Teoria della misura e teoria degli insiemi
|
|
- Edmondo Pini
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Teoria della misura e teoria degli insiemi Samuele Maschio 1 Teoria della misura: nozioni di base Definizione 1.1. Sia X un insieme. Una σ-algebra di sottoinsiemi di X é un insieme H P(X) tale che 1. H; 2. Per ogni Y, se Y H allora X \ Y H; 3. Per ogni famiglia numerabile {X n } n N H si ha n N X n H. Proposizione 1.2. Sia X un insieme e sia X {H σ-algebre di sottoinsiemi di X}. Allora X é una σ-algebra di sottoinsiemi di X. Definizione 1.3. Sia X un insieme e sia J P(X). Si dice σ-algebra generata da J la σ-algebra H: = {I-algebre di sottoinsiemi di X J I}. Ci concentriamo ora su alcune σ-algebra di sottoinsiemi di R. seguente Richiamiamo la Definizione 1.4. Un sottoinsieme X R é aperto se per ogni x X esiste ɛ > 0 tale che (x ɛ, x + ɛ) X. Un sottoinsieme X di R é chiuso se R \ X é aperto. Proposizione 1.5. Ogni sottoinsieme aperto di R é unione al piú numerabile di intervalli aperti a due a due disgiunti. Definizione 1.6. La σ-algebra dei boreliani di R, indicata con B(R), é la σ-algebra di sottoinsiemi di R generata dalla famiglia degli aperti di R. Definizione 1.7. Sia H una σ-algebra di sottoinsiemi di X. Una misura su H é una funzione P: H R + tale che 1. P( ) = 0; 2. P( n N X n) = n N P(X n) per ogni famiglia numerabile {X n } n N tale che X i X j = per ogni i, j N tali che i j. Proposizione 1.8. Se P é una misura su una σ-algebra H e X, X H sono tali che X X, allora P(X) P(X ). 1
2 Definizione 1.9. Sia X R aperto tale che X = n H (x n, y n ) dove gli intervalli (x n, y n ) al variare di n H N sono a due a due disgiunti. Si definisce P (X) = n H(y n x n ). Definizione Un sottoinsieme X di R é misurabile secondo Lebesgue se per ogni ɛ > 0 esiste un aperto H e un chiuso H di R tali che 1. H X H; 2. P (H \ H ) < ɛ. Definizione Si denota con L(R) l insieme dei sottoinsiemi di R misurabili secono Lebesgue. Teorema L insieme L(R) é una σ-algebra di sottoinsiemi di R. Teorema Definita P(X): = inf P (H) X H H aperto per ogni X misurabile secondo Lebesgue, si ha che 1. P é una misura su L(R), ogni aperto di R é misurabile secondo Lebesgue e P P sugli aperti di R; 2. Per ogni X L(R) e per ogni x R si ha che X + x = {x + x x X} L(R) e P(X + x) = P(X) ( invarianza); 3. Per ogni x R si ha che P({x}) = 0 ( non banalitá). Una volta osservato che anche P(R) é banalmente una σ-algebra di sottoinsiemi di R, si ottiene, dato che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, il seguente Teorema B(R) L(R) P(R). I paragrafi 3 e 4 saranno dedicati al problema di capire se le due inclusioni possano e, se sí, sotto quali condizioni essere strette. 2 Alcuni assiomi della teoria degli insiemi Assioma 2.1 (DC). Se R é una relazione binaria su un insieme non vuoto X tale che per ogni x X esiste x tale che x Rx allora esiste una successione ξ: ω X tale che per ogni n ω si ha ξ(n + 1)Rξ(n). Assioma 2.2 (ω-ac). Se X è un insieme numerabile tale che per ogni x X, x, allora esiste una funzione ψ: X X tale che ψ(x) x per ogni x X. Proposizione 2.3. In ZF si ha [DC] [ω AC]. Assioma 2.4 (AC). Se X è un insieme tale che per ogni x X, x, allora esiste una funzione ψ: X X tale che ψ(x) x per ogni x X. 2
3 Assioma 2.5 (ZL). Se (X, ) é un ordine parziale tale che ogni catena Y X ha un maggiorante y X, allora X ha un elemento massimale. Assioma 2.6 (WO). Ogni insieme puó essere ben ordinato. Proposizione 2.7. In ZF si ha [AC] [ω-ac] Proposizione 2.8. In ZF sono equivalenti [AC] [ZL] [WO] Supponiamo ora di lavorare in ZF C = ZF + [AC]. Dato che [AC] [WO] si ha che possiamo definire la cardinalitá di ogni insieme e formulare il seguente Assioma 2.9 (CH). X((X R X infinito) ( X = N X = R )). Infine terremo in considerazione il seguente Assioma 2.10 (WIC). Esiste un cardinale debolmente inacessibile RIcordiamo la seguente Definizione Un cardinale debolmente inacessibile é un cardinale limite e regolare. 3 Insiemi non misurabili 3.1 La costruzione di Vitali Teorema 3.1 (Vitali). Se vale ZF C allora esiste un sottoinsieme di R non misurabile (cioé in ZF [AC] (L(R) P(R))). Dimostrazione. Sia X = [0, 1] e sia la relazione definita su X da x x se e solo se x x Q. Questa relazione é una relazione di equivalenza infatti 1. per ogni x R si ha x x Q; 2. se x y Q allora y x = (x y) Q; 3. se x y Q e y z Q allora x z = (x y) + (y z) Q. Sia X : = X/ l insieme delle classi di equivalenza rispetto alla relazione ovvero degli insiemi della forma [x] : = {x X x x}. Per [AC] esiste H R tale che H Y = 1 per ogni Y X, ovvero H contiene uno e un solo elemento per ogni classe di equivalenza. Siano ora q, q Q tali che q q. Abbiamo H + q H + q = dato che se y H + q H + q si ha che esistono h, h H tali che y = h + q = h + q 3
4 da cui e quindi h = h + q q h h da cui h = h e q = q. Inoltre [0, 1] q Q [ 1,1] (H + q) [ 1, 2]. Supponiamo ora che H sia misurabile; dato che Q [ 1, 1] é numerabile, per la monotonia della misura e per il fatto che P é invariante per traslazione si ha che H + q é misurabile secondo Lebesgue e P(H + q) = P(H) per ogni q Q [ 1, 1]si ha che P([0, 1]) P(H + q) = P(H) P([ 1, 2]) da cui q Q [ 1,1] 1 n N [ 1,1] q Q [ 1,1] P(H) 3 Dato che abbiamo supposto che H sia misurabile allora P(H) = 0 o P(H) > 0. Nel primo caso peró si ottiene che 1 0, mentre nel secondo + 3. Dunque H é un sottoinsieme di R non misurabile. 3.2 Altre costruzioni di insiemi non misurabili Innanzitutto vediamo la costruzione di Bernstein che fa uso dell assioma [WO]. Iniziamo con la seguente Definizione 3.2. Un insieme X R si dice perfetto se é un insieme chiuso non vuoto senza punti isolati. Si possono facilmente dimostrare i seguenti fatti in ZF Proposizione 3.3 (regolaritá). Se X L(R) e P(X) > 0 allora esiste un chiuso H X tale che P(H) > 0. Proposizione 3.4. Ogni sottoinsieme chiuso X di R infinito non numerabile contiene un insieme perfetto. Proposizione 3.5. Per ogni insieme perfetto P, P = R. da cui segue il Corollario 3.6. Ogni sottoinsieme chiuso di R é finito, numerabile o continuo. Possiamo ora passare alla seguente Definizione 3.7. Un insieme di Bernstein é un sottoinsieme X di R tale che per ogni insieme perfetto P, P X e P (R \ X). Osservazione 3.8. Si noti che se X é un insieme di Bernstein, anche R lo é. 4
5 Teorema 3.9. Se X é un insieme di Bernstein, allora non é misurabile secondo Lebesgue. Dimostrazione. Supponiamo che X sia misurabile secondo Lebesgue, allora possiamo supporre che P(X) > 0 (altrimenti possiamo consideriamo R \ X). Dato che X ha misura positiva esiste un chiuso H di misura positiva tale che H X; inoltre essendo H di misura positiva é infinito non numerabile, da cui si ottiene che deve contenere un insieme perfetto P, da cui si ottiene che P X e dunque (R \ X) P = e quindi che X non é di Bernstein. Prima di passare al prossimo teorema si ha questo risultato Proposizione Se P é l insieme degli insiemi perfetti si ha che P = R. Teorema In ZF si ha [WO] [Esiste un insieme di Bernstein]. Dimostrazione. Per [WO] esiste un buon ordinamento di P e quindi possiamo costruire una successione transfinita di insiemi perfetti dove π = min {ξ ON π = R } tale che {P ξ } ξ<π {P ξ ξ < π, ξ pari} = {P ξ ξ < π, ξ dispari} = P. Definiamo quindi una successione {x ξ } ξ<π tale che 1. per ogni ξ < π, x ξ P ξ ; 2. per ogni ξ < π, x ξ x ξ per ogni ξ < ξ. Tale successione si pu øcostruire perché [WO] implica [AC] e inoltre per ogni ξ < π e per ogni insieme perfetto P si ha che ξ < R = P. A questo punto si considera X: = {x ξ ξ < π, ξ dispari} che é perfetto per costruzione. Vediamo ora un altra costruzione che fa uso del lemma di Zorn Proposizione I numeri reali R formano uno spazio vettoriale sul campo Q. Definizione Una base di Hamel é una base di R su Q. Prima di passare al teorema principale enunciamo questo Lemma 3.14 (Bernstein). Se X L(R) ha misura positiva allora esiste ɛ > 0 tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha (X + r) X. Possiamo quindi passare al seguente Teorema Se {p j } j J é un base di Hamel e j J, allora X = span({p j } j J\{ j} ) é un insieme non misurabile secondo Lebesgue. 5
6 Dimostrazione. Ovviamente si ha che q Q X + qp j = R e inoltre (X + qp j) X = perché altrimenti p j sarebbe esprimibile come combinazione lineare finita di elementi di {p j } j J\{ j}. Supponiamo che X sia misurabile, dalla prima delle due espressioni si ottiene grazie all invarianza che P(X) > 0. In particolare per il lemma di Bernstein esiste ɛ tale che per ogni 0 < r < ɛ si ha X (X + r). In particolare esiste q Q tale che 0 < p j q < r, da cui X (X + qp j). Abbiamo dunque una contraddizione con la seconda espressione. Il seguente risultato é noto Proposizione In ZF si ha che [ZL] [Ogni spazio vettoriale ha una base]. 3.3 La necessitá dell assioma di scelta Abbiamo visto nelle sottosezioni precedenti come si possa costruire un nonmisurabile disponendo dell assioma della scelta o di un suo equivalente. Ma é veramente indispensabile utilizzarlo? Se non fosse indispensabile si dovrebbe riuscire a costruire in ZF o almeno in ZF +[ω AC] un insieme non misurabile. Viceversa per provare la necessitá dell assioma di scelta, basterebbe costruire un modello di ZF o meglio ZF + [ω AC] (dato che per sviluppare buona parte dell analisi matematica é sufficiente disporre della scelta numerabile) in cui L()(R) = P(R). In tal senso Solovay riuscí ad ottenere il seguente risultato Teorema 3.17 (Solovay). Se é consistente ZF +[WIC] allora si puó costruire un modello di ZF +[DC]+[L(R) = P(R)]. Il problema di questo risultato é la presenza dell ipotesi di esistenza di un cardinale debolmente inaccessibile. Il fatto spiacevole é che questo fatto non puó essere eliminato a causa del seguente risultato Teorema 3.18 (Shelah). Se é consistente ZF +[DC]+[L(R) = P(R)] allora si puó costruire un modello di ZF +[WIC]. Infatti se avessimo che Cons(ZF ) Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))), dato che come é noto ZF + [WIC] Cons(ZF ) si avrebbe da cui ZF + [WIC] Cons(ZF + [DC] + (L(R) = P(R))) ZF + [WIC] Cons(ZF + [WIC]) il che contraddice il secondo teorema di Godel. 4 Insiemi misurabili non boreliani Innanzitutto si ha il seguente fatto Proposizione 4.1. L(R) = P(R). 6
7 Dimostrazione. Tutti i sottoinsiemi di ogni sottoinsieme di misura nulla sono misurabili; in particolare lo sono tutti quelli dell insieme di Cantor che ha cardinalitá continua. Definizione 4.2. Si definiscono gli insiemi Σ ξ e Π ξ per ξ < ω 1 tramite le seguenti Σ 0 = {aperti di R} Π 0 = {chiusi di R} Σ ξ = X n X n Π ξ, n N. n N ξ <ξ Π ξ = {R \ X X Σ ξ } = X n X n Σ ξ, n N.. Proposizione 4.3. Valgono le seguenti 1. ξ < ξ Σ ξ Σ ξ ; 2. ξ < ξ Σ ξ Π ξ ; 3. ξ < ξ Π ξ Π ξ ; 4. ξ < ξ Π ξ Σ ξ ; 5. ξ<ω 1 Σ ξ = ξ<ω 1 Π ξ ; 6. ξ<ω 1 Σ ξ B(R). n N ξ <ξ Definizione 4.4. Proposizione 4.5. B(R): = ξ<ω 1 Σ ξ. B costr (R) = R. Proposizione 4.6. In ZF +ω AC la famiglia dei boreliani costruibili é una σ-algebra e dunque B(R) = B costr (R). Corollario 4.7. In ZF + ω AC si puó dimostrare l esistenza di misurabili secondo Lebesgue non boreliani. Utilizzando AC riusciamo a produrre un esempio esplicito di insieme misurabile non boreliano. Esempio 4.8 (AC). Si consideri la funzione singolare di Vitali ψ: [0, 1] R. definisca una funzione ψ tramite Si ψ (x) = ψ(x)+x se x [0, 1], ψ (x) = x se x (, 0), ψ (x) = x+2 se x (1, + ). Si vede facilmente che ψ é continua, strettamente crescente e ha come immagine R. In particolare esiste ψ 1 l inversa che é essa stessa continua e strettamente crescente. 7
8 Dato l insieme di Cantor H, si vede facilmente che ψ (H) = 1. In particolare, generalizzando la costruzione di Vitali, si puó construire un sottoinsieme non misurabile di H (questo perché H ha misura positiva). Si chiami questo insieme X. In particolare X non é boreliano. Consideriamo ora X : = ψ 1 (X). Innanzitutto X H e dunque, essendo sottoinsieme di un insieme di misura nulla, X é misurabile. Tuttavia X non puó essere boreliano. Infatti dato che ogni funzione continua é anche misurabile rispetto ai boreliani, si dovrebbe avere che X é boreliano. Dunque X é l insieme misurabile non boreliano. Esempio 4.9 (ω AC). Gli insiemi analitici sono le immagini tramite funzioni continue di boreliani in spazi polacchi. Gli insiemi coanalitici sono i complementari di insiemi analitici. Si ha che gli insiemi boreliani sono esattamente tutti gli insiemi allo stesso tempo analitici e coanalitici. Inoltre ogni insieme analitico (e quindi anche coanalitico) é misurabile secondo Lebesgue. Un esempio di misurabile non boreliano si puó quindi ottenere costruendo un insieme coanalitico che non sia analitico. Un esempio di insieme coanalitico non analitico é W O, l insieme delle codifiche dei buoni ordinamenti su N. La codifica di una relazione R sui numeri naturali é il numero reale [R] ottenuto in questo modo: [R]: = 10 2n 3 m. L insieme W O é definito da n,m N nrm W O: = {x R esiste R buon ordine in N(x = [R])}. Nei prossimi paragrafi assumiamo sempre di trovarci in ZF C. 5 Estensioni invarianti della misura di Lebesgue La prossima domanda é la seguente: La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti su σ-algebre che estendono L(R)?. Ovvero esiste una σ-algebra H di sottoinsiemi di R e una misura P su H tale che: 1. L(R) H; 2. P H P; 3. X H x R (X + x) H; 4. X H x R P(X + x) = P(X). Inoltre esiste un estensione massimale? Ovvero esiste (H, P) estensione invariante che non ammette estensioni invarianti? I seguenti teoremi di Kharazishvili e Ciesielski danno una risposta al problema Teorema 5.1. La misura di Lebesgue ammette estensioni invarianti, ma non esiste alcuna estensione massimale. Il teorema é una conseguenza immediata del seguente Lemma 5.2. Esiste una famiglia numerabile {X n } n N di sottoinsiemi di R tali che 8
9 1. n N X n = R; 2. X i X j = per ogni i, j N tali che i j; 3. Per ogni n N, se X n appartiene alla σ-algebra su cui é definita un estensione invariante della misura di Lebesgue P allora P(X n ) = 0; 4. Per ogni n N, se X n / L(R) allora esiste un estensione invariante (H, P) tale che X n H. 6 Estensioni universali della misura di Lebesgue Una volta appurato che non esiste una estensione invariante privilegiata per la misura di Lebesgue, passiamo al problema dell esistenza di un estensione universale della misura di Lebesgue (che non sia necessariamente invariante), ovvero ci chiediamo se esista una misura P su P(R) tale che P(X) = P(X) per ogni X L(R). Questo problema viene risolto dal Teorema 6.1 (ULAM). Se c é una misura non banale su P(X) allora si verifica uno dei seguenti fatti: 1. c é una misura a due valori su P(X) e X é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inaccessibile; 2. c é una misura senza atomi in P(R) e R é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inacessibile. Per chiarire il significato del teorema, si ricorda che una misura é a due valori se assume solo i valori 0 e 1; inoltre una misura é senza atomi se ogni insieme di misura positiva puó essere ripartito in due insiemi di misura positiva. Abbiamo dunque il seguente: Corollario 6.2. Se esiste una estensione universale della misura di Lebesgue sui reali allora esiste un cardinale debolemente inacessibile e la cardinalitá del continuo é maggiore del piú piccolo cardinale debolmente inacessibile. Dunque [Esiste un estensione universale della misura di Lebesgue] [W IC] Inoltre dato che in tal caso la cardinalitá del continuo é maggiore del piú piccolo cardinale inaccessibile e dato che ogni cardinale debolmente inaccessibile é per definizione un cardinale limite non numerabile, si ha che [Esiste un estensione universale della misura di Lebesgue] [CH] In particolare in ZF C + [CH] la misura di Lebesgue sui reali non ammette estensioni universali. 9
10 Riferimenti bibliografici [1] K. Ciesielski. How good is Lebesgue measure? [2] K. Ciesielski. Isometrically invariant extensions of Lebesgue measure. [3] K. Ciesielski. Set theoretical real analysis. [4] Doob. Measure theory. [5] T.J. Jech. Set Theory. The 3rd millennium edition. [6] A.B.Kharazishvili. Nonmeasurable sets and functions. [7] K.Kunen. Set Theory. [8] R.M.Solovay. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. [9] Villani. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10
APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I
APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI MAURIZIO CORNALBA L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I un insieme di insiemi. Il prodotto i I A i è l insieme di tutte le applicazioni α : I i I A i
DettagliINSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X).
INSIEMI Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). Sia A = {A λ : λ Λ} una famiglia di insiemi. Definiamo: unione A = A λ è l insieme U tale
DettagliULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD IN TEORIA COMBINATORIA DEI NUMERI
ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD IN TEORIA COMBINATORIA DEI NUMERI MAURO DI NASSO 1. Filtri e ultrafiltri Iniziamo introducendo le fondamentali nozioni di filtro e ultrafiltro. Definizione 1.1. Un filtro
DettagliL aritmetica degli insiemi infiniti Parte I
L aritmetica degli insiemi infiniti Parte I Stefano Baratella Versione L A TEX realizzata in collaborazione con Tullio Garbari 1 Prerequisiti La relazione di equipotenza tra insiemi. Definizione 1. Si
Dettagli8. Completamento di uno spazio di misura.
8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme
DettagliMisure e loro proprietà (appunti per il corso di Complementi di Analisi Matematica per Fisici, a.a )
Misure e loro proprietà (appunti per il corso di Complementi di Analisi Matematica per Fisici, a.a. 2006-07 Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 1. (Misura. Si chiama misura
DettagliELEMENTI DI TEORIA DELLA MISURA E DELL INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE, versione italiana. PARTE 1: TEORIA DELLA MISURA
ELEMENTI DI TEORIA DELLA MISURA E DELL INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE, versione italiana. PARTE 1: TEORIA DELLA MISURA A. Brini October 12, 2009 Contents 1 Misura esterna e misura in R n 1 1.1 Ricoprimenti
Dettagli(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +
1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A
DettagliL Assioma di Scelta. Stefano Baratella
L Assioma di Scelta Stefano Baratella Questa breve nota vuole ricordare alcuni fatti di base relativi all Assioma di Scelta (nel seguito: AC, per Axiom of Choice), quasi sempre senza dimostrazione, e senza
Dettagli6. Boreliani di uno spazio topologico.
6. Boreliani di uno spazio topologico. 6.1. La σ-algebra degli insiemi di Borel di uno spazio topologico. Definizione 6.1.1. (σ-algebra di Borel di uno spazio topologico). Sia S uno spazio topologico.
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliGli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali
Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,
DettagliComplemento 1 Gli insiemi N, Z e Q
AM110 Mat, Univ. Roma Tre (AA 2010/11 L. Chierchia) 30/9/10 1 Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici
DettagliDAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI
DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che
DettagliAlcuni complementi sulla misura di Lebesgue in R N
Alcuni complementi sulla misura di Lebesgue in R N Notazioni m Misura di Lebesgue in R N m e Misura esterna di Lebesgue in R N ; m e (E) = inf m(v ) V aperti V E m i Misura interna di Lebesgue in R N ;
DettagliSPAZI COMPATTI. Proposizione 2 Sia (X, d) uno spazio metrico. Se esso è sequenzialmente compatto allora è completo.
SPAZI COMPATTI D ora in poi tutti gli spazi topologici sono di Hausdorff. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) si dice sequenzialmente compatto, o compatto per successioni, se ogni successione di
DettagliTeoria delle Probabilità e Applicazioni programma 2004/05
Teoria delle Probabilità e Applicazioni programma 2004/05 Capitolo 1: esempio guida Lezioni: 8/3, 9/3 (5h) 1. Come modellizzare l esperimento infiniti lanci di una moneta equilibrata oppure l esperimento
DettagliAlcuni equivalenti dell Assioma della Scelta
Alcuni equivalenti dell Assioma della Scelta Giugno 2010 Gabriele Gullà Sommario Dimostreremo l equivalenza fra l assioma della scelta ed altri enunciati della matematica piú o meno noti. Enunciati: 1)
DettagliDimostrazione: Data una allora non appartiene all immagine. Se per
Attenzione: Questi appunti sono la trascrizione delle lezioni del corso di ETI tenuto nel 2014 dal Prof. Di Nasso, questo file contiene le dimostrazioni svolte ma avendo perso il quaderno subito prima
DettagliALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.
ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se
DettagliAnalisi Reale. Anno Accademico Roberto Monti. Versione del 13 Ottobre 2014
Analisi Reale Anno Accademico 2014-2015 Roberto Monti Versione del 13 Ottobre 2014 1 Contents Chapter 1. Introduzione alla teoria della misura 5 1. Misure esterne e misure su σ-algebre. Criterio di Carathéodory
Dettagli1 Cosa vuol dire misurabile secondo Lebesgue
Note di teoria della misura a cura di Samuele Maschio 1 Cosa vuol dire misurabile secondo Lebesgue 1.1 Insiemi non misurabili Prima di tutto iniziamo con il ricordare il seguente Assioma 1.1 (della scelta).
DettagliAppunti del Corso Analisi 1
Appunti del Corso Analisi 1 Anno Accademico 2011-2012 Roberto Monti Versione del 5 Ottobre 2011 1 Contents Chapter 1. Cardinalità 5 1. Insiemi e funzioni. Introduzione informale 5 2. Cardinalità 7 3.
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliOsservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato.
1 Numeri reali Definizione 1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione d ordine totale, compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso seguente: 1. a, b, c K, a b = a + c b
DettagliEsercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo
sercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo 1. sercizi su massimo e minimo limite 1. lim inf a n lim sup a n 2. Se a n b n per ogni n N, allora lim inf a n lim inf b n. Vale anche lim
DettagliSpazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari
Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla
DettagliTOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013
TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013 KIERAN G. O GRADY - 9 DICEMBRE 2013 1. Connessione Se X è uno spazio topologico connesso per archi vale il Teorema dei valori intermedi : dati una f :
Dettagli11. Misure con segno.
11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante
Dettagli12. Funzioni numeriche misurabili.
12. Funzioni numeriche misurabili. 12.1. Funzioni numeriche misurabili. D ora in avanti, nel corso di questi appunti, adotteremo la seguente terminologia: per far riferimento ad una funzione f : Ω R, per
DettagliELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE VII
ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA LEZIONE VII MAURO DI NASSO In questa lezione introdurremo i numeri naturali, che sono forse gli oggetti matematici più importanti della matematica. Poiché stiamo lavorando
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliGeneralized Baire Spaces
Universität Freiburg Welcome Home - Torino 2014 Retta reale, Spazio di Cantor e di Baire Retta reale R, con la topologia standard e la misura di Lebesgue. Retta reale, Spazio di Cantor e di Baire Retta
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi Giovanni Panti 10 marzo 1998 N.B. Questi appunti sono disponibili in ftp://ftp.dimi.uniud.it/pub/panti/notes/st.dvi. 1 Linguaggio ed assiomi Come teoria al primo ordine, il linguaggio
DettagliTeoria di Lebesgue. P n E = n=1
Teoria di Lebesgue 1. La misura di Peano-Jordan La misura di Peano Jordan di un insieme é quasi sempre proposta per sottoinsiemi limitati E R 2 : si tratta di quanto suggerito dalla carta quadrettata,
Dettagli3. Successioni di insiemi.
3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare
DettagliQuello che avreste dovuto sapere su ordinali e cardinali, ma non avete mai osato studiare.
Relazione per il seminario di logica, Milano, 11 Aprile 2008. Quello che avreste dovuto sapere su ordinali e cardinali, ma non avete mai osato studiare. Giorgio Venturi Si può giustamente affermare che
DettagliElementi di Teoria degli Insiemi
Elementi di Teoria degli Insiemi 2016/17 Esercizi di Giacomo Bertolucci (matr. 519430) Lezioni 7-10 Lezione 7 Esercizio 1. Dimostrare che, se A R con A ℵ 0, allora R A è denso in R. Se così non fosse,
DettagliTOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013
TOPOLOGIA - APPUNTI SETTIMANA 2/12/2013-5/11/2013 KIERAN G. O GRADY - 2 DICEMBRE 2013 1. Spazi di Hausdorff Definizione 1.1. Uno spazio topologico X è di Hausdorff se dati x 1, x 2 X distinti esistono
DettagliEsercizi di Elementi di Teoria degli Insiemi, Parte 1 Fabrizio Anelli
Esercizi di Elementi di Teoria degli Insiemi, Parte 1 Fabrizio Anelli Lezione 1, Esercizio 1 Dimostrare che per le coppie di Kuratowski vale che (a, b) = (a, b ) a = a b = b. Perché i due insiemi {{a},
DettagliInsiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia
Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica. Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica. Questa
Dettagli20. Prodotto di spazi di misura. I teoremi di Tonelli e di Fubini.
20. Prodotto di spazi di misura. I teoremi di Tonelli e di Fubini. 20.1. Prodotto di σ-algebre. Definizione 20.1.1. (σ-algebra prodotto. Dati n spazi misurabili (Ω 1, A 1,..., (Ω n, A n, si chiama σ-algebra
DettagliANALISI MATEMATICA 4. Prova scritta del 24 gennaio 2013
Prova scritta del 24 gennaio 2013 Esercizio 1. Sia Ω R 3 un insieme misurabile secondo Lebesgue e di misura finita. Sia {f n } n N una successione di funzioni f n : Ω R misurabili e tali che 1) f n (x)
DettagliGli Assiomi di Forcing e la cardinalità del continuo
Gli e la cardinalità del continuo SNS Incontro SELP, venerdì 16 ottobre, 2009 Gli e la cardinalità del continuo Indipendenza in teoria degli insiemi Forcing Cenni di aritmetica cardinale generale L assioma
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 2006-mar-05 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliMassimo e minimo limite di successioni
Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione,
DettagliTeorema di Hahn-Banach
Teorema di Hahn-Banach Alessandra Albanese e Sara Lamboglia 12.03.2012 1 Teorema di Hahn-Banach Teorema 1.1 (Hahn-Banach). Se M é un sottospazio di uno spazio vettoriale normato X e f é un funzionale lineare
DettagliNote di Teoria della Probabilità.
Note di Teoria della Probabilità. In queste brevi note, si richiameranno alcuni risultati di Teoria della Probabilità, riguardanti le conseguenze elementari delle definizioni di probabilità e σ-algebra.
Dettagli19. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, I
156 19. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, I Il problema di caratterizzare la classe delle funzioni integrabili secondo Riemann e di capire per quali funzioni vale il teorema fondamentale del
DettagliSi noti che questa definizione dice esattamente che
DISUGUAGLIANZA INTEGRALE DI JENSEN IN DIMENSIONE FINITA LIBOR VESELY integrazione. Prima disuguaglianza integrale di Jensen.. Motivazione. Siano un insieme convesso in uno spazio vettoriale, f : (, + ]
DettagliSPAZI TOPOLOGICI COMPATTI Note informali dalle lezioni
SPAZI TOPOLOGICI COMPATTI Note informali dalle lezioni Sia X un insieme. Un ricoprimento di X è una famiglia U = {U j } j J di sottoinsiemi di X tali che X = j J U j. Un ricoprimento U = {U j } j J si
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.
Dettagli4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico
Geometria I 2009-mar-18 15 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico (4.1) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per
DettagliIstituzioni di Logica Matematica
Istituzioni di Logica Matematica Sezione 12 del Capitolo 3 Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 1 / 25
DettagliSOLUZIONI DELLA PRIMA PROVA IN ITINERE DEL CORSO GE220
SOLUZIONI DELLA PRIMA PROVA IN ITINERE DEL CORSO GE220 ESERCIZIO 1 (6 punti) Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che: (i) (3 punti) X è uno spazio T 1 se e solo se per ogni x X l intersezione di tutti
DettagliMatematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani
Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione
DettagliAppunti del corso Fondamenti di Analisi e Didattica
Appunti del corso Fondamenti di Analisi e Didattica (PAS 2013-2014, Classe A049, docente prof. L. Chierchia) redatti da: A. Damiani, V. Pantanetti, R. Caruso, M. L. Conciatore, C. De Maggi, E. Becce e
DettagliELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI Diamo per note le nozioni fondamentali di teoria degli insiemi, come: la nozione di appartenenza di un elemento a un insieme (x A), la nozione di insieme vuoto (indicato
DettagliINDUZIONE MATEMATICA
Regola d induzione matematica P(0), n(p(n) P(n+1)) Regola d induzione completa n(n
DettagliNote sugli insiemi. Alberto Zanardo. Febbraio 2003
Note sugli insiemi Alberto Zanardo Febbraio 2003 1 Insiemi finiti e insiemi infiniti Definizione 1.1 (1) L insieme X è infinito se esiste una funzione iniettiva da N in X. (2) L insieme X è D-infinito
DettagliIstituzioni di Logica Matematica
Istituzioni di Logica Matematica Sezione 10 del Capitolo 2 Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 1 / 45
DettagliNOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE
NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile
Dettagli3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon
Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 1 3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon ordine per A,
DettagliAppendice B ANALISI FUNZIONALE. 1 Spazi di Banach
Appendice B ANALISI FUNZIONALE In questo capitolo si introducono gli spazi di Banach e di Hilbert, gli operatori lineari e loro spettro. Inoltre si discutono gli operatori compatti su uno spazio di Hilbert.
Dettagli1 PRELIMINARI 1.1 NOTAZIONI. denota l insieme vuoto. a A si legge a appartiene a A oppure a è elemento di A.
1 PRELIMINARI 1.1 NOTAZIONI denota l insieme vuoto. a A si legge a appartiene a A oppure a è elemento di A. B A si legge B è un sottoinsieme di A e significa che ogni elemento di B è anche elemento di
Dettagli1.5 Assioma di completezza
1.5 Assioma di completezza Le proprietà 1-8 sin qui viste non sono prerogativa esclusiva di R, dato che sono ugualmente vere nell insieme dei numeri razionali Q. Ciò che davvero caratterizza R è la proprietà
DettagliDiario Complementi di Probabilità a.a. 2017/2018
Diario Complementi di Probabilità a.a. 2017/2018 Testi di riferimento: [W] Probability with martingales, D.Williams [Bi] Probability and measure, P.Billingsley [Ba] Appunti del corso di Calcolo delle Probabilità
DettagliElementi di Algebra e Logica Esercizi 1. Insiemi, funzioni, cardinalità, induzione, funzioni ricorsive.
Elementi di Algebra e Logica 2008 Esercizi 1 Insiemi, funzioni, cardinalità, induzione, funzioni ricorsive 1 Siano A = {0, 2, 4,, 8, 10}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } e C = {4, 5,, 7, 8, 9, 10} Determinare:
DettagliIl Teorema Never Two di Vaught
Il Teorema Never Two di Vaught Lorenzo Lami Rosario Mennuni 8 aprile 2014 1 Contesto 1.1 Ipotesi, notazioni e definizioni Ipotesi 1.1. A meno di indicazione contraria, T sarà sempre una teoria: completa,
DettagliDefinizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se
1 Numeri naturali, interi e razionali Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se 1. 1 A. per ogni x A, si ha x + 1 A Definizione 1.. Chiamo insieme
Dettagli1 Principio di Induzione
1 Principio di Induzione Per numeri naturali, nel linguaggio comune, si intendono i numeri interi non negativi 0, 1,, 3, Da un punto di vista insiemistico costruttivo, a partire dall esistenza dell insieme
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica. Cos è la teoria degli insiemi La teoria degli insiemi è il fondamento della matematica. Questa
DettagliINSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi
INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di
DettagliStudio qualitativo. Emanuele Paolini 2 luglio 2002
Studio qualitativo Emanuele Paolini 2 luglio 2002 Non sempre è possibile determinare esplicitamente le soluzione di una equazione differenziale. Ci proponiamo quindi di trovare dei metodi per determinare
Dettagli4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico
Geometria e Topologia I 16 marzo 2005 12 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico (4.1) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto
Dettagli1. CARDINALITÀ. e) Se A B e B C, allora A C, d) Se A B allora A B,
1. CARDINALITÀ In queste note discuteremo il concetto di cardinalità di un iniseme, che significa, parlando informalmente, la sua grandezza o il suo numero di elementi. Tale concetto è naturale per gli
Dettagli7 Il Teorema di Bolzano - Weierstrass
dimostrazione di (3.6). Supponiamo per esempio che f sia crescente e che x 0 < b Poniamo l + := inf f(x) x I,x 0
DettagliΨ(U i ). Dalla proposizione 0.3 segue che per ogni i R h esiste c i ( δ, δ) n k tale che ϕ 2 Ψ(U i ) c i, quindi ϕ 2 (L h ) = i R h
Foliazioni Definition 0.1 Siano date una varieta M, C, una distribuzione involutiva di dimensione k ed una immersione iniettiva Ψ : N M con N varieta connessa di dimensione k. Diremo che N e una sottovarieta
DettagliSPAZI TOPOLOGICI. La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile.
SPAZI TOPOLOGICI La nozione di spazio topologico è più generale di quella di spazio metrizzabile. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) è una coppia costituita da un insieme X e da una famiglia τ
DettagliIl teorema di Sierpiński con contorno
Il teorema di Sierpiński con contorno (L.V., appunti per l SAA del 24 marzo 2014) Introduzione E ben noto e facile da vedere che l intervallo [0, 1] non può essere rappresentato come unione disgiunta di
DettagliDimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo
C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti
DettagliGeneralizzazioni del Teorema di Weierstrass
Capitolo 2 Generalizzazioni del Teorema di Weierstrass Il principale riferimento bibliografico per questa lezione è il testo di Checcucci, Tognoli, Vesentini [1]. Introduzione Supponiamo che X = R n. È
DettagliLezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)
Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in
DettagliIndice. 1 Nozioni di base 2. 2 I tre principi di Littlewood 5. 3 Il ``quarto'' principio di Littlewood 7
Indice 1 Nozioni di base 2 2 I tre principi di Littlewood 5 3 Il ``quarto'' principio di Littlewood 7 4 I principi di Littlewood in spazi di misura generici 10 1 Capitolo 1 Nozioni di base Denizione 1.
DettagliAnalisi a più variabili: Integrale di Lebesgue
Analisi a più variabili: Integrale di Lebesgue 1 Ripasso delle definizioni di Algebre, σ-algebre, misure additive, misure σ-additive, Proprietà della misura astratta, misura esterna. Definizione (Insieme
DettagliGiulio Del Corso. Attenzione:
Dispense di Elementi di Teoria degli insiemi (ETI) Giulio Del Corso Attenzione: Questi appunti sono la trascrizione delle lezioni del corso di ETI tenuto nel 2014 dal Prof. Di Nasso, questo file non contiene
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliIL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS
IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS In questa nota dimostriamo il teorema di Bolzano-Weierstrass che garantisce l esistenza, per una opportuna classe di sottoinsiemi di R, di punti di accumulazione. Per
Dettagli14 Spazi metrici completi
54 2006-apr-26 Geometria e Topologia I 14 Spazi metrici completi (14.1) Definizione. Una successione {x n } n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni ɛ > 0 esiste un intero N = N(ɛ) per cui
DettagliMisura e integrazione in più variabili
Misura e integrazione in più variabili 15 novembre 2011 In queste note si vuole introdurre la nozione di insieme misurabile in R n e di integrale in più variabili secondo Riemann. 1 Rettangoli e plurirettangoli
DettagliANALISI MATEMATICA 4. Prova scritta del 24 gennaio 2013
Prova scritta del 24 gennaio 2013 Esercizio 1. Sia Ω R 3 un insieme misurabile secondo Lebesgue e di misura finita. Sia {f n } n N una successione di funzioni f n : Ω R misurabili e tali che 1) f n (x)
DettagliOrdinali e cardinali Teoria assiomatica non formalizzata degli insiemi a cura di Franco Montagna
Ordinali e cardinali Teoria assiomatica non formalizzata degli insiemi a cura di Franco Montagna Avvertenza. Queste note costituiscono il contenuto di una breve lezione sugli insiemi e in particolare su
Dettagli04 - Logica delle dimostrazioni
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,
DettagliMatematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali
Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali 1, 2, 3,.... Su N sono definite due operazioni : e + che soddisfano le seguenti proprietá formali : a, b, c
DettagliLa teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi Francesco Paoli Filosofia della scienza, 2016-17 Francesco Paoli (Filosofia della scienza, 2016-17) La teoria degli insiemi 1 / 19 Georg Cantor (1845-1918) Francesco Paoli (Filosofia
DettagliIl teorema di Ascoli-Arzelà
Il teorema di Ascoli-Arzelà Alcuni risultati sugli spazi metrici Spazi metrici (e topologici) compatti Richiamiamo le definizioni di compattezza negli spazi metrici. Sia (X, d) una spazio metrico e sia
Dettagli