrà avere: se ψ π 1 e ψ π 2, allora π 1 = ψ e π 2 = ψ cosicché π 1 = π 2 Ossia: due derivazioni che si trasformano entrambe in una terza devio essere ritenute uguali Una assegnazione di invarianti alle derivazioni è banale quando rende sempre uguali due derivazioni di una stessa formula, ossia quando vale che per ogni formula A se π 1 e π 2 sono derivazioni dello stesso sequente A allora π 1 = π 2 Il teorema seguente mostra che in logica classica - per la presenza delle regole strutturali - ogni assegnazione di invariati è banale, e dunque che in logica classica siamo sempre obbligati a dichiarare uguali tutte le derivazioni di una stessa formula; in sostanza, ciò mostra che in logica classica quel che conta non sono le singole dimostrazioni bensì la dimostrabilità, e ciò per effettio delle regole strutturali Teorema 3 Sia A una formula, π 1 una derivazione di A e π 2 una derivazione di A Esiste una derivazione ψ di A tale che ψ π 1 e ψ π 2 Pertanto, π 1 = π 2 Dimostrazione Date le derivazioni π 1 e π 2 di A si costruisca la seguente derivazione ψ di A mediante due applicazioni della regola (W), una successiva applicazione della regola (cut) e una applicazione finale della regola (C): 23

24 π 1 A A,B A,A A π 2 A B,A ψ π 1 e ψ π 2, usando le regole strutturali di trasformazione (W,cut) e (W,C): π 1 A A,B A,A A π 2 A B,A (W,cut) π 1 A A,A A (W,C) π 1 A π 1 A A,B A,A A π 2 A B,A (W,cut) π 2 A A,A A (W,C) π 2 A 110 Alcune formule derivabili e le loro derivazioni cut-free Consideriamo la seguente formula X( X X) dove X è una variabile per proposizioni Tale formula può essere scritta anche come X(X X) e verrà chiamata ID (identità) ID è derivabile, ossia il sequente X( XveeX) è derivabile, e esiste solo una derivazione cut-free di X( XveeX) (una derivazione che non fa uso di regole strutturali) Consideriamo la seguente formula X( X ( X X)) dove X è una variabile per proposizioni Tale formula può essere scritta anche come X(X (X X)) e verrà chiamata BOOLE (booleani) BOOLE è derivabile, ossia il sequente X( X ( X X) è derivabile, e esistono solo due derivazione cut-free di X( X X), entrambe le derivazione fanno uso della regola strutturali (W) (una dimostrazione per introdurre la prima occorrenza di A e la seconda dimostrazione per introdurre la seconda occorrenza di A) Consideriamo la seguente formula 24

25 X((X X) ( X X)) dove X è una variabile per proposizioni Tale formula può essere scritta anche come X((X X) (X X)) e verrà chiamata IN T (interi, numeri naturali) IN T è derivabile, ossia il sequente X( X ( X X)) è derivabile, e esistono infinite derivazioni cut-free di X( X ( X X)): una derivazione fa uso della regola (W) per introdurre la formula (X X), un altra derivazione fa nessun uso delle regole strutturali, un altra derivazione fa uso di una applicazione della regola (C) per contrarre due occorrenze di(x X), per ogni n esiste una derivazione che fa uso di n applicazioni della regola (C) per contrarre n + 1 occorrenze di (X X) 25

26 26

27 Capitolo 2 Logica Intuizionista, corrispondenza Curry-Howard, sistema F 21 Le formule e i sequenti della logica intuizionista La logica intuizionista si ottiene dalla logica classica mediante la rinuncia alla dualità nella classe delle formule e in quella dei sequenti, in modo che con le formule e i sequenti non possa più essere fatta quella catena di inferenze che portavano da due derivazioni π 1 e π 2 della stessa formula a una nuova derivazione della stessa formula che si trasforma in ciascuna delle due derivazioni π 1 e π 2 che devono dunque essere considerate uguali 211 Formule intuizioniste e sequenti intuizionisti La classe delle formule della logica classica viene limitata a una sottoclasse di formule (formule intuizioniste), prendendo come intuizionista una sola formula per ogni coppia di formule (A, B) che siano una la negazione dell altra e che chiameremo (secondo la tradizione aristotelica) coppie contraddittorie, nel modo seguente, per induzione sulla costruzione delle coppie di formule della logica classica BASE DI INDUZIONE (formule atomiche) nella coppia contraddittoria (V ERO, F ALSO), si prende come intuizionista la formula F ALSO, nella coppia contraddittoria (A,B) dove A e B sono formule atomiche diverse da VERO e FALSO, una sola delle due è presa come formula intuizionista PASSO DI INDUZIONE Sia stata già scelta la formula intuizionista in ciascuna di due coppie contraddittorie (A, A) e (B, B) e siano A, B le formule scelte come intuizioniste La scelta della formula intuizionista all interno delle coppie contraddittorie(a B, A B),( A B, A B),(A B, A B),( A B, A B) è fatta come segue: nella coppia (A B, A B) la formula intuizionista è A B, nella coppia ( A B, A B) la formula intuizionista è A B che viene rappresentata da B A, nella coppia (A B, A B) la formula intuizionista è A B che viene rappresentata da A B, 27

28 nella coppia ( A B, A B) la formula intuizionista è A B Sia stata già scelta la formula intuizionista in ciascuna di due coppie contraddittorie (A, A) e (B, B) e siano A, B le formule scelte come intuizioniste La scelta della formula intuizionista all interno delle coppie contraddittorie ( xa, x A) e ( xa, x A) è fatta come segue: nella coppia ( xa, x A) la formula intuizionista è xa, nella coppia ( xa, x A) la formula intuizionista è xa CLAUSOLA FINALE: nient altro è formula intuizionista È facile mostrare che, per ogni formula classica A, se A non è intuizionista, allora A è B di qualche formula intuizionista La rinuncia intuizionista alla dualità nelle formule sta nel fatto che per nessuna formula intuizionista esiste il suo duale, ossia la sua negazione La classe dei sequenti della logica classica viene limitata a una sottoclasse di sequenti (sequenti intuizionisti): un sequente della logica classica è un sequente intuzionista se e soltanto se esso contiene esattamente una formula intuizionista e tutte le altre formule sono dunque negazioni di formule intuizioniste Un sequente intuizionista può essere presentato nella forma (Γ),A dove A è una formula intuizionista e Γ è una successione finita di occorrenze di formule intuizioniste Un sequente intuizionista della forma (Γ),A (dove A è una formula intuizionista e Γ è una successione finita di occorrenze di formule intuizioniste) viene spesso presentato nella forma Γ A La rinuncia intuizionista alla dualità nei sequenti intuizionista sta nel fatto che non solo si usano formule intuizioniste ma anche si tratta in maniera del tutto asimmetrica lo spazio costituito dalle negazioni delle formule intuizioniste (che può contenere un arbitrario numero finito di elementi) e quello costituito dalle formule intuizioniste (che contiene esattamente un elemento); in sostanza quando un sequente intuizionista viene rappresentato nella forma Γ A a sinistra del simbolo ci può essere un numero finito arbitrario di occorrenze di formule, nello spazio a destra del simbolo ci deve essere soltanto esattamente una occorrenza di formula Si verifichi che sono intuizioniste le formule considerate nella sezione Altra definizione delle formule intuizioniste e dei seguenti intuizionisti Le formule intuizioniste possono essere anche definite con questa definizione induttiva: BASE DI INDUZIONE (Formule atomiche intuizioniste) FALSO è una formula intuizionista; Se A e B sono due formule atomiche classiche contraddittorie, allora una e una sola di esse è una formula intuizionista PASSO DI INDUZIONE Se A e B sono formule intuizioniste, allora A B, A B e A B sono formule intuizioniste; se A è una formula intuizionista, e x è una variabile e x e x non occorrono in A, allora xa e xa sono formule intuizioniste CLAUSOLA FINALE: nient altro è una formula intuizionista E i sequenti intuizionisti possono essere definiti in questa maniera: un sequente intuizionista è una coppia costituita da un multinsieme finito (anche vuoto) di formule intuizioniste (le premesse del sequente), e una sola formula intuizionista (la conclusione del sequente), e può essere rappresentate come Γ A dove Γ è una successione di tutte le premesse del sequente e A è la conclusione del sequente 28